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解析几何总复习,第一章 向量代数,第二章 空间解析几何,第三章 坐标变换与二次曲线分类,第四章 正交变换与仿射变换,第五章 考试题型, 向量代数,1. 向量的各种运算,加法、数乘、内积、外积、混合积,重点掌握:,(1) 各种向量运算的法则及其坐标运算., = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R,设在某直角坐标系I: O; e1, e2, e3中,解析几何总复习, + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 一个向量, = a1b1 + a2b2 + a3b3 一个数, = (a1, a2, a3) 一个向量,一个向量,解析几何总复习,一个数,(2) 向量的夹角, ( ) = ( ) ( ) 一个向量,解析几何总复习,(3) 外积、混合积的几何意义.,外积的长度 | |,-以, 为邻边的平行四边形的面积,混合积的绝对值 |(, , )|,-以, , 为同一顶点三条棱的平行六面体体积,2. 向量或点的共线、共面问题,(1) 与 共线 = 0.,(2) , , 共面 (, , ) = 0.,解析几何总复习, 空间解析几何,1. 求平面方程,(1) 平面的点向式方程,已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) , v2(X2, Y2, Z2) 不共线, 则过M0且平行于 v1, v2的平面方程为,其中 M 为平面上任一点.,解析几何总复习,(2) 平面的一般方程,(3) 直角坐标系中平面的点法式方程,Ax + By + Cz + D = 0,其中,注意: 标准方程与一般方程之间的互化.,已知一点 M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量 n(A, B, C) , 则平面方程为,A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0,解析几何总复习,2. 求空间直线方程,(1) 直线的标准方程,已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为,(2) 直线的参数方程,解析几何总复习,(3) 直线的一般方程,注意: 标准方程与一般方程之间的互化.,3. 求夹角,(1) 直线与直线,(2) 直线与平面,(3) 平面与平面,归结为两向量的夹角,解析几何总复习,4. 求距离,(1) 点到直线,(2) 点到平面,(3) 两异面直线,解析几何总复习,5. 判断位置关系,(1) 两直线(平行、相交、重合、异面),(2) 两平面(平行、相交、重合),(3) 直线与平面(属于、平行、相交),6. 求旋转面、柱面、锥面方程,(1) 旋转面,设旋转面S 轴线 l 过点M0 , 平行于向量u0; 母线,则 M(x, y) S ,解析几何总复习, 圆柱面,定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径.,方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r,点 M 在圆柱面上 ,方程的建立:,方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上,点 M 在圆柱面上 ,解析几何总复习, 圆锥面,定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角.,方程的建立:,方法1: 锥顶为M0, 半顶角为,点 M 在圆锥面上 ,方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上,点 M 在圆锥面上 ,解析几何总复习,(2) 柱面,设柱面S / u(k, m, n), 准线 :,则点 M(x, y, z) S 存在实数 t, 使得,从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程.,定理: 若一个柱面的母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面.,解析几何总复习,(3) 锥面,定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面. 在以锥面顶点为原点 的直角坐标系中, 锥面方程必是关于 x, y, z 的齐 次方程.,设锥面S锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线 :,则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上存在实数t, 使,从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程.,解析几何总复习,(一) 椭球面,1 椭球面:,2 点:,(二) 双曲面,3 单叶双曲面:,(1) 非空二次曲面的类型,4 双叶双曲面:,7. 二次曲面,解析几何总复习,(三) 抛物面,5 椭圆抛物面:,6 双曲抛物面:,(四) 二次锥面,7 二次锥面:,(五) 二次柱面,8 椭圆柱面:,解析几何总复习,9 一条直线:,10 双曲柱面:,11 一对相交平面:,12 抛物柱面:,14 一张平面:,13 一对平行平面:,解析几何总复习,(2) 五类二次曲线的图形特征 (平行截线的变化规律; 范围; 对称性; 图像),1 椭球面,2 单叶双曲面,3 双叶双曲面,4 椭圆抛物面,5 双曲抛物面,解析几何总复习, 类型,所有二次柱面 所有二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面, 特点,二次柱面: 所有直母线都平行于一个固定向量.,二次锥面: 所有直母线都过同一个点.,(3) 直纹二次曲面,解析几何总复习,双曲抛物面: 恰有两族直母线,c R,同族的直母线都平行于同一张平面;,异族的直母线一定相交.,有如下特征性质:,方向向量分别为: uc (a, b, c), uc (a, b, c),同族的两条不同直母线一定异面;,解析几何总复习,单叶双曲面: 恰有两族直母线,其中 s, t 不全为零.,解析几何总复习,同族的任何三条不同的直母线都不平行于 同一张平面;,异族的直母线一定共面.,有如下特征性质:,方向向量可分别取为:,同族的两条不同直母线一定异面;,解析几何总复习, 坐标变换与二次曲线的分类,1. 坐标变换公式,(1) 仿射坐标变换公式、过渡矩阵的性质,(2) 直角坐标变换公式、正交矩阵的特点,2. 二次曲线的分类,(1) 利用移轴和转轴求二次曲线标准方程,(2) 利用不变量判断二次曲线类型,解析几何总复习,3. 计算二次曲线的仿射特征、度量特征,(1) 中心型二次曲线的中心,(2) 渐近线,(3) 直径与共轭直径,(4) 圆锥曲线的切线,(5) 圆锥曲线的对称轴、顶点,(6) 根据圆锥曲线的仿射、度量特征画简图,解析几何总复习, 保距变换与仿射变换,1. 仿射变换,(1) 概念与性质,(2) 仿射变换基本定理,(3) 仿射变换的变换公式、变换矩阵,(4) 仿射变换的不动点与特征向量,2. 保距变换,(1) 概念与特点,(2) 保距变换基本定理,(3) 保距变换的变换公式、变换矩阵,解析几何总复习,3. 图形的仿射分类与度量分类,(1) 仿射等价与度量等价,(2) 仿射概念、仿射性质和度量概念、度量性质,(3) 利用图形的仿射分类解决某些几何问题,注意几个常见的仿射等价类: 全体三角形; 全体平行四边形; 每一类二次曲线.,解析几何总复