平均指标与标志变异指标统计学上课课件

,第五章 平均指标与标志变异指标,教学目的与要求： 熟悉平均指标和变异指标的概念、意义、作用和种类。 掌握平均指标（算术平均数、调和平均数、几何平均数及位置平均数）的计算。 掌握变异指标（极差、平均差、标准差及全距系数、平均差系数、标准差系数）的计算。并且能熟练地运用标志变异指标对平均指标代表性进行对比分析。 掌握利用计算机Excel功能计算平均指标和标志变异指标，能够正确解释计算结果的实际意义。,本 章 主 要 内 容,第一节 平 均 指 标,第二节 标志变异指标,一、平均指标概述 平均指标又称为统计平均数，是用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志值在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。,第一节 平 均 指 标,平均指标在实际应用中具有十分重要的作用和意义，主要表现在： 1.判断统计数据分布的一般水平。这是平均指标的本质属性，平均指标的其他属性和作用都是在其基础上衍生出来的。 2.反映统计数据在不同时间和空间上的变化规律。通过平均指标在不同时间和空间上的对比分析，可以表现社会经济现象在不同条件下的差异和现象的发展过程、趋势及其变动规律。,第一节 平 均 指 标,二、数值平均数 数值平均数是根据各单位数量标志值计算而得的，主要包括算术平均数、调和平均数和几何平均数等。,第一节 平 均 指 标,算术平均数 算术平均数也称均值，是平均指标中最常用、最基本的一种平均指标，其基本计算形式是用总体的单位总量去除总体标志总量,第一节 平 均 指 标,算术平均数的基本计算公式是：,在具体计算算术平均数时，由于掌握的资料有未进行分组和已经进行分组两种情况，算术平均数的计算又可以分为简单算术平均数和加权算术平均数。,1.简单算术平均数 简单算术平均数是在资料未进行分组时，将总体各单位的每一个标志值一一加总得到标志总量，然后除以单位总量所求出的平均指标 。 其计算公式是：,其中：,表示总体平均指标， x表示总体中各标志值， n表示总体中各标志值的数量， 表示求和。,2.加权算术平均数 加权算术平均数是在统计调查资料已经整理分组的条件下，计算平均指标的一种形式，它是先以各组的单位数乘以各组标志值求得各组的标志总量，再将各组标志总量相加求出总体单位总量，最后用总体标志总量除以总体单位总量求出平均数。 计算加权算术平均数有两种情况：一是根据单项式变量数列计算；二是根据组距式变量数列进行计算。,单项数列计算算术平均数 其计算公式是：,其中 f表示总体中各组标志值出现的次数 （权重）,【例5-2】：表5-2是某企业9月某生产车间工人日产量统计表，试计算该车间9月的人均日产量。 表5-2 某生产车间工人日产量统计表,（件）,解：该车间9月的人均日产量为,组距数列条件下计算算术平均数 【例5-3】，某贸易公司60名员工月工资分组资料如表5-3： 表5-3 某贸易公司月工资统计表,解：（1）组中值的计算,（2）月平均工资的计算：,算术平均数的数学性质 算术平均数与总体单位数的乘积等于各总体单位标志值的总和。即：,各总体单位标志值与算术平均数离差之和等于0，即：,各总体单位标志值与算术平均数离差平方和为最小，即：,=最小值,调和平均数 调和平均数是总体中各个标志值的倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。 根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。,简单调和平均数 统计资料未进行分组计算的调和平均数称为简单调和平均数。其计算公式为：,【例5-4】，有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的蔬菜，则当天所买的蔬菜平均价格是多少？,解：,=,（元）,加权调和平均数 统计资料已经进行分组计算的调和平均数称为加权调和平均数。 其计算公式为：,【例5-5】，某商店A、B、C三种钢笔的价格和销售额资料如表5-5所示，试计算该商店三种钢笔售出的平均价格。,表5-5 某商店钢笔销售情况统计表,解：,几何平均数 描述社会经济现象发展的平均比率和平均速度最适用的一种方法是几何平均数。几何平均数是总体内n个标志值连乘积开n次方的方根。 几何平均数根据统计资料是否分组分为简单几何平均数和加权几何平均数两种,1.简单几何平均数（,）,简单几何平均数适用于未经分组的统计资料计算平均比率和平均速度。,简单几何平均数是n个标志值（比率）连乘积的n次方根，计算公式为：,【例5-6】，某机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间才能完成。2010年一季度第一车间铸造产品的合格率为95%，第二车间粗加工产品的合格率为93%，第三车间精加工产品的合格率为90%，第四车间组装的合格率为86%，求该企业四个车间的平均产品合格率？,解：,=,=90.94%,2.加权几何平均数 加权几何平均数适用于已经分组的统计资料计算平均比率和平均速度。加权几何平均数的计算公式为：,【例5-7】，某笔银行贷款期限为10年，年息按复利计算，年利率及有关资料如表5-6，求平均年利率。 表5-6 银行贷款利率与本利率统计表,解：平均本利率为：,=,=1.072 平均年利率为：1.072-1=7.2%,三、位置平均数 位置平均数是根据总体各单位标志值在统计资料中所处的位置来确定的平均指标，主要包括众数和中位数。,众数（M0） 众数是指在总体中出现次数最多的那个标志值。它也是总体中最普遍的标志值，是总体各单位一般水平的代表值，反映现象的集中趋势。,1.单项数列条件下确定众数,【例5-8】，某商场成年男鞋销售情况如表5-7，试用众数确定该商场成年男鞋的平均号码。 表5-7 某商场成年男鞋销售情况统计表,根据观察41码的男鞋销售量最多，故该商场销售的男鞋平均号码为41码,2.组距数列条件下计算众数 统计资料为组距数列计算众数分为两步：第一步，先根据单项数列确定众数的方法，确定众数所在组；第二步，利用下列公式计算众数值。计算公式分为下限公式和上限公式。,下限公式为：,上限公式为：,其中： M0表示众数，L表示众数所在组的下限，U表示众数所在组的上限，1表示众数组次数与下一组（L方向邻近组）次数之差，2 表示众数组次数与上一组（U方向邻近组）次数之差，i表示众数组的组距。,【例5-9】，2010年某地大学生消费支出调查资料如表5-8 表5-8 某地大学生消费支出情况统计表,解：第一步，确定众数所在组。通过观察500600（元）分组出现的次数为430次，是所有分组中最多的，故500600（元）分组为众数所在组。 第二步，利用公式近似计算众数 下限公式：,上限公式：,利用众数计算平均指标要注意把握众数的特点： 众数是一个位置代表值，它不受极端值的影响。 众数的确定适用于总体单位数较多，并有明显集中趋势的统计数列。 统计资料若为非等距数列，则需要把它转换为等距数列方可运用上述公式进行计算。 若统计资料中出现众数所在组在两个以上，众数的计算就没有实际意义了。,中位数(,),中位数也是位置平均数，它是将总体各单位的标志值按大小顺序排列起来，处于中间位置的那个单位的标志值即是中位数。,1.由未分组资料确定中位数,设排序后的标志值为：x1 x2 x3xn。则中位数可以按下面两种情况来确定： 当n为奇数时，,为第,个标志值。,当n为偶数时，从理论上讲，,应该在第,和第,个标志值的中间，因此可以用下面的公式计算这种情况下的中位数。,【例5-10】，试计算1 2 3 4 5 6标志值的中位数。 解：,2.由单项式数列确定中位数,该类统计资料可利用下列公式计算出中位数：,当,为奇数时：,当,为偶数时：,三、位置平均数,【例5-11】，以本章【例5-8】为例，,（岁）,3.由组距式资料确定中位数,统计资料进行了分组确定中位数，需要分为两步：第一步，先确定中位数所在组，即第,第二步，利用下限公式或上限公式近似计算中位数。,标志值所在组；,下限公式：,上限公式：,其中：,表示中位数，L表示中位数所在组的下限，U表示中位数所在组的上限，,表示中位数所在组前面各组的累积频数，,表示中位数所在组后面各组的累积频数，f表示中位数所在组的频数，i表示中位数所在组的组距。,【例5-12】，以本章【例5-8】为例，第一步，确定中位数所在组，即第500位同学消费所在组，通过对组距式分组资料的向上累计或向下累计知道，第500位同学消费所在组是500600组。 表5-10 大学生消费支出累计数计算表,第二步，利用公式计算中位数 下限公式：,上限公式：,中位数的应用特点 中位数属于位置平均数，它处于频数分布的中点。 中位数不受极端值、开口组的影响，所以当总体单位标志值分布十分偏斜时，用中位数进行集中趋势分析较好。社会经济统计中，对只能用等级、名次等表示的社会经济现象一般也用中位数代表其平均水平。 中位数的测定要将标志值按大小顺序排列，如果资料不全则无法确定。,四、应用平均指标应注意的问题,平均数只能应用于同质总体中 正确理解众数、中位数、算术平均数之间的关系 根据统计资料的实际情况，灵活运用不同的计算方法 把平均指标与变异指标结合起来,第二节 标志变异指标,一、标志变异指标的意义与作用 标志变异指标又称标志变动度，它综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度。 标志变异指标具有十分重要的作用： 标志变异指标反映总体单位标志值分布的离散程度。 标志变异指标可以说明平均数代表性的大小。 标志变异指标可以反映社会经济活动过程的稳当性、节奏性和均衡性。,3.单项数列条件下计算中位数,二、标志变异指标的计算与应用,1.极差与全距系数 极差（R）是统计总体数值标志值的最大值和最小值之差，反映总体某一数值特征的变动范围，又称为全距。其公式为：极差=最大标志值-最小标志值，即：,其中：R表示极差，,表示最大标志值，,表示最小标志值。,对于已经分组(闭口组)的统计资料可以采用以下公式近似计算极差：,其中：R表示极差，,表示最大组的上限，,表示最小组的下限。,全距系数（,）全距系数的计算公式是：,【例5-14】，绵阳特瑞电子有限公司三个工作组日生产金属基覆铜板的长度资料如表5-12，试计算三个工作组的极差和全距系数 表5-12 绵阳特瑞电子有限公司金属基覆铜板的长度资料统计表,通过计算，三组工人生产的金属基覆铜板的平均长度、极差及全距系数分别是：,表5-13 绵阳特瑞电子有限公司金属基覆铜板的长度资料有关指标计算表,2.平均差与平均差系数 平均差（A.D） 平均差是总体中各标志值与其平均数的离差绝对值的算术平均数。根据掌握的资料不同，可分为简单平均差和加权平均差两种。,简单平均差,简单平均差在资料未分组或标志值数列的次数完全相等时采用。,加权平均差,当掌握的资料经过加工整理的分布数列，应采用加权平均式。,平均差系数（,）,在【例5-14】中三组工人生产的金属基覆铜板的平均差分别为：,平均差系数分别为：,从平均差系数的计算结果也看出，甲组工人的生产稳定性最好，其平均值也最有代表性；丙组工人的生产稳定性最差，其平均值的代表性也最差。,3.标准差与标准差系数 标准差,标准差是总体各单位标志值与其平均数离差平方和的平均数的平方根，又称均方差。标准差的平方就是方差,它是测定标志变异程度最常用的综合指标。,根据掌握的统计资料是否分组，标准差的计算分为简单和加权两种形式。 根据未分组资料计算简单标准