2016_2017学年高中数学第3章导数及其应用4导数在实际生活中的应用学案苏教版.docx

3.4导数在实际生活中的应用1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点)2.提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.(难点)基础初探教材整理导数的实际应用阅读教材P93P96练习以上部分，完成下列问题.1.导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.2.用导数解决实际生活问题的基本思路1.判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.()(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式.()(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.()【解析】(1).如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解.(2).求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题.(3).要根据实际问题的意义确定自变量的取值.【答案】(1)(2)(3)2.生产某种商品x单位的利润L(x)500x0.001x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_.【解析】L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，当x500时，最大利润为750.【答案】500750质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.设CD2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【精彩点拨】(1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值.【自主解答】(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y).点C在椭圆上，点C满足方程1(y0)，则y2(0 x r)，S(2x2r)22(xr)(0 x r).(2)记S4(xr)2(r2x2)(0xr)则S8(xr)2(r2x)令S0，解得xr或xr(舍去).当x变化时， S，S的变化情况如下表：xS0Sxr时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解.2.选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.再练一题1.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积.【解】设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为(3.22x)m由解得0x1.6.设容器的容积为y m3，则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6.令y0，则15x211x40，解得x11，x2(舍去).在定义域(0,1.6)内只有x1处使y0，x1是函数y2x32.2x21.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点. 因此，当x1时，y取得最大值，ymax22.21.61.8，这时高为3.2211.2(m).故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.用料最省、节能减耗问题(2016杭州高二检测)如图341所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 图341【精彩点拨】先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值.【自主解答】设C点距D点x km，则BD40 km，AC(50x)km，BC(km).又设总的水管费用为y元，依题意， 得y3a(50x) 5a(0x50)，则y3a，令y0，解得x30.当x0,30)时，y0，当x(30,50时，y0, 当x30时函数取得最小值，此时AC50x20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.1.像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型.2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值.再练一题2.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为_，宽为_. 【导学号：24830090】【解析】如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m， 因此新墙总长度L2x(x0)，L2.令L20，得x16或x16.x0，x16.L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点.x16，32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.【答案】16 m32 m探究共研型利润最大问题探究1在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量.探究2什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】销售额单价销售量，利润销售额成本.探究3根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示.图(2016滨州高二检测)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售商品所获得的利润最大.【精彩点拨】利用待定系数法先求得参数a的值，由题意列出利润关于价格的函数关系式，转化为求函数在(3,6)上的最大值问题.【自主解答】(1)因为x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日销售量y10(x6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解决最优化问题的一般步骤：(1)根据各个量之间的关系列出数学模型；(2)对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；(3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.再练一题3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.【解】(1)设日销量q，则100，k100e30，日销量q，y(25x40).(2)当t5时，y，y.由y0，得25x26，由y0，得26x40，y在25,26)上单调递增，在(26,40上单调递减，当x26时，ymax100e4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元.构建体系1.一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h，则体积V的表达式为_.【解析】设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r，则V(400h2)h. 【答案】(400h2)h2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台.【解析】构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0是x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点.即生产6千台时，利润最大.【答案】63.(2016盐城高二检测)某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为_.【导学号：24830091】【解析】V(x)2xx2x260xx(x40).令V(x)0，得x40或x0(舍).不难确定x40时，V(x)有最大值.即当底面边长为40时，箱子容积最大.【答案】404.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_.【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L. 要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR22， S表2R.令S0，解得R3.R(0,3)时，S表单调递减，R(3，)时，S表单调递增，当R3时，S表最小.【答案】35.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润.【解】由题意，可设p2，其中k为比例系数.因为当x100时，p50，所以k250000，所以p2，p，x0.设总利润为y万元，则yx1200x3500x31200.求导数得，yx2.令y0得x25.故当x25时，y0；当x25时，y0. 因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值，即最大利润为万元.【答案】25我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十)导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为st32t2，那么速度为24的时刻是_秒末.【解析】由题意可得t0，且s4t24t，令s24，解得t3(t2舍去).【答案】32.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件.【解析】令yx2810，解得x9或x9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，)上是减函数， f(x)在x9处取最大值.【答案】93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少_米.【解析】设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y0；当x200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为_.【解析】设圆锥的高为h cm(0h20)，则圆锥的底面半径r (cm)，VV(h)r2h(400h2)h(400hh3)，V(4003h2)，令V(4003h2)0，解得h.由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】cm5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为12，则它的长为_、宽为_、高为_时，可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm，宽为x cm，则高为 cm，表面积S22xx2x22x4x2(x0)，S8x，由S0，得x3，x(0,3)时，S0，x(3，)时，S0，x3时，S最小.此时，长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm6.(2016四川高考改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是_. 【导学号：24830092】【解析】由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，ln x1)(0x11)，则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为yln x1(xx1)，即y1ln x1.则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为yln x2(xx2)，即y1ln x2.由l1l2，得1，x1x21.由切线方程可求得A(0,1ln x1)，B(0，ln x21)，由知l1与l2交点的横坐标xP.SPAB(1ln x1ln x21).又x1(0,1)，x12，01，即0SPAB1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为_.【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为， 则圆柱的体积为V(R2h2)2h2R2h2h3，V2R26h2. 令V0，解得hR.h时，V单调递增，h时，V单调递减，故当hR时，即2hR时，圆柱体的体积最大.【答案】R8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300170pp2.则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为_.【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或 p130(舍去).因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y3mr2m(r22rh).由Vr2h，得h，y4mr2(r0)，y8mr.令y0，得r.此时h4.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.当r时，y有最小值，即hr41时，总造价最少.10.(2016南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15元，所以y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0x1).(2)由y5a(42x12x2)0得x1或x2(舍)，当0x时，y0； 当x1时，y0，所以函数y5a(14xx24x3)(0x1)在x处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为2030(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 能力提升1.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_.【解析】设四角截去的正方形边长为x.铁盒容积V4(24x)2x，所以V4(24x)28(24x)x4(24x)(243x)，令V0，得x8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_.【解析】依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0，0.0486).所以银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx2. 令y0，得x0.0324或x0(舍去). 当0x0.0324时，