高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_2函数的单调性与最值课件

2.2 函数的单调性与最值,基础知识 自主学习,课时训练,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.函数的单调性,知识梳理,(1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.( ) (2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).( ) (3)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ),(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( ),考点自测,1.(2016北京)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是 A.y B.ycos x C.yln(x1) D.y2x,答案,解析,答案,解析,2.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为 A.2 B.2 C.6 D.6,函数的对称轴为x1，又x0， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，).,答案,解析,3.(2016舟山模拟)函数yx22x3(x0)的单调增区间为_.,(0，),答案,解析,2,题型分类 深度剖析,题型一 确定函数的单调性(区间),命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)函数f(x)log (x24)的单调递增区间是 A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2),答案,解析,因为ylog t，t0在定义域上是减函数， 所以求原函数的单调递增区间， 即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).,(2)yx22|x|3的单调增区间为_.,答案,解析,由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24， 二次函数的图象如图. 由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数.,(，1，0,1,命题点2 解析式含参数的函数的单调性,解答,引申探究 如何用导数法求解例2?,解答,确定函数单调性的方法 (1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法. (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”. (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.,思维升华,跟踪训练1 已知函数f(x) ，则该函数的单调递增区间为 A.(，1 B.3，) C.(，1 D.1，),设tx22x3，则t0，即x22x30， 解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上单调递减， 在3，)上单调递增. 所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,答案,解析,(2)函数f(x)(3x2)ex的单调递增区间是 A.(，0) B.(0，) C.(3,1) D.(，3)和(1，),f(x)2xexex(3x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1). 当30， 所以函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1)，故选C.,答案,解析,题型二 函数的最值,若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_.,设tx22xa(x0)，则ta， log2tlog2a， 又x0时，f(x)1，又f(x)的值域为R， log2a1，0a2.,(0,2,答案,解析,解答,若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.,解答,求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.,思维升华,跟踪训练2,1,答案,解析,8,答案,解析,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小 例4 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac,答案,解析,根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，,命题点2 解函数不等式 例5 (2016温州模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f( )0，则满足f(log x)0的x的集合为_.,答案,解析,例6 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是,答案,解析,命题点3 求参数范围,答案,解析,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.,思维升华,(3)利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.,跟踪训练3,答案,解析,(2)(2016金华模拟)要使函数y 与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_.,答案,解析,(，4),典例 (15分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解抽象函数不等式,答题模板系列1,(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小. (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.,思维点拨,规范解答,答题模板,(1)证明 设x1，x2R且x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. 2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1， 4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数. 7分 (2)解 m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1， 8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，,f(1)2，f(a2a5)2f(1)， 12分 f(x)在R上为增函数， a2a513a2， 即a(3,2). 15分,返回,解函数不等式问题的一般步骤 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象 符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.,返回,课时训练,1.(2016北京东城区模拟)下列函数中，在区间(1，)上是增函数的是 A.yx1 B.y C.y(x1)2 D.y31x,A中，函数在(1，)上为减函数， C中，函数在(1，)上为减函数， D中，函数在(1，)上为减函数.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.函数f(x)|x2|x的单调减区间是 A.1,2 B.1,0 C.(0,2 D.2，),答案,解析,当x2时，f(x)为增函数， 当x2时，(，1是函数f(x)的增区间； 1,2是函数f(x)的减区间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(0,1 B.1,2 C.1，) D.2，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.(1，) B.4,8) C.(4,8) D.(1,8),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,6.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于 A.1 B.1 C.6 D.12,由已知得，当2x1时，f(x)x2， 当1x2时，f(x)x32. f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数， f(x)的最大值为f(2)2326.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016杭州二测)设函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)单调递增，F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x).若对任意x1，x2R(x1x2)，不等式f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)2恒成立，则 A.F(x)，G(x)都是增函数 B.F(x)，G(x)都是减函数 C.F(x)是增函数，G(x)是减函数 D.F(x)是减函数，G(x)是增函数,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由f(x1)f(x2)2g(x1)g(x2)20，得 F(x1)F(x2)G(x1)G(x2)0， 所以F(x)，G(x)的单调性相同， 又因为F(x)G(x)2f(x)为增函数， 所以F(x)，G(x)都是增函数，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,答案,解析,(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016金华十校高三上学期调研)已知函数f(x)|ax28x|(0a8)，求函数f(x)在区间1,1上的最大值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求函数f(x)的定义域；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)当a(1