2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数5第5讲指数与指数函数教案.docx

第5讲指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)(ar)sars(a0，r，sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象及性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y0时，0y0时，y1 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)4.()(2)与()n都等于a(nN*)()(3)(1)(1).()(4)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(5)若aman，则mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)有下列四个式子： 8； 10； 3；ab.其中正确的个数是()A1B2C3 D4解析：选A.正确， |10|10，错误；|3|(3)3，错误，|ab|，故选A. (2018东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()AyBy|x2|Cy2x1Dylog2(2x)解析：选A.由f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，又0，知(1，1)不在y的图象上 函数f(x)的值域为_解析：由1ex0，ex1，故函数f(x)的定义域为x|x0所以0ex1，1ex0，01ex1，函数f(x)的值域为0，1)答案：0，1) (教材习题改编)若指数函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a.答案：(，1)(1，)指数幂的化简与求值学生用书P23 典例引领 化简下列各式：(1)0.027(1)0；(2)(3ab1)(4ab3).【解】(1)原式72149145.(2)原式(2ab)abababb1.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 通关练习1化简(x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2yD2x2y解析：选D.因为x0，y1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若方程|3x1|k有一解，则k的取值范围为_【解析】(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.答案：(0，) 2.若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|k的图象如图所示由图象知k1，即k(，1答案：(，1 3.若将本例(2)变为函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y|3x1|的图象知，其在(，0上单调递减，所以k(，0指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 通关练习1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质2若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_解析：(1)当0a1时，y|ax1|的图象如图.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a1时，y|ax1|的图象如图，而y2a1不可能与y|ax1|有两个交点综上，0a.答案：指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质典例引领角度一比较指数幂的大小 已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()AcabBbacCacbDab，所以，即bac.【答案】B角度二解简单的指数方程或不等式 设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3，1)D(，3)(1，)【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为71，即8，即，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，即0a1.故a的取值范围是(3，1)，故选C.【答案】C角度三研究指数型函数的性质 已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【解】(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)令g(x)ax24x3，f(x)，由指数函数的性质知，要使y的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，)时，a的值为0.有关指数型函数性质的常考题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比较大小.(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 通关练习1函数y()x22x1的值域是()A(，4)B(0，)C(0，4D4，)解析：选C.设tx22x1，则y()t.因为01，所以y()t为关于t的减函数因为t(x1)222，所以00时，1bxax，则()A0ba1B0ab1C1baD1a0时，11.因为x0时，bx0时，1.所以1，所以ab.所以1ba，故选C.3已知函数y9xm3x3在区间2，2上单调递减，则m的取值范围为_解析：设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x2，2，所以t.又函数y9xm3x3在区间2，2上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围为(，18答案： (，18 与()n的区别(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定 指数函数的图象与性质(1)利用性质判断根据指数函数yax的图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数值(正负)等(2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域(1)yaf(x)的定义域就是f(x)的定义域(2)求yaf(x)和yf(ax)的值域的解法形如yaf(x)的值域，要先令uf(x)，求出uf(x)的值域，再结合yau的单调性求出yaf(x)的值域若a的取值范围不确定，则需要对a进行分类讨论：当0a1时，yau为增函数形如yf(ax)的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)的单调性确定yf(ax)的值域 与指数函数有关的复合函数的单调性利用复合函数的单调性判断形如yaf(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间(2)若0a0，a1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1或0a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2解析：选B.由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因为g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2，)6化简：22(0.01)0.5_解析：原式111.答案：7(2018陕西西安模拟)若函数f(x)ax22a(a0，a1)的图象恒过定点，则函数f(x)在0，3上的最小值等于_解析：令x20得x2，且f(2)12a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，12a)，因此x02，a，于是f(x)，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在0，3上的最小值为f(3).答案：8已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则ab_解析：当a1时，函数f(x)axb在1，0上为增函数，由题意得无解当0a0，a1，bR)(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，试求a，b应满足的条件解：(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的xR，都有f(x)f(x)，即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)记h(x)|xb|当a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是增函数，所以b2，b2.当0a1且b2.1(2018河南濮阳检测)若“ma”是函数“f(x)m的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为()A2B1 C0D1解析：选B.因为f(0)m，所以函数f(x)的图象不过第三象限等价于m0，即m，所以“ma”是“m”的必要不充分条件，所以a，则实数a能取的最大整数为1.2(2017高考全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x1，所以xlog2k，ylog3k，zlog5k.因为2x3y2log2k3log3k0，所以2x3y；因为3y5z3log3k5log5k0，所以3y5z；因为2x5z2log2k5log5k2x.所以5z2x3y，故选D.3若不等式(m2m)2x1对一切x(，1恒成立，则实数m的取值范围是_解析：(m2m)2x1可变形为m2m.设t，则原条件等价于不等式m2mtt2在t2时恒成立显然tt2在t2时的最小值为6，所以m2m6，解得2mb0，若f(a)f(b)，则bf(a)的取值范围是_解析：画出函数图象如图所示，由图象可知要使ab0，f(a)f(b)同时成立，则b1.bf(a)bf(b)b(b1)b2b，所以bf(a)2.答案：5已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.解：(1)因为f(x)是