高中数学阶段质量评估3北师大版选修2.docx

第三章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于()A9B9C1D1解析：f(x)3x22ax3，则x1x21.答案：C2函数yxex的增区间为()A(1，)B(0，)C(，0)D(，1)解析：由y1ex0解得x0.答案：B3函数f(x)x3ax1在(，1)上为增加的，在(1,1)上为减少的，则f(1)等于()A.B1C.D1解析：f(x)x2a，又f(1)0，a1，f(1)11.答案：C4已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc解析：由f(x)的图像知：x0是f(x)的极小值点，f(x)minf(0)c.答案：D5函数yf(x)在定义域内可导，其图像如图所示记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为()A.2,3B.C.1,2)D.解析：由条件f(x)0知，选择f(x)图像的减区间即为解答案：A6设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ba1CaDa解析：yexa，令y0，得xln(a)，易知xln(a)为函数的极值点，所以ln(a)0，解得a1，故选A.答案：A7函数f(x)x2cos x在区间上的最小值是()AB2C.D.1解析：f(x)12sin x，x，f(x)0，f(x)minf.答案：A8要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积为最大，则高为()A. cmB. cmC. cmD. cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(202x2)(0x20)V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x(cm)时，V取最大值答案：D9已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x且图像过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1B0C1D1解析：由题意知f(x)x42x25，令f(x)4x34x0，得x的值为0，1.x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值故选B.答案：B10已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()AmBmCmDm解析：因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上)11函数yx33x26x2，x1,1的最大值为_，最小值为_解析：y3x26x63(x1)210，所以函数f(x)在1,1上为增函数，最大值为f(1)2，最小值为f(1)12.答案：21212已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2xa0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln 22答案：(，2ln 2213.函数f(x)x3bx2cxd图像如图，则函数yx2bx的单调递增区间为_解析：由f(x)的图像可知：f(x)的减区间为2,3f(x)0的两根为2,3，又f(x)3x22bxc，.yx2bxx2x6，其增区间为.答案：14若函数f(x)x36x2a的极大值等于13，则实数a_.解析：f(x)3x212x，令f(x)0，则x0或4，由f(x)的图像(如图)，可知在x4处f(x)取得极大值，f(4)13，即6496a13，a19.答案：19三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)设函数f(x)x3x23x1.求f(x)的单调区间和极值解析：f(x)x22x3，由f(x)0，得x1或x3.列表如下：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)8函数f(x)的极大值为，极小值为8，函数f(x)的单调递增区间是(，1) 和(3，)，递减区间是(1,3)16(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围解析：(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，x2,6时f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只需c542|c|即可，当c0时，c542c，c54；当c0时，c542c，c18，c(，18)(54，)，此即为参数c的取值范围17(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本为C25 000200xx2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解析：(1)设平均成本为y元，则y200.y.令y0，得x11 000，x21 000(舍去)当在x1 000附近左侧时，y0；在x1 000附近右侧时，y0，故当x1 000时，y取得极小值，由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数为L500x300x25 000，L300.令L0，解得x6 000.当在x6 000附近左侧时，L0；在x6 000附近右侧时，L0.故当x6 000时，L取得极大值由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品18(本小题满分14分)已知函数f(x)ax3ln x.(1)当a2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在1，e上为单调函数，求实数a的取值范围解析：(1)当a2时，f(x)2x3ln x，f(x)2，令f(x)0，得x2或(x0，舍去负值)，x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)53ln 2当a2时，函数f(x)的最小值为53ln 2.(2)f(x)，令h(x)ax23xa