三角数学的工具性与函数性(上).doc

三角数学的工具性与函数性（上）(脑中有图、形式相随、函数为纲、先伏后显)三角是一门古老的数学分支，其内容结构很简单但应用非常广泛。青少年学习数学最早的形数结合就从这里开始。早在初中阶段，学生学习了直角三角形相似的判断和性质以后，就由此发现了相似比可以转换成同一直角三角形中同一锐角的对边、邻边以及此直角三角形的斜边三者间，两两边长之比与锐角大小的对应关系，由此产生了锐角三角比。随着角的概念的扩展，锐角三角比也扩展为任意角三角比，但它已不可能由直角三角形中边比关系定义，而转化成直角坐标上任一点的位置的纵、横坐标及此点与原点距离三者间，两两之比来定义，但其中象限角的三角比的绝对值仍然等于对应锐角的锐角三角比。三角比的应用非常广泛，从日常生活到数学、物理、工程等各个方面都离不开它，作为工具，必须让学生在学习过程中印象非常深刻，使其基本法则印在脑中，可以信手捻来，随时可用。三角比体现了图形中线段和角的大小的对应关系是一种函数，这种函数性质的研究又是一种应用极为广泛的基础科学，应让学生在高中阶段纳入整个函数学习体系，深刻理解，牢固掌握。本文从形数结合的角度阐述在高中学生的三角教学中怎样让学生从原有知识基础出发牢固掌握三角关系式和三角函数性质，一、衔接初中已学过的锐角三角形比，从求三角形的面积出发，引入两角和或差的正余弦关系的展开式，以及二倍角，半角关系的展开式，再在学习任意角三角比以后加以扩展。1、运用锐角三角比求三角形的面积由图1 图12.作一三角形一边上的高，必可分成二个直角三角形，此三角形可以是此两直角三角形之和或差，对应边及角也是其和或差：图2在三角形ABC中，自C作对边AB的高CD，分C成C= 在图（1）中ABC=CBDCAD，而SABC=ab sinC=ab sin ()从而ab sin ()（a sin ）（b cos）（a cos ）（b sin） sin ()= sincos cossin（1） 在ABC中，自C作对边AB的高CD交对边于其延长线上， C=其中SABC=ab sinC=ab sin ()从而ab sin ()（a sin ）（b cos）（a cos ）（b sin） sin ()= sincoscossin（2） 在ABC中，自C作CDAB，令B=，则BCD=，令ACD=则BCA=() =()，sin=cos ()从而ab cos () = ab sin()= （a cos ）（b cos）（a sin ）（b sin） cos ()= coscossinsin（3） 在ABC中，自C作CDAB，令B=，则BCD=，令ACD=则BCA=() 从而ab cos () = ab sin()= （a cos ）（b cos）（a sin ）（b sin） cos ()= coscossinsin3.比较上述四式，可以发现：（1） 正弦和的展开式仍然为两项和，差的展开式仍然为两项差；余弦和的展开式变成两项差，而差的展开式变成两项和.（2） 正弦展开式的两项都是正弦与余弦之积；余弦展开式的前项是余弦之积而后项是正弦之积.（3） 如果遇到两个角与的正弦或余弦的和或差时，分别令，即可化简，其中，.4、当发展到任意角的三角比时，运用诱导公式，就可证明上述关系是继续适用.即可选定，为某一象限角代入关系式的两端分别化成锐角三角比的关系，证明其继续适用.也可运用诱导公式使与， 与统一起来，用，图3即的面积关系加以证明，也可运用和的距离关系加以证明.在此基础上，这一组关系式便可进一步通过由于范围的扩展让学生有进一步的机会运用而得以强化.5、在上述基础上运用很自然地得到和与再运用直角三角形就得到与的正、余弦的关系.图4此时对比图（1）和图（2）就得到，.从而得到了与用表示的关系式，开方时，根据所在象限选取符号.，从而得到了与用表示的关系式，开方时按图5（3），（4）选取符号. 图5（3）由图（1）、（2）分子分母同除以cos 便得到=tan和=tan,但后者不适合用=（2n+1）（4）直角三角形各边的表达式分别除以cos便得到了（3），它就是万能置换公式6在+的正余弦展开式中如果分别以2和替代，并展开、化简就得到sin3=3sin-4sin，cos3=4cos-3cos。此两式可以分别化成sin=(3sin-sin3),cos=(3cos+cos3)反复运用此式和图（4）以及两角和差展开式，使其中的一项化成两正弦或余弦的和或差就可以降低三角式的次数，而它是微积分中所经常遇到的式的变换。7以上所述便是脑中有图，形式相随的一种处理方法。这里用到的图形主要是直角三角形，每个学生都可以深深地印在脑中，在它的各边上标注三角比，就形成了三角关系式，跟随图形，可以形成三角比的种种关系式。也可借助图形寻找三角比之间的种种关系，又可把关系式表注在图上，根据图形关系进一步找到关系式。二、同一角不同三角比之间的关系，由于同一角的六种不同三角比之间的关系复杂，在三角恒等变换中有相当重要的作用。对于这种关系的掌握在锐角三角比中，只需要建立有一边为单位长的三个相似三角形，（图6）根据锐角三角比的定义和勾股定理便能一目了然。到了学习任意三角比时，其中象限角的同比三角比之间关系的绝对值之间的关系也继续适用，只需考虑去根号时正确选取符号即可。另外则须针对角的终边在坐标轴上时某些三角比不存在的情况加以说明。为此考虑：1.建立各有不同的一边为单位长的三个相似三角形，印在脑中图6（1）根据锐角三角比的定义可知互为倒数的关系，以及从锐角三角比的定义出发，在同一直角三角形中， tan/sec=sin,cot/csc=cos等。（2）由勾股定理可知 等（3）利用相似三角形对应边成比例，遇到不同三角形的对应边时可知： 等2.运用上述基本关系和式的变换，特别是因式分解、分式、根式化简单可进行式的恒等变换。例如 ，把分子的1以替代，即可化简成，又如，再如恒等式，左边的分子分母同除以 ，即得左边=右边3.在介绍度量角的弧度制后，由于角的度量单位与三角比的度量单位都是实数1，按高中阶段规定的函数定义，锐角三角比是锐角的函数。从而1中图5表示了锐角与其各锐角三角函数的对应关系。由这三个直角三角形可立即观察到锐角三角函数的定义域、值域，而且都是单调函数，它们都具有反函数。若分别以表示，下面举了三个表达如下图：（图7）图7这些图形，学生很容易想到，却是在微积分中经常用到的。4. 当随着角的概念的扩展，锐角三角比发展成为任意角三角比时，其中象限角的三角比的绝对值仍是锐角三角比。图6所表达的关系继续适用，但当遇到去根号时就必须根据该角的终边所有象限正确选取符号的保证开方后取正根。这就必须进行适当的练习。例如 第二象限第三象限 第四象限这里运用图8为辅助工具是有益的。 图85. 当角的终边在坐标轴上时，就出现了某些角的三角比不存在的情况必须指出例如：，仅在时存在，因而在未指出任意角所在区向而求其三角函数值时，必须按所在区向进行讨论例如求之值时首先排除的情况，然后按所在象限求值（1） ，（2） （3） （4） 6.在证明三角恒等式，遇有分母可能出现“0” 的情况必须提出讨论例如：其成立的条件必须cos- sin0, cos0即，亦即又如：当=n时，tan=0, 使分母为0 = + n时，tan与sec不存在故仅存在于间的（0， ）U （，）或（2k, +2k）U (+2k, +2k)再如：对于双曲线若令 则当时， 即或 这样求得的渐近线方程，其性质非常明显易懂。三 在单位圆上表述三角比，孕优三角函数性质的研究1 以单位长为半径画圆，并以圆心为坐标原点，建立直角坐标系，则当以圆与横坐标的交点作为起始点时，圆弧上任意一点的弧对应起点的大小就是终边过此点时的角的大小，以表示时，此点的坐标便是P（cos,sin）, 的其它三角比，若令其分母为1时，其坐标皆可在单位圆之外表示为（1，tan），（cot，1），（sec，0）和（0，csc）分别对应各不同的象限角，如图9所示 （1） （2） （3） （4） 图9观察单位圆上，用坐标和有向线段所表示的各的三角比，可以发现：（1） 各不同象限角的三角比，其符号随的终边所在象限而定。若以的旋转方向逆时针还是顺时针，有向线段方向向上还是向下，向右还是向左以确定其值的正负时，则其符号与象限关系与根据任意三角比的定义所确定的完全相符。（2） 借助相似三角形对应边成比例，同角三角比之间的各种关系都很容易地观察得到，它与前面先从直角三角形找到数量关系再从象限角确定符号关系，结果完全相同。其中倒数关系尤为明显。（3） 观察各有向线段如何随着角度的变化而增大或减小，非常直观。尤其是当时，tan与sec先无限趋向，以致两线平行，无法找到交点而不存在;当一旦跃过，此交点又从-方向逐步呈现，而最后当变到时，分别到达0和-1，对于与跨越时也有类似的情况。以上我们从单位圆上观察的三角比与的对应关系，实质上已经孕育了三角函数的的对应关系。2诱导公式如图10（1）所示，当为第一象限角时，为第二象限角，从而有。但当分别为第二象限角和第三象限角时，则分别为第一和第四象限，仍有。但这里的“负”的意义已是符号相反了。其中与的位置关系是其终边关于y轴对称，因而只要具有这种关系的两角都具有上述关系。（见图10（2），（3）同样，与，与，-与，（或与）其终