浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值习题（含解析）.docx

第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论与易错提醒1.若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b内一定有最值.2.若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)x33x1有()A.极小值1，极大值1 B.极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2 D.极小值1，极大值3解析因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)的极小值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3.答案D4.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.解析f(x)a，f(1)1a0，a1，经检验符合题意.答案15.已知函数f(x)x2(a4)x2ln x在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围是_.解析f(x)3x(a4)，故可将题意等价的转化为f(1)f(2)0，即(a5)(a9)0，解得9a5，故答案为(9，5).答案(9，5)6.已知yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，且f(x)ln x1，则函数f(x)_，函数f(x)的最小值为_.解析由f(x)ln x1得f(x)xln xc，又f(1)0，则c0，所以f(x)xln x.又x时，f(x)0，f(x)单调递增，则f(x)minf.答案xln x考点一用导数解决函数的极值问题【例1】 求下列函数的极值：(1)f(x)x22x4ln x；(2)f(x)ax33x21(aR且a0).解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2，令f(x)0得x2或1(舍).随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(x)有极小值f(2)4ln 2，无极大值.(2)由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.考点二用导数解决函数的最值问题【例2】 (2019嵊州适考)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的导函数f(x)；(2)求f(x)在(0，1上的取值范围.解(1)因为()，(ln x)，所以f(x).(2)因为x(0，1，所以由f(x)0，得xe3.所以当x(0，e3)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)minf(e3).又f(1)0，当x(0，e3)时，f(e3)f(x)1，求f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)f(x)的导函数为f(x)，所以f(1)1a.依题意，有1a，即1a，解得a1.(2)由(1)得f(x).当0x0，ln x0，所以f(x)0，故f(x)单调递增；当x1时，1x20，ln x0，所以f(x)0，故f(x)单调递减.所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减.因为011，则h(b)ln b0，故h(b)在区间(1，)上单调递增.所以h(b)h(1)0，即f(b)f，故f(x)的最小值为fbln b.考点三函数极值与最值的综合问题【例3】 已知函数f(x)exax，a0.(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；(2)若对任意实数x，恒有f(x)0，求f(a)的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa.令f(x)0，得xln a，易知当x(ln a，)时，f(x)0，当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a.g(a)1(1ln a)ln a，当0a0，g(a)在(0，1)上单调递增；当a1时，g(a)0)恒成立.当x0时，由f(x)0，即exax0，得a.令h(x)，x(0，)，则h(x)，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae，故实数a的取值范围是(0，e.f(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a，易知ea2a0对a(0，e恒成立，故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)10).(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值.解(1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，则g(x)，由g(x)0x1，由g(x)00x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.答案A3.(2018全国卷)函数yx4x22的图象大致为()解析当x0时，y2，排除A，B.由y4x32x0，得x0或x，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.答案D4.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，即a23a180，a6或a0，f(x)在1，e上为增函数，有f(x)minf(1)m4，m4，舍去.若m0，令f(x)0，则xm，且当xm时，f(x)m时，f(x)0，f(x)单调递增.若m1，即m1时，f(x)minf(1)m1，不可能等于4；若1me，即eme，即m0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的解析式为_；f(x)的单调递减区间是_.解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得f(x)x33x4，所以f(x)的单调递减区间是(1，1).答案f(x)x33x4(1，1)10.(2016北京卷)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a0时，f(x)若x0，则f(x)3x233(x21).由f(x)0得x1，由f(x)0得1x0.f(x)在(，1)上单调递增；在(1，0)上单调递减，当x0时，f(x)f(1)2.若x0，则f(x)2x单调递减，所以f(x)f(0)0.所以f(x)最大值为2.(2)函数yx33x与y2x的图象如图.显然当a1时，f(x)有最大值，为2与a33a中较大的值.当a1时，y2x在xa时无最大值，且2a2.所以a1.答案(1)2(2)(，1)三、解答题11.(2019嘉兴检测)已知函数f(x)ex(x2ax1)，aR(e为自然对数的底数).(1)若xe是f(x)的极值点，求实数a的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)f(x)exx2(a2)xa1ex(x1)(xa1)，由f(e)0，得ae1，此时xe是f(x)的极小值点.(2)由f(x)0，得x1或xa1.当a0时，a11，f(x)的单调递增区间是(，)；当a1，f(x)的单调递增区间是(，1)，(a1，)；当a0时，a10，当x(1，)时，y0，yf(x)g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)g(x)maxf(1)g(1).能力提升题组13.若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A.5，0) B.(5，0) C.3，0) D.(3，0)解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)，故选C.答案C14.(2019学军中学模拟)已知不等式ex4x2axb(a，bR，a4)对任意实数x恒成立，则的最大值为()A.ln 2 B.1ln 2C.2ln 2 D.22ln 2解析由不等式ex4x2axb对任意实数x恒成立，得不等式ex(4a)x2b0对任意实数x恒成立，若a40，此时设f(x)ex(a4)x2b，则f(x)ex(a4)，令f(x)ex(a4)0，得xln(a4)，易得当x(，ln(a4)时，函数f(x)单调递减，当x(ln(a4)，)时，函数f(x)单调递增，则由不等式ex(a4)x2b0对任意实数x恒成立得f(x)mineln(a4)(a4)ln(a4)2b0，即(a4)(a4)ln(a4)b2，则1ln(4a)，设y1ln x，则y，易得当x2时，y1ln x取得最大值ln 2，所以1ln(a4)ln 2，当且仅当a2，b2ln24时，等号成立，所以的最大值为ln 2，故选A.答案A15.(2019嘉兴检测)已知实数x，y满足4x9y1，则2x13y1的取值范围是_.解析由4x9y1得22x32y1，3y，其中22x(0，1)，所以2x(0，1)，所以2x13y122x33y22x3，令t2x，则f(t)2t3(0t1)，则f(t)2，令f(t)20得t，所以函数f(t)在上单调递增，在上单调递减，且f(0)3，f，f(1)2，所以2x13y1的取值范围为(2，.答案(2，16.已知函数F(x)kln x(其中k0)，F(x).若k0，在上，恒有0时，ke，x0，0，F(x)在上单调递减，F(x)minF(e)kk1，F(x)maxFek1.综上所述，当k0且k0时，若函数f(x)的最大值为，求a的值.解(1)当a0时，f(x)，故f(x).令f(x)0，得0xe，故f(x)的单调递增区间为(0，e).(2)法一f(x)，令g(x)1ln x，则