高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_1 空间向量及其线性运算 3_1_2 共面向量定理课件 苏教版选修2-1

3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理,学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. 2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律. 3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件. 4.理解共面向量定理及其应用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 空间向量的概念,思考,类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.,在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.,答案,梳理,(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . 空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为 .,大小,方向,长度,模,长度,(2)几类特殊的空间向量,零向量,模为1,相等,相反,相同,相等,同向,等长,知识点二 空间向量及其线性运算,ac,ab,c,a,2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： ab ； (ab)c ； (ab) (R).,ba,a(bc),ab,知识点三 共线向量(或平行向量),1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a与b平行，记作 ，规定 与任意向量共线. 2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使 .,平行,重合,ab,零向量,ba,知识点四 共面向量及共面向量定理,思考1,当a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？,不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使pxayb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使pxayb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.,答案,思考2,向量a，b，c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？,不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.,答案,共面向量及共面向量定理,梳理,pxayb,题型探究,类型一 空间向量的概念及应用,例1 如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)试写出与 相等的所有向量；,解答,(2)试写出 的相反向量；,解答,(3)若ABAD2，AA11，求向量 的模.,解答,引申探究 如图，在长方体ABCDABCD中，AB3， AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和 终点的向量中： 单位向量共有多少个？,解答,试写出模为 的所有向量；,解答,试写出与向量 相等的所有向量；,解答,试写出向量 的所有相反向量.,解答,在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.,反思与感悟,跟踪训练1 给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的命题的序号为_.,答案,解析,两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确； 若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确； 在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正确； 显然正确.,类型二 空间向量的线性运算,例2 如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.,解答,解答,引申探究,解答,结合加法运算,反思与感悟,化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止. 首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.,证明,平行六面体的六个面均为平行四边形，,类型三 向量共线定理的理解与应用,解答,求证：E，F，B三点共线.,反思与感悟,(1)判定共线：判定两向量a，b(b0)是否共线，即判断是否存在实数，使ab. (2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若ab，则ab(R). (3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：,跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，,解答,类型四 共面向量定理及应用,证明,例4 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.,分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示， 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R为所在边的中点， 顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形， 所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面.,证明,引申探究 本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证： 共面.,取CD的中点N，连结ON，NM， 因为M，N分别是PC，CD的中点，,反思与感悟,向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.,解答,当堂训练,根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：,2,3,4,5,1,答案,解析,4,2,3,4,5,1,0,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,8,4.以下命题： 两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； 共线的两个向量互相平行； 共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； 共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是_.,2,3,4,5,1,根据共面与共线向量的定义判定，易知正确.,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.,解答,2,3,4,5,1,由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面.,3(1)(1)1， 点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面.,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,4(1)(1)21，点P与点A，B，M不共面.,由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是,点P与点A，B，M不共面.,规律与方法,1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量