高中数学 第一章 计数原理 1_2 排列与组合 1_2_2_1课件 新人教a版选修2-3

1.2.2 组 合 第1课时 组合与组合数公式,主题1 组合与组合数的定义 1.给出下列两个问题: (1)从5人中选取2人分别担任正、副班长. (2)从5人中选取2人组成班委会. 列出上述两个问题中的所有可能情况.,提示:分别用a,b,c,d,e表示这5个人. (1)中所有可能为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea, cb,db,eb,dc,ec,ed共20种. (2)中所有可能:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共 10种.,2.针对问题1中的(2)你能否总结其特征? 提示:从5个不同元素中任取2个元素组成一组,不考虑这两个元素的顺序.,结论:,1.组合: 一般地,从_合成一 组,叫做从_的一个组合.,n个不同元素中取出m(mn)个元素,n个不同元素中取出m个元素,2.组合数: 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合 的_,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_, 用符号_表示.,个数,组合数,【微思考】 1.从a,b,c,d中选取2个,ab与ba是同一个组合吗? 提示:是.组合与顺序无关.,2.组合与排列的异同点分别是什么? 提示:共同点:都是“从n个不同元素中取出m(mn)个元素”;不同点:组合“合成一组”,而排列是要“按照一定顺序排成一列”.,主题2:组合数公式与组合数性质 从1,3,5,7中任取两个相除, 1.可以得到多少个不同的商? 提示: =43=12个不同的商.,2.如何用分步乘法计数原理求商的个数? 提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有 种方法; 第2步,将每个组合中的两个数排列,有 种排法.由分 步乘法计数原理,可得商的个数为 =12.,3.你能借助排列数计算 吗? 提示:能.因为 ,所以,结论:组合数公式及性质,1,1,【微思考】能否用语言描述 的含义? 提示:从n个不同元素中取出m个元素后,必然剩下n-m个 元素,因此从n个不同元素中取出m个元素的组合,与剩 下的n-m个元素的组合一一对应,即从n个不同元素中取 出m个元素的组合数,等于从n个不同元素中取出n-m个 元素的组合数,因此,【预习自测】 1.如果 =28,则n的值为 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】选B. =28,所以n=8或n=-7(舍).,2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) 某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; 从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; 从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构成焦点在x轴上的双曲线的方程; 从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.,A. B. C. D. 【解析】选B.中所取元素不考虑顺序,故是组合问题,中考虑元素顺序,是排列问题.,3.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑 选5名队员参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的 选法共有_种. 【解析】只需在除种子选手外的7人中再选3人,共有 =35(种). 答案:35,4.计算 =_. 【解析】 答案:24,5.一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法? (仿照教材P23例6的解析过程),【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法 的种数是 (2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球, 可以分两步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有 种取法; 第二步,把1个红球取出,有 种取法.,故不同取法的种数是: (3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球 中任取5个白球即可,不同取法的种数是,类型一 组合及组合数的概念 【典例1】判断下列问题是排列问题,还是组合问题.并求出相应的排列数或组合数. (1)从1,2,3,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?,(2)从1,2,3,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d四名学生中选2名去完成同一份工作,有多少种不同的选法? (4)5个人规定相互通话一次,共通了多少次电话?,(5)若已知集合1,2,3,4,5,6,7,则集合的子集中有3个元素的有多少?,【解题指南】明确组合、排列的定义是解题的关键,若问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一个结果进行判断.,【解析】(1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺 序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关, 而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.排列数为 =504.,(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序, 其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安 排顺序无关,是组合问题.组合数为 =84. (3)2名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问 题.组合数为 =6.,(4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺 序区别,为组合问题.组合数为 =10. (5)已知集合的元素具有无序性,因此含3个元素的子集 个数与元素的顺序无关,是组合问题,组合数为 =35.,【延伸探究】 1.本例(5)中将条件改为若从已知集合中选取3个不同的元素,作为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数,可以得到多少个不同的一元二次方程?,【解析】是排列问题.选取的3个元素顺序不同时,得到 不同的一元二次方程,共有 =204个不同的一元 二次方程.,2.典例(4)中将条件改为从10人中选出3人参加义务劳 动,有多少种选法? 【解析】选出3人参加义务劳动,3人间不存在顺序,因 此是组合问题,组合数为 =120.,【规律总结】判断组合与排列的主要依据,【补偿训练】(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动,列举出所有的选法:_. (2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查,列举出所有的选法:_.,(3)以上两个问题有何区别与联系? 区别:_; 联系:_.,【解析】(1)甲、乙;甲、丙;乙、丙.(2)甲,乙;甲,丙;乙,丙;乙,甲;丙,乙;丙,甲. (3)区别:前者没有顺序是组合问题,后者是有序问题.联系:后者是先选后排,前者是后者的一个步骤.,类型二 组合数公式及性质的应用 【典例2】(1)计算:,【解题指南】(1)根据组合数的性质先化简,再求解. (2)将 变为 从两边化简,使之与左边 式子相同即可.,(2)右边= =左边, 所以,原式成立.,【规律总结】组合数性质的应用技巧 (1)性质 常用于m 时组合数的计算,如 =100,可以简化运算.,(2)性质 常用于恒等式变形和证明等式, 顺用可将一个组合数拆分为两个的和,为某些项的相互 抵消提供方便,逆用则是“合二为一”,减少组合数的 个数.,【巩固训练】(1)若 ,则n的解集为 _. (2)计算: (3)已知 ,求n.,【解析】(1) 可得n2-11n-120,解得-1n12. 又nN*,且n5,所以n5,6,7,8,9,10,11. 答案:5,6,7,8,9,10,11,(2) (3)由 及组合数性质可知3n+6=4n-2或3n+6=18-(4n-2), 解得n=8或n=2.,而3n+618且4n-218,即n4且nN*, 所以n=8不符合题意,舍去,故n=2.,【补偿训练】 1.解方程:(1) (2),【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13, 所以x=4或x=5, 又由 所以原方程的解为x=4或x=5.,(2)原方程可化为 所以 所以 所以x2-x-12=0,解得x=4或x=-3, 经检验:x=4是原方程的解.,2.解不等式 【解析】因为 所以由组合数性质知 因为x+13,x2, 所以(x+1)x0,两边同除以(x+1)x, 得 ,所以x=2,3,4,5.,类型三:组合的简单应用 【典例3】某人决定投资8种股票和4种债券,经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问:此人有多少种不同的投资方式? 【解题指南】分两步,第一步,从12种股票中选,第2步,从7种债券中选.,【解析】可分为两步,第一步,从12种股票中选8种股 票有 种选法; 第二步,从7种债券中选4种债券,有 种选法. 故共有 =49535=17325种投资方式.,【方法总结】基本组合问题的解法 (1)判断是否为组合问题. (2)是否分类或分步. (3)根据组合相关知识进行求解.,【巩固训练】1.(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,【解析】选D.由题意4项工作分配给3名志愿者,分配方 式只能为(2,1,1),所以安排方式有 36种.,【误区警示】本题易对排列与组合误判,从而导致计算错误.,2.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?,【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种 数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数, 即,(2)可把问题分两类情况: 第1类,选出的2名是男教师有 种方法; 第2类,选出的2名是女教师有 种方法. 根据分类加法计数原理,共有 =15+6=21(种) 不同选法.,(3)从6名男教师中选2名的选法有 种,从4名女教师 中选2名的选法有 种,根据分步乘