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文档简介

复变函数与积分变换试卷十满分:100分 考试时间:120分钟题号一二三四五总分一、判断题(每空2分,共20分)1、实数是复数的真子集,任何实数都是复数,复数不一定是实数,一个复数成为实数的充要条件是。( )2、任何复数的n次方根都有n个,这些n次方根在单位圆上,将单位圆等分,连接它们就可以构成单位圆上的正多边形。( )3、在工程实际中,许多物理现象都具有一种脉冲特征,它们仅在某一瞬间获某一点出现,如脉冲电流等等,对于脉冲函数,有性质称为筛选性质。( )4、复变函数在处没有意义,是它的孤立奇点,而且是本性奇点。( )5、如果复变函数在区域内解析(常数也是解析函数),则的模在区域的边界上取不到最大值和最小值,最值只能在区域内取到,这称为最大模原理。( )、幂级数的收敛半径计算公式,则幂级数的收敛半径为。( )7、共性映射是复变函数一个很重要的内容,而分式线性变换是最简单的共性映射,分式线性变换把圆周变成圆周,具有保圆性,而且能将角形区域共形映射成带形区域。( )8、复变函数的定义域为整个复平面,它在复平面上处处连续,处处可微分,处处解析,其积分与路径无关。( )9、如果是复变函数的可去奇点,则,如果是复变函数的极点,则,如果是复变函数的本性奇点,则,因此只要是复变函数的孤立奇点,就有。 ( )10、。( )二、填空(2*10=20)11两将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作,已知,则的模为_.12柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857),出生于巴黎,他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派,是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域,有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式. 他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的,在数学写作上,他是被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一生一共著作了789篇论文和几本书,其中有些还是经典之作,不过并不是他所有的创作质量都很高,因此他还曾被人批评高产而轻率,这点倒是与数学王子相反,据说,法国科学院会刊创刊的时候,由于柯西的作品实在太多,以致于科学院要负担很大的印刷费用,超出科学院的预算,因此,科学院后来规定论文最长的只能有四页,所以,柯西较长的论文只得投稿到其它地方。 柯西在幼年时,他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室,并且在那里指导他进行学习,因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识;拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家,但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人,而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的,柯西和黎曼的思想被融合起来。柯西-黎曼条件解析函数一个重要条件。复平面上解析函数满足的柯西-黎曼条件为_.13复变函数的一个周期是_.14、欧拉公式是数学里最令人着迷的一个公式,把指数函数写成正弦函数做虚部、余弦函数做实部的一个恒等式。运用自己的思维,看能不能将“e, i, 1,+, 0,=”六个符号连成一个合理的等式,每个符号只能用一次且不能重复使用_.15、若函数在简单正向闭曲线所围成的区域内解析,在区域的边界上连续,是区域内任意一点,则有,称为柯西积分公式,利用柯西积分公式计算_.16、)称为交比,分式线性变换具有保交比性,即 利用该性质计算,把将z=,0和1分别对应和的分式线性变换为_.17、如下图,分式线性变换将上半平面保形变换成单位圆,你知道哪一点变成了圆心吗?_.18、,为非零实数,则,已知是在傅里叶变换下的原像。求。_. 19、复变函数的零点有那些?_.20、复变函数在点处的旋转角为_.(已知复变函数在点处的旋转角为三、解答题,应用积分变换知识解答下列题目(每题分,共3分)、计算、计算 (提示:解析函数积分与路径无关,只与起点和末点有关,本题可以用原函数方法)其中积分曲线为、利用留数计算广义积分已知:4、求函数的傅氏变换及其积分表达式, 其中,这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.、用拉普拉斯积分变换性质已知:求解微分方程组6、设 试证:在原点满足条件。7、求函数在不同区域(1)(2)的罗朗展式。四、用所学知识说明什么是什么是复变函数,复变函数和实变函数有什么区别,复变函数有哪些类型?研究复变函数的方法有哪些?举例说明如何研究复变函数,复变函数有哪些应用?(10分)五、实验题(5分)1、举例说明如何用Matlab命令来求复变函数在孤立奇点的留数。(4分)2、plot(x,y)、plot(x) 命令式Matlab中的作图命令,如何使用它来作图?编制一个绘制简单初等函数图形的例子。(4分)3、用Matlab写出函数,并求其拉普拉斯积分变换。(3分)4、【Matlab源程序】syms x w;syms b positive ;%定义符号参量bf=exp(-b2*x2);F=simple(fourier(f

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