江苏省2019届高三数学备考冲刺140分问题09如何顺畅求解复杂数列的求和问题（含解析）.docx

问题9 如何顺畅求解复杂数列的求和问题一、考情分析数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.二、经验分享1.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和2.错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解3.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，()，裂项后可以产生连续相互抵消的项抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 三、知识拓展1.一些常见数列的前n项和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1)(4)1222n2.(5)2.常见的裂项公式(1) ；(2)；(3).(4)(5) 四、题型分析(一) 公式法公式法是数列求和的最基本的方法也是数列求和的基础其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论【例1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求【分析】利用等差数列的求和找、的等式，解出、，判断数列的类型，在用公式求解.【解析】设等差数列的首项为、公差为d，则，即，解得，而，数列是等差数列，其首项为2，公差为，【点评】(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论(2)几类可以使用公式求和的数列等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(1)n.【小试牛刀】【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三)】正项等比数列中，为其前项和，已知，则_【答案】【解析】由正项等比数列中，所以，又因为，所以，所以 (二) 分组法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.【例2】 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】已知数列是等差数列，设为数列的前项和，则.【答案】3024【解析】试题分析：由题意，得，所以【评注】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论【小试牛刀】已知数列满足，则该数列的前23 项的和为 【答案】4194【解析】当为偶数时，有，即偶数项成等差，所以.当为奇数时， ，即奇数项成等比.该数列的前23 项的和为.(三) 裂项相消法此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了只剩下有限的几项注意：余下的项前后的位置前后是对称的余下的项前后的正负性是相反的常用的裂项方法：【例3】在等差数列中，公差，且，成等比数列.求数列的通项公式及其前项和；若，求数列的前项和.【分析】由成等比数列；由可得.【解析】成等比数列，又，.，. 由可得，. 【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性一般地，若an为等差数列，则求数列的前n项和可尝试此方法，事实上，.(2)用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项常见式的裂项数列(n为正整数)裂项方法 (k为非零常数) (a0，a1)logaloga(n1) logan 【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又，则【答案】【解析】因为数列的前项的“均倒数”为，所以，当时，作差得，因为，所以，,+=(四) 错位相减法若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列，当求数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 注意： 要考虑 当公比为1时为特殊情况 ， 错位相减时要注意末项. 【例4】设数列的前项和为，已知，（）（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【分析】（1）利用，推导出，由此能证明是等比数列；（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列的前项和【解析】（1）由，及，得，整理，得，又，是以为首项，为公比的等比列（2）由（1），得，（），由，得【点评】错位相减法求和的适用条件及关注点(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求即求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(2)关注点：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式【小试牛刀】已知数列的首项，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）整理得， 所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由（1）知， ， -有，解得：(五) 数列|an|的前n项和问题【例5】在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列 ()求d，an；（）若d0，求|a1|a2|an|.【解析】 ()由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或4.所以ann11，nN*或an4n6，nN* ，（）设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.Snn2n，当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|.【点评】 ()本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和（）常出现的错误：当n11时，求|an|的和，有的学生认为就是S11110；当n12时，求|an|的和，有的学生不能转化为2(a1a2a11)(a1a2an)，导致出错求数列|an|的前n项和一般步骤如下：第一步：求数列an的前n项和； 第二步：令an0(或an0)确定分类标准；第三步：分两类分别求前n项和；第四步：用分段函数形式下结论；第五步：反思回顾：查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系，以防求错结果【牛刀小试】数列的前项和为，则 ；数列的前10项和 【答案】，【解析】当时，当时， 五、迁移运用1【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_.【答案】【解析】由题得所以数列的前10项和为.故答案为：2【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】在等差数列中，已知，则数列的前10项和是_.【答案】【解析】，则；，则，所以首项， ，所以，所以，所以，所以.3【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数，且，则_【答案】-100【解析】为偶数时， ； 为奇数时， ； 4对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题设可知，则，以上两式两边相减可得，即，故，则，由题意，即，应填答案.5.若数列满足，且，则数列的第100项为 .【答案】36.在数列及中，设，则数列的前项和为 【答案】【解析】试题分析：由， ，两式相加可得：，故数列是以为首项，为公比的等比数列，得；两式相乘可得：，故数列是以为首项，为公比的等比数列，得，故，故其前项和为，故答案为.7. 设f(x)，若Sf()f()f()，则S_.【答案】1 007【解析】f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sf()f()f()，Sf()f()f()，得，2Sf()f()f()f()f()f()2 014，S1 007.8已知函数，且，记表示的前项和，则_【答案】100【解析】当n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2（n+1）2=2n1，当n为偶数时，an=f（n）+f（n+1）=n2+（n+1）2=2n+1， 则S100=（a1+a3+a99）+（a2+a4+a6+a8+a10.+）=2（1+3+5+7+9+.+99）50+2（2+4+6+8+10+100）+50=100，故答案为：100.9已知数列的前项和为,满足, 则数列的前项和_.【答案】【解析】化为，即，故为等差数列，公差为，所以.10.数列的通项为，前项和为，则= 【答案】200【解析】由已知可得；分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为11.数列的通项，其前项和为，则为 【答案】470【解析】，故答案应填：47012.数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_【答案】1830【解析】利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.13【江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末】已知数列的前4项依次成公比为q的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且，1求q及的值；2求数列的前n项和【解析】1因为数列的前4项依次成等比数列，所以，即，所以，从而，因为数列从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d，所以，从而，所以，；2由1知，当时，当时，当时，此式对也成立综上所述，14已知等差数列的前项和为，（1）求的值；（2）求数列的前项和【解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以， 当时，当时， ， 因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得 （2） 由（1）可得，所以所以，即15.【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港)2019届高三年级第一次质量检测】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，记（1）若，求的值；（2）设数列满足 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，是否存在正整数，使，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以，所以由题意，得，因为，成等比数列，所以，即，所以，即由于，所以，即当时，得当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，此时无正整数解综上，16.【江苏省淮安市淮安区2019届高三第一学期联合测试】已知数列的前n项和为，且()（1）求；（2）设函数， ()，求数列的前n项和；（3）设为实数，对满足且的任意正整数m，n，k，不等式 恒成立，试求实数的最大值【解析】（1）当时，. 当时，满足上式，所以； （2）由分段函数可以得到：， 当，时，故当，时，,，所以；（3）由，及得，要恒成立，只要，的最大值为. 17.【江苏省常州市武进区2019届高三