全国高考数学复习离散型随机变量的分布列及均值和方差习题理.docx

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量概念与分布列1,2,3,4,5,7,9离散型随机变量的均值6,14,15,16离散型随机变量的方差8,11,13超几何分布10,12基础对点练(时间:30分钟)1.下列变量中离散型随机变量的个数为(C)在2 016张已编号(从1号到2 016号)的奖券中任取一张,被取出的号码X连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数Y在编号为1100的100张卡片中,任取两张,其两张卡片的编号之和Z某加工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:X,Y,Z都是随机变量且可以一一列出,是离散型随机变量;是随机变量,但其取值位于某个区间内,不可一一列出,故不是离散型随机变量.2.从标有110的10台电脑中任取两台,设所得两台电脑上的数字之和为,那么随机变量可能取得的值有(A)(A)17个 (B)18个 (C)19个 (D)20个解析:110任取两个的和可以是319中的任意一个,共有17个.3.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a()i,i=1,2,3,则a的值为(B)(A) (B) (C) (D)解析:根据题意及随机变量分布列的性质得a+a()2+a()3=1,解得a=.4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(C)(A)0(B)(C)(D)解析:即求试验不成功的概率,故选C.5.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(C)(A)(-,2 (B)1,2 (C)(1,2 (D)(1,2)解析:由随机变量X的分布列知P(X-1)=0.1,P(X0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2.6.随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的数学期望是(B)(A)2 (B)2.1(C)2.3(D)随m的变化而变化解析:根据题意,0.2+0.5+m=10,解得m=0.3,所以E(X)=10.2+20.5+30.3=2.1.7.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3,),则P(3X6)等于(C)(A) (B) (C) (D)解析:P(3X6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=+=.8.随机变量的分布列如下:-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E()=,则D()= .解析:由题意得2b=a+c,a+b+c=1,c-a=,以上三式联立解得a=,b=,c=,故D()=.答案:9.一个小商店每年利润X(万元)的概率分布列是X0.511.52P0.10.20.50.2则这个小商店一年利润不低于1万元的概率是.解析:根据分布列,记这个小商店一年的利润不低于1万元为事件X1,故P(X1)=1-P(X6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.13.已知随机变量X的分布列为X01234P0.20.20.30.20.1则D(X)=,D(2X-1)=.解析:E(X)=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1=1.8,所以D(X)=(0-1.8)20.2+(1-1.8)20.2+(2-1.8)20.3+(3-1.8)20.2+(4-1.8)20.1=1.56,由方差的性质得D(2X-1)=4D(X)=41.56=6.24.故D(X)=1.56,D(2X-1)=6.24.答案:1.566.2414.导学号 18702595为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x(单位:元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时,行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.求这两种金额之和不低于20元的概率;若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望.解:(1)由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是40200-10200=.(2)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率为P(A)=.根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P故E(X)=5+10+15+20+25+30+35=20(元).15.(2016湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为X,写出X的分布列和数学期望E(X).解:(1)甲班样本数据的平均值为(9+11+13+20+24+37)=19,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为19小时;乙班样本数据的平均值为(11+12+21+25+27+36)=22,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.X的分布列是X01234PE(X)=0+1+2+3+4=.16.导学号 18702596某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(月日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:统计信息在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231.6公路2140.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为(单位:万元),求的分布列和数学期望E();(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)解:(1)若汽车走公路1,不堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-1.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-1.6-1=17.4(万元),所以汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入的分布列为18.417.4PE()=18.4+17.4=18.3(万元).(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-0.8-2=17.2(万元).所以汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入的分布列为20.217.2PE()=20.2+17.2=18.7(万元).因为E()1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是.解题关键:根据数