高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3_2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性课件

3.2 导数的应用,内容索引,基础知识 自主学习,课时训练,题型分类 深度剖析,基础知识 自主学习,1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,知识梳理,2.函数的极值 (1)一般地，求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(2)求可导函数极值的步骤： 求f(x)； 求方程 的根； 考察f(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的各 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,极值,端点,1.在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零. 3.对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) (6)三次函数在R上必有极大值和极小值.( ),考点自测,1.(教材改编)f(x)x36x2的单调递减区间为 A.(0,4) B.(0,2) C.(4，) D.(，0),f(x)3x212x3x(x4)， 由f(x)0，得0x4， 单调递减区间为(0,4).,答案,解析,2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是 A.在区间(2,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.当x2时，f(x)取到极小值,答案,解析,在(2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数； 同理，函数在(1,3)上也不是单调函数； 在x2的左侧，函数在( ，2)上是增函数， 在x2的右侧，函数在(2,4)上是减函数，所以当x2时，f(x)取到极大值； 在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数.,令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)21，故选A.,3.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为 A.(1，) B.(，1) C.(1,1) D.(，1)(1，),答案,解析,yexax，yexa. 函数yexax有大于零的极值点， 则方程yexa0有大于零的解， x0时，ex1，aex1.,答案,解析,4.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.,(，1),题型分类 深度剖析,第1课时 导数与函数的单调性,题型一 不含参数的函数的单调性,例1 (1)函数y x2ln x的单调递减区间为 A.(1,1) B.(0,1) C.(1，) D.(0，),令y0，得0x1，单调递减区间为(0,1).,答案,解析,(2)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_.,f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令f(x)xcos x0，,答案,解析,确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)； (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,思维升华,跟踪训练1,答案,解析,答案,解析,(2)已知函数f(x)xln x，则f(x) A.在(0，)上递增 B.在(0，)上递减,因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，,题型二 含参数的函数的单调性,例2 已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0). (1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；,函数f(x)的定义域为R.,解答,函数yf(x)的导函数是奇函数， f(x)f(x)，,(2)求函数yf(x)的单调区间.,解答,当a1时，f(x)0，得(1a)(ex1)1，,由f(x)0，得(1a)(ex1)1，,当a(0,1)时，,综上，当a1时，f(x)在R上单调递减；,(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.,思维升华,跟踪训练2 讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.,解答,f(x)的定义域为(0，)，,当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；,题型三 已知函数单调性求参数,例3 (2016舟山模拟)已知函数f(x)ln x，g(x) ax22x(a0). (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；,解答,由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，,所以a1.,(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.,解答,由h(x)在1,4上单调递减得，,引申探究 1.本题(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围.,由h(x)在1,4上单调递增得， 当x1,4时，h(x)0恒成立，,解答,a1，即a的取值范围是(，1.,2.本题(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围.,h(x)在1,4上存在单调递减区间， 则h(x)0在1,4上有解，,解答,a1，即a的取值范围是(1，).,根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.,思维升华,跟踪训练3 已知函数f(x)exln xaex(aR). (1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y x1垂直，求a的值；,解答,(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围.,解答,若f(x)为单调递减函数，则f(x)0在x0时恒成立.,由g(x)0，得x1； 由g(x)0，得0x1.,故g(x)在(0,1)上为单调递减函数，在(1，)上为单调递增函数， 此时g(x)的最小值为g(1)1，但g(x)无最大值(且无趋近值). 故f(x)不可能是单调递减函数. 若f(x)为单调递增函数，,由上述推理可知此时a1. 故实数a的取值范围是(，1.,典例 (15分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系； (2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.,用分类讨论思想研究函数的单调性,思想与方法系列5,思想方法指导,规范解答,含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： (1)方程f(x)0是否有根. (2)若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内. (3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.,返回,解 (1)依题意得g(x)ln xax2bx， 则g(x) 2axb. 3分 由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0， b2a1. 5分,函数g(x)的定义域为(0，)，,由g(x)0，得01， 7分,综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；,返回,课时训练,1.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 A.(，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，),函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增， 此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知函数f(x) x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,f(x)0恒成立， 故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知f(x)1xsin x，则f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是 A.f(2)f(3)f() B.f(3)f(2)f() C.f(2)f()f(3) D.f()f(3)f(2),答案,解析,因为f(x)1xsin x，所以f(x)1cos x， 当x(0，时，f(x)0， 所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2). 故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知函数f(x)x 在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.1，) B.(，0)(0,1 C.(0,1 D.(，0)1，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由于f(x)在(，1)上单调递增， 则f(x)0在(，1)上恒成立，,由于当x1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016江山模拟)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 A.f(b)f(c)f(d) B.f(b)f(a)f(e) C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d),答案,解析,依题意得，当x(，c)时，f(x)0， 所以函数f(x)在(，c)上是增函数， 因为af(b)f(a)，因此C正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是 A.(，1)(0,1) B.(1,0)(1，) C.(，1)(1,0) D.(0,1)(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0， 所以f(1)f(1)0.,则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.,故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数. 所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,综上，知使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在(，0)上，,7.(2016义乌模拟)若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc_.,f(x)3x22bxc，由题意知1x3是不等式3x22bxc0的解集， 1,3是f(x)0的两个根， b3，c9，bc12.,答案,解析,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(，1)(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,即函数F(x)在R上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,F(x2)1，即x(，1)(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,对f(x)求导，得f(x)x2x2a,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,f(x)6x26mx6， 当x(2，)时，f(x)0恒成立，,当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016北京)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4. (1)求a，b的值；,f(x)的定义域为R. f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.,解答,解得a2，be.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求f(x)的单调区间.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由(1)知f(x)xe2xex， 由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知， f(x)与1xex1同号. 令g(x)1xex1，则g(x)1ex1. 所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x