矩估计和极大似然估计.ppt

统计推断的过程,参数估计的方法,1. 矩法估计,参数的点估计,2. 极大似然估计,参数估计问题的一般提法,设总体 X 的分布函数为 F( x, )，其中 为未知参数或参数向量，现从该总体中抽样,得到样本,X1, X2 , , Xn .,依样本对参数 做出估计，或估计参数 的某个已知函数 g( ) 。,这类问题称为参数估计。,参数估计包括：点估计和区间估计。,称该计算值为 的一个点估计。,为估计参数 ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , , Xn )， 一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计量中，算出一个值作为 的估计，,寻求估计量的方法,1. 矩估计法,2. 极大似然法,3. 最小二乘法,4. 贝叶斯方法 ,我们仅介绍前面的两种参数估计法 。,其思想是: 用同阶、同类 的样本矩来估计总体矩。,矩估计是基于“替换”思想建立起来的一种参数估计方法 。,最早由英国统计学家 K. 皮尔逊 提出。,一、 矩估计,矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。,解：先求总体的期望,例1：设总体 X 的概率密度为,由矩法，令,样本矩,总体矩,解得,为 的矩估计。,注意：要在参数上边加上“”， 表示参数的估计。它是统计量。,解: 先求总体的均值和 2 阶原点矩。,例2：设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的简单样本, X 有概率密度函数,令y=(x- )/,令y=(x- )/,用样本矩 估计总体矩,得,例3：设总体X的均值为，方差为2，求 和2 的矩估计。,解：由,故，均值,方差2的矩估计为,即,如：正态总体N( , 2) 中 和2的矩估计为,设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数,步骤一：记总体 X 的 m 阶原点矩 E(Xm)为 am , m = 1,2,k.,am(1,2,k), m =1, 2, , k.,一般地, am (m = 1, 2, , K) 是总体分布中参数或参数向量 (1, 2, , k) 的函数。,故, am (m=1, 2, , k) 应记成:,步骤二：算出样本的 m 阶原点矩,步骤三：令,得到关于 1,2,k 的方程组(Lk)。一般要求方程组(1)中有 k 个独立方程。,步骤四：解方程组(1), 并记其解为,这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称矩法。,又如：若总体 X U(a, b)，求a, b的矩估计。,解：列出方程组,因,解上述方程组，得到 a,b 的矩估计:,矩估计的优点是：简单易行, 不需要事先知道总体是什么分布。,缺点是：当总体的分布类型已知时，未充分利用分布所提供的信息；此外，一般情形下，矩估计不具有唯一性 。,二、 极大似然估计,极大似然估计法是在总体的分布类型已知前提下，使用的一种参数估计法 。,该方法首先由德国数学家高斯于 1821年提出，其后英国统计学家费歇于 1922年发现了这一方法，研究了方法的一些性质，并给出了求参数极大似然估计一般方法极大似然估计原理 。,似然函数的定义,1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为,现有样本观察值x1,x2,xn,其中xk取值于ak,k=1,2 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,根据极大似然思想, 值应是在中使P(A) 达到最大的那一个,也就是使 样本联合分布律 最大.,2. 最大似然估计法,最大似然估计法,假定现在我们观测到一组样本 X1, X2, , Xn，要去估计未知参数 。,称 为 的极大似然估计 (MLE)。,一种直观的想法是：哪个参数(多个参数时是哪组参数) 使得现在的出现的可能性 (概率) 最大，哪个参数(或哪组参数)就作为参数的估计。,这就是 极大似然估计原理。,如果, 可能变化空间, 称为参数空间。,III. 下面举例说明如何求参数的MLE,例1: 在正确使用情况下，某手机电池的保修期为400小时，假设P是一批这种手机电池在保修期内失效的比例。 （1）求p的极大似然估计量； （2）随机抽取了2000块电池作为样本，发现有3块电池在保修期内失效，根据这些信息求参数p的极大似然估计值。,似然函数为,解 从这批手机电池中任意取一块，定义X，当电池在保修期内失效时X=1，否则X=0，则XB(1, p)，X1, X2, , Xn是取自总体 的一个样本。,对数似然函数为：,对 p 求导，并令其等于零，得,上式等价于,解上述方程，得,换成,换成,(4). 在最大值点的表达式中，代入样本值， 就得参数 的极大似然估计。,II. 求极大似然估计(MLE)的一般步骤,. 由总体分布导出样本的联合概率函数(连 续型时为联合概率密度, 离散型时为联合 概率分布)；,(2). 把样本的联合概率函数中的自变量看成 已知常数, 参数 看成自变量, 得到似然 函数 L( )；,(3). 求似然函数 L( ) 的最大值点 (常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;,两点说明：, 求似然函数 L( ) 的最大值点，可应用微积分中的技巧。由于 ln(x) 是 x 的增函数，所以 ln L( ) 与 L( ) 在 的同一点处达到各自的最大值。假定 是一实数, ln L( )是 的一个可微函数。通过求解似然方程,可以得到 的MLE。, 用上述方法求参数的极大似然估计有时行不通，这时要用极大似然原理来求 。,若 是向量，上述似然方程需用似然方程组,代替 。,例2：某机器生产的金属杆用于汽车刹车系统，假设这种金属杆直径服从正态分布 N(, 2) 参数 和 2 未知，求此两参数极大似然估计量。,解：似然函数为,对数似然函数为,似然方程组为,由第一个方程，得到,代入第二方程，得到,例3：设总体 X 服从泊松分布 P( )，求参数 的极大似然估计。,解：由 X 的概率分布函数为,得 的似然函数,似然方程为,对数似然函数为,其解为,换成,换成,得 的极大似然估计,例 4：设 X U(a, b)，求 a, b 的极大似然估计。,解：因,所以,由上式看到：L(a,b)作为a和b的二元函数是不连续的，所以我们不能用似然方程组来求极大似然估计，而必须从极大似然估计的定义出发，求L(a,b)的最大值。,为使 L(a, b) 达到最大，b-a 应该尽量地小。 但 b不能小于 maxx1,x2,xn。否则，L(a,b) = 0。类似地，a 不能大于minx1,x2,xn。 因此，a 和 b 的极大似然估计为,解：似然函数为,例5：设 X1, X2,Xn 是抽自总体 X 的一个样本，X 有如下概率密度函数