卷积和和卷积积分.ppt

第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient),重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；,2.1 线性时不变连续系统的时域解法,连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述系统。,微分方程,其有无数个解；若已知初始条件：,其解唯一。,微分方程的经典解。,齐次解是满足,的解,若n个特征值各不相同：,若特征值中有1是r重根，而其余的根都为单数，则,ci、cj的值由初始条件确定。,齐次解,特解,特解的函数形式与激励函数形式有关。,微分方程的特解形式：,系统的零输入响应与零状态响应,一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零状态响应。即：,零输入响应,零状态响应,而：,例：已知一系统的微分方程为：,求分别输入,时的输出y(t)。,解：,2.2 单位冲激响应,单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信号 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。即：,分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。,解：建立系统的微分方程：,由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t0时，系统的激励为0。相当于在0到0时刻，使系统具有了一定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：,注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。,2.3 卷积积分,对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应，那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系统的响应。,一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激函数之和的情况。,矩形信号：,分为一系列宽度相等的窄矩形脉冲之和,若：,设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的窄脉冲之和。,当,则：,设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于 的冲激响应为,则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：,当：,求和符号改为积分符号,上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用y(t)=x(t)*h(t)表示。即,卷积积分的图解法,卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求解步骤，以x(t)*h(t)为例：,1、将h(）反折，得h(-）,2、将h(-）沿轴时延t秒，得得h(t）,3、将x(）与 h(t）相乘 ，得x(） h(t）,4、沿轴对x (） h(t）积分,例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t),反折：,时移,（1）,（2）,（3）,（4）,(5),y(t)的时域波形如图所示：,例：,求,解：,例：已知,求：,求：,例：已知,2.卷积积分运算的性质,（1）满足交换律：,（2）满足分配律：,（3）卷积的结合律：,（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积。即：,（5）卷积的积分：,应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或多重积分之运算规律： 设 ，则有：,此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为：,4.与冲激函数或阶跃函数的卷积,（1）函数x(t)与单位冲激函数(t)卷积的结果仍然是x(t)本身。即：,证明：,证明：,例,解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：,例：已知,求：,2.4 卷积和,在连续时间系统中，可以利用卷积积分的方法求系统的零状态响应。这时，首先把激励信号分解成冲激函数，把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应。这个过程称为卷积积分。 在离散系统中，由于离散信号本身就是不连续的序列，对应每个样值序列，每一响应也是一个离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的零状态响应。,对于任意的激励信号xn可以表示成单位冲激序列的加权和，即：,2 卷积和的性质：,与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。,以及满足：,下面分析卷积和的几种运算方法：,从卷积和的表达式：,可知，卷积和也要经过以下四个步骤：,图解法： 以一个例子说明这个方法。已知：,（3）相乘、求和：,卷积和的波形如下：,2.解析式法：,对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和。,对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数，一般也要通过图解法作为辅助的手段。,（3）多项式相乘法,对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多项式乘法求解。下面举一例子说明这种方法。,为书写方便，写成如下形式：,将两序列的左端或右端对齐，然后相乘。这里采用左端对其的方式。要注意的是不能进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到yn。,上面的这个表达式还不完整，还没有确定yn的定义域。 一般的，对于一个定义为n1,n2的序列xn以及n3,n4的序列hn,hn-k的定义域为n-n4,n-n3，即,上面这道例题，其中n1=0，n23，n3=0，n4=2，则其定义域为0，5。,（4）序列长度,xn定义在n1,n2以及hn定义在n3,n4上。 若定义xn的序列长度为Nf，hn的序列长度为Nh，yn的长度为Ny,则,（4）解卷积运算,在许多信号处理的实际问题中，需要做解卷积运算，即已知xn(hn)，yn，求hn(xn)。 解卷积运算可以用长除法来进行。仍举上面的例子进行说明。,其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出。,例： 设3个LTI因果系统的级联如图所示，其中冲激响应h2n为 h2n=un-un-2 而总的冲激响应为： hn=1,5,10,11,8,4,1,n=0,1,2,3,4,5,6; (1)求冲激响应h1n; (2)求整个系统对xn=n- n-1的响应。,这里相当于求卷积，采用长除法：,故：h1n=1,3,3,2,1 n=0,1,2,3,5,2.5 线性时不变系统的性质,系统的记忆性,系统的可逆性,系统的因果性,系统的稳定性,一、系统的记忆性,系统的无记忆性意味着，任何时刻的输出信号值仅取决于同一时刻的输入信号值，而与其他时刻的输入信号值无关。,无记忆系统: DT: yn=kxn, hn=kn CT: y(t)=kx(t), h(t)=k(t),即：在一个LTI系统中，只有满足下列条件时，LTI系统才是无记忆的。,二、LTI系统的可逆性,给定一个系统的冲激响应为h(t)，逆系统的冲激响应为h1(t) ，则必定有：,h(t) *h1(t) =(t),例：一个信号与一个移位冲激的卷积就是该信号的移位。,三、LTI系统的因果性,连续和离散时间LTI系统的因果判据分别是：,例子：请问以下系统是因果系统么？ 1、hn=un 2、hn=n- n-1 3、hn=(4)nu2-n 4、h(t)=e-3tu(t-1),因果；因果；非因果;因果。,h(t)=0, t0 或 hn=0, n0,连续时间或离散时间线性系统的因果性等价于这样的条件，即对于任何时刻t0或n0，若对任何输入x(t)或xn ，系统的输出或分别满足如下条件：,这个条件正是上述物理规律的数学描述，通常叫做“初始松弛”。,注意：对于线性系统，因果性等效于初始松弛。,四、LTI系统的稳定性,连续或离散时间LTI系统稳定性的充要条件：,例：下列系统是稳定的LTI系统么？,是；否。,2.5.3 LTI系统的单位阶跃响应,单位阶跃响应s(t)或sn，就是输入为u(t)或un时LTI系统的输出。,一个连续时间LTI系统的阶跃响应为：,s(t)=u(t)*h(t),即：,一个离散时间LTI系统的阶跃响应为：,sn=un*hn,即：,单位冲激函数的卷积定义,(t)的运算定义为：,即将(t)定义为与任意函数卷积运算能产生该函数本身的一种函数。,2.6 奇异函数,(t)的性质,1、 (t)具有单位面积 2、偶函数 3、 (t)的筛选性质 4、 x(t)(t)=x(0) (t),(t)各阶导数的运算定义,考虑LTI系统：,这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数，称为单位冲激偶u1(t).,(t)的k阶导数(k)(t)都是奇异函数。,uk(t)是(t)的k阶导数,是一个取输入k次导数系统的单位冲激响应,定义：,(t)各次积分的运算定义,单位阶跃函数u(t)是(t)的一次积分, (t)的二次积分为：,定义：,u-k(t)是(t)的k次积分,是一个取输入k次积分系统的单位冲激响应。,2.7 用微分和差分方程描述的因果LTI系统,在连续系统中，通过建立系统的常系数微分方程，然后对其求解，以获得系统的响应。 在离散系统中，对系统建立的是差分方程。,连续系统：常系数微分方程,经典解法：,零输入响应与零状态响应：,离散系统：常系数差分方程,用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。,其有无数个解；若已知初始条件：,一个N阶常系数线性差分方程表示为：,求解常系数线性差分方程的方法：,2）经典解法,1）递推解法,对于,则：,若N0，yn与输入以及其以前值有关，其响应是无限长,无限冲激响应：