高三数学第二轮复习-------最值问题.doc

或葿蒇螃膀腿蚃虿袆芁蒅薅袅莄蚁袃袄肃蒄衿袄芆蝿螅袃莈薂蚁袂蒀莅羀袁膀薀袆袀节莃螂罿莅蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袅肂肅蚂螁肂膇蒅蚇肁芀蚀蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄虿肆肆蕿薅膆膈莂袄膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆蚂膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃膀腿蚃虿袆芁蒅薅袅莄蚁袃袄肃蒄衿袄芆蝿螅袃莈薂蚁袂蒀莅羀袁膀薀袆袀节莃螂罿莅蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袅肂肅蚂螁肂膇蒅蚇肁芀蚀蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄虿肆肆蕿薅膆膈莂袄膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆蚂膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃膀腿蚃虿袆芁蒅薅袅莄蚁袃袄肃蒄衿袄芆蝿螅袃莈薂蚁袂蒀莅羀袁膀薀袆袀节莃螂罿莅蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袅肂肅蚂螁肂膇蒅蚇肁芀蚀蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄虿肆肆蕿薅膆膈莂袄膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆蚂膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃膀腿蚃虿袆芁蒅薅袅莄蚁袃袄肃蒄衿袄芆蝿螅袃莈薂蚁袂蒀莅羀袁膀薀袆袀节莃螂罿莅蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃 高三数学第二轮复习-最值问题 最值问题也可以表述成值域问题，取值范围等问题，它包括最大值及最小值。这部分知识是高考中必考题，它与其他知识的联系也是十分紧密的，因此我们有必要把求最值的知识方法总结一下。 1利用二次函数求最值 二次函数是我们研究的重点也是难点，特别是在给定区间上的最值问题。这部分常见的是换元后转化为二次函数的形式。特别注意换的“元”的取值范围。研究二次函数问题最好是结合它的图像（可以在草稿纸上画草图），这样不易出错，并且加快解题速度。 例1：f(x)=1-2ax-a2x (a0且a1)(1) 求函数f(x)的值域； (2) 若x-2,1时，f(x)的最小值为-7，求a的值及此时f(x)的最大值。 解：令t=ax，则t0， f(x)=1-2t-t2=-(t2+2t+1)+2=-(t+1)2+2 对称轴t=-10, f(x)1时，ta-2,a 当t=a时，f(x)min=-(a+1)2+2=-7,a=2 此时f(x)max=-(a-2+1)2+2=。 当0a1时，ta, a-2, 当t=a-2时，f(x)min=-(a-2+1)2+2=-7,a=,此时f(x)max=-(a+1)2+2=, 满足题要求时a=2时，f(x)max=。 a=时，f(x)max=。 例2：已知：a1，f(x)=ax2-2x+1在1，3上最大值为M(a),最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。求g(a)的最小值。 解：f(x)=a(x2-x+-)+1=a(x-)2+1- a1,13。 所以f(x)的图像开口向上，对称轴在1,3之间。 x1,3 当x=时，f(x)min=N(a)=1-， 当12，即a1时，f(x)max=f(3)=M(a)=9a-5。 当23，即a时，f(x)max=f(1)=M(a)=a-1。 g(a)=M(a)-N(a) g(a)=,当a0, 可证g(a)在, )是单减函数， g(a)在, )上无最小值, 当a1时，g(a)=9a+-66-6 当且仅当a=时“=”成立，a=,1 g(a)0,可证g(a)在,1上为单增函数， g(a)min=g()=,当a=时，g(a)min=。注：最好掌握一般的情况f(x)=ax+(a,b0)的图像，因为是奇函数，只画右边部分。（下面的3中涉及到了） 因为ax+，在ax=时取等号，即x。草图如下：（可以观察最值和单调性） 2利用平均值不等式求最值例1：从半径为2的圆板上剪下一个以原圆心为圆心的扇形，围成一个圆锥的侧面，如何操作使圆锥体积最大？ 解：如图，圆锥的母线长为2，设圆锥轴截面的底角为(02。(此时要用到y=x+型函数的单调性) y=t+在1,+)是增函数（自己去证） y=t+在,+) 上也是增函数， y,+) 。 4利用三角变换求最值。例：求函数y=x+x的最值。 解：定义域：-1，1，设x=cos,0,，则=sin, y=cos+sin+cossin 令t=sin+cos=sin(+),t-1, y=t+(t2-1)=(t2+2t+1)-1=(t+1)2-1 t-1,。 当t=-1时，即x=-1时，ymin=-1, 当t=时，即x=时，ymax=。 注：本题应用定义域-1，1上入手，采用三角换元方法解决，换元后一定要说明新元的范围。 例：已知：复数z1,z2,z3的辐角分别为,，模分别为1，k,2-k，且z1+z2+z3=0。 求：cos(-) 的最大及最小值及相应的k值。 解： k, 2-k是复数的模， 0k2, 设z1=cos+isin, z2=k(cos+isin),z3=(2-k)(cos+isin) z1+z2+z3=0, cos+kcos+(2-k)cos+isin+ksin+(2-k)cos=0, 。 sin2+cos2=1, (k-2)2cos2-2k(k-2)coscos+k2cos2+(k-2)sin2-2k(k-2)sinsin+k2sin2=1, 即(k-2)2+k2-1=2k(k-2)coscos+sinsin=2k(k-2)cos(-)。 0k2, cos(-)=1+=1+ 当k=1时，cos(-)max=-, cos(-)-1,1, 当k=或时，cos(-)min=-1。 注：本题最后求最值时，不仅要考虑k的变化，也要考虑三角函数本身的范围。 5利用数形结合求最值。例：求函数y=的最值。 解：本题可看作定点P（2，3）与动点Q(cosx,sinx)连线的斜率的范围。而动点Q在圆心在原点的单位圆上移动，当过P点的直线与圆相切时得到最值。 设过P的直线y-3=k(x-2) (1+k2)x2-2k(2k-3)x+(4k2-12k+8)=0 =4k2(2k-3)2-4(1+k2)(4k2-12k+8)0，3k2-12k+80 2-k2+, ymax=2+, ymin=2-。 例：已知：实数x,y满足x2+y2-4x-6y+12=0,求：x2+y2的范围。 解：由x2+y2-4x-6y+12=0，得到(x-2)2+(y-3)2=1 x2+y2即为圆上一点到原点距离的平方， (x2+y2)min=(-1)2=14-2,(x2+y2)max=(+1)2=14+2。 x2+y214-2,14+2。 注：切记x2+y2是指到原点距离的平方。 蒄莇袄膆芇蚅袃袅蒂薁袂羈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀羇袆莀莆羆罿膃蚄羅肁莈蚀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肂芆莅蚆膄蒁螄蚅羄芄蚀蚄肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁膅螀蚁羀莁蚆螀肃膃薂螀膅荿蒈蝿袄膂莄螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄莇袄膆芇蚅袃袅蒂薁袂羈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀羇袆莀莆羆罿膃蚄羅肁莈蚀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肂芆莅蚆膄蒁螄蚅羄芄蚀蚄肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁膅螀蚁羀莁蚆螀肃膃薂螀膅荿蒈蝿袄膂莄螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄莇袄膆芇蚅袃袅蒂薁袂羈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀羇袆莀莆羆罿膃蚄羅肁莈蚀羄芃