2019届高考数学复习专题5统计与概率专题能力提升练十四2.5.2概率、随机变量及其分布列.docx

专题能力提升练 十四概率、随机变量及其分布列(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018邯郸一模)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.224【解析】选D.该选手只闯过前两关的概率为0.80.7(1-0.6)=0.224.2.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个数大于30的概率为()A.B.16C.13D.35【解析】选D.由题意知,试验发生包含事件是从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字,构成一个两位数,共A52=20种结果.满足条件的事件可以列举出:31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共有12个,根据古典概型的概率公式,得到P=1220=35.3.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.D.【解析】选D.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率p1=35,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是:P=.4.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.34B.23C.57D.【解析】选D.根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是231-34+341-23=.5.如图,圆O:x2+y2=16内的正弦曲线y=sin x,x-,与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点P,记A表示事件“点P落在第一象限”,B表示事件“点P落在区域M内”,则概率P(B|A)=()A.B.14C.D.12【解析】选C.圆O的面积为16,阴影部分的面积为S=2sin xdx=-2cos x=4,所以P(AB)=,P(A)=14,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=.6.某市1路公交车每日清晨6:30于始发站A站发出首班车,随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日清晨均需从A站搭乘该路公交车上班,甲在6:356:55内随机到达A站候车,乙在6:507:05内随机到达A站候车,则他俩能搭乘同一班公交车的概率是()A.16B.14C.13D.【解析】选A.建立如图所示的直角坐标系,x,y分别表示甲、乙二人到达A站的时刻,则坐标系中每个点(x,y)可对应某日甲、乙二人到达车站的时刻的可能性.根据题意,甲、乙二人到达A站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域.根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为=16.【加固训练】甲、乙二人约定7:10在某处会面,甲在7:007:20内某一时刻随机到达,乙在7:057:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A.18B.14C.38D.58【解析】选C.建立直角坐标系如图,x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻,则坐标系中每个点(x,y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性.则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x5,其构成的区域为如图阴影部分,则所求的概率为P=38.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(0X2)=0.3,则P(X4)=_.【解析】由题意结合正态分布的性质可知:P(2X4)=0.3,则P(X4)=0.2.答案:0.28.已知点P(3,0),在O:x2+y2=1上任取一点Q,则|PQ|13的概率为_.【解析】根据题意,可设点Q的坐标为(cos ,sin ),(-,所以|PQ|2=(cos -3)2+sin2=1-6cos +9=13,解得cos =-12,所以=,结合图形利用几何概型的概率公式可得所求概率为P=23.答案:23【加固训练】 (2017重庆一模)函数f(x)=x2-2x-3,x-4,4,任取一点x0-4,4,则f(x0)0的概率为_.【解析】由x2-2x-30,解得:-1x3,所以使f(x0)0成立的概率P=3-(-1)4-(-4)=12.答案:12三、解答题(每小题10分,共40分)9.随着全民健康运动的普及,每天一万步已经成为一种健康时尚,某学校为了教职工能够健康工作,在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动,学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”,不少于16千步为“健步超人”,其他人为“健步达人”,学校随机抽取抽查人36名教职工,其每天的走步情况统计如下:步数0,4 000)4 000,16 000)16 000,+)人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人,从选出的6人中随机抽取2人进行调查.(1)求这两人健步走状况一致的概率.(2)求“健步超人”人数X的分布列与数学期望.【解析】(1)记“这2人健步走状况一致”为事件A,则P(A)=C32+C22C62=.(2)X的可能取值为0,1,2,所以P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C41C21C62=,P(X=2)=.所以X的分布列为 X 0 1 2 P25所以E(X)=025+1+2=23.【加固训练】 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=C3kC73-kC103,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P21401120所以X的数学期望E(X)=0+12140+2+31120=.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1A2A3而P(A1)=,P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=1120,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+1120=.10.(2018遂宁一模) 1993年,国际数学教育委员会(ICMI)专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会,会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表:(单位:人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生中被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).附表及公式P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).【解析】(1)由表中数据得K2的观测值k=5.5565.024,所以根据统计在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题所用时间分别为x,y分钟,则基本事件满足的区域为如图所示,设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为xy,所以由几何概型,得P(A)=18,即乙比甲先解答完的概率为18.(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有C82=28种,其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有C62=15种;恰有一人被抽到有C21C61=12种;两人都被抽到有C22=1种.所以X可能取值为0,1,2,P(X=0)=1528,P(X=1)=1228=37,P(X=2)=,X的分布列为X012P152837所以E(X)=01528+137+2=12.【加固训练】 (2018齐齐哈尔二模)近年来随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头.某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工得到数据如下表:愿意接受外派人数不愿意接受外派人数合计80后20204090后402060合计6040100(1)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由.(2)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动,在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中,也用分层抽样方法抽出6名,组成90后组.求这12人中,80后组、90后组愿意接受外派的人数各有多少?为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x,在90后组中选到愿意接受外派的人数为y,求x2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”.(2)由分层抽样知80后组中,愿意接受外派人数为3,在90后组中,愿意接受外派人数为4.“xy”包含“x=0,y=1”,“x=0,y=2”,“x=0,y=3”,“x=1,y=2”,“x=1,y=3”,“x=2,y=3”六种情况.且P(x=0,y=1)=C30C33C63C41C22C63=1100,P(x=0,y=2)=C30C33C63C42C21C63=3100,P(x=0,y=3)=C30C33C63C43C20C63=1100,P(x=1,y=2)=C31C32C63C42C21C63=,P(x=1,y=3)=C31C32C63C43C20C63=9100,P(x=2,y=3)=C32C31C63C43C20C63=9100,所以P(xy)=1+3+1+27+9+9100=12,即xy的概率为12.11.小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群,并向该群发红包,每次发红包的个数为1个(小王自己不抢),假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同.(1)若小王发2次红包,求甲恰有1次抢得红包的概率.(2)若小王发3次红包,其中第1,2次,每次发5元的红包,第3次发10元的红包,记乙抢得所有红包的钱数之和为X,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)记“甲第i次抢得红包”为事件Ai(i=1,2),“甲第i次没有抢得红包”为事件Ai.则P(Ai)=13,P(Ai)=23.记“甲恰有1次抢得红包”为事件A,则A=A1+A2,由事件的独立性和互斥性,得P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=1323+2313=49(2)记“乙第i次抢得红包”为事件Bi(i=1,2,3),“乙第i次没有抢得红包”为事件Bi.则P(Bi)=13,P(Bi)=23,由题意知X的所有可能取值为0,5,10,15,20,由事件的独立性和互斥性,得:P(X=0)=P()=;P(X=5)=P(B1B2B3+B2)=213=;P(X=10)=P(B1B2+B1B2B3)=23+13=29;P(X=15)=P(B1B3+B2B3)=223=;P(X=20)=P(B1B2B3)=.所以X的分布列为X05101520P29所以乙抢得所有红包的钱数之和X的数学期望E(X)=0+5+1029+15+20=.12.十九大提出,加快水污染防治,建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位:吨)的历史统计数据,得到如下频率分布表:污水量230,250)250,270)270,290)290,310)310,330)330,350频率0.30.440.150.10.0050.005将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河流的污水排放量相互独立.(1)求在未来3年里,至多1年污水排放量X270,310)的概率.(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当X230,270)时,没有影响;当X270,310)时,经济损失为10万元;当X310,350)时,经济损失为60万元.为减少损失,现有三种应对方案:方案一:防治350吨的污水排放,每年需要防治费3.8万元;方案二:防治310吨的污水排放,每年需要防治费2万元;方案三:不采取措施.试比较上述三种方案,哪种方案好,并请说明理由.【解析】(1)由题得P(270X310)=0.25=14,设在未来3年里,河流的污水排放量X270,310)的年数为Y,则YB3,14.设事件“在未来3年里,至多有一年污水排放量X270,310)”为事件A,则P(A)=P(Y=0)+P(Y=1)=+14=2732.所以在未来3年里,至多1年污水排放量X270,310)的概率为2732.(2)方案二好,理由如下:由题得P(230X270)=0.74,P(310X350)=0.01.用S1,S2,S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则S1=3.8万元,S2的分布列为S2262P0.990.01E(S2)=20.99+620.01=2.6.S3的分布列为S301060P0.740.250.01E(S3)=00.74+100.25+600.01=3.1.所以三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二最好.(建议用时:50分钟)1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=()A.12B.25C.D.15【解析】选A.由题意得P(A)=C51C81A92=59,P(AB)=C51C41A92=,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=12.2.某地流行一种游戏,如图一是一长方形纸盒,长为4,宽为3,纸盒底部是一个“心形”图案,如图二所示,“心形”图案是由上边界C1(虚线L上方部分)与下边界C2(虚线L下方部分)围成,曲线C1是函数y=+x45的图象,曲线C2是函数y=-+x27的图象,游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子,若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖,则一次游戏获奖的概率为()A.-B.-C.-D.+2435【解析】选C.“心形”图案面积等于(+x45+-x27)dx=(2+x45-x27)dx=2+-=+-=-49.因此获奖的概率为=-.【加固训练】 (2018安庆二模)如图,四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为()A.3-2ln24B.1+2ln24C.5-2ln24D.【解析】选A.根据条件可知,E12,2,阴影部分的面积为dx=(2x-ln x)=22-12-=3-2ln 2,所以,豆子落在阴影部分的概率为3-2ln24.3.(2018绵阳二模)以下四个命题中:某地市高三理科学生有15 000名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布N(100,2),已知P(801;在-4,3上随机取一个数m,能使函数f(x)=x2+mx+2在R上有零点的概率为37;在某次飞行航程中遭遇恶劣气候,用分层抽样抽取的20名男乘客中有5名晕机,12名女乘客中有8名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关时,采用独立性检验,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为晕机与性别有关.P(K2k0)0.150.10.050.025k02.0722.7063.8415.024其中真命题的序号为()A.B.C.D.【解析】选B.对于,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布N(100,2),所以数学成绩关于=100对称,因为P(80120)=P(1,故正确;对于,由(m)2-80,解得m-2或m2,所以在-4,3上随机取一个数m,能使函数f(x)=x2+mx+2在R上有零点的概率为37,故正确;对于,在某次飞行航程中遭遇恶劣气候,用分层抽样抽取的20名男乘客中有5名晕机,12名女乘客中有8名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关时,采用独立性检验,根据题意,填写列联表如下;晕机不晕机总计男乘客51520女乘客8412总计131932根据表中数据,计算K2的观测值k=5.398 15.024,对照临界值知,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为晕机与性别有关,故正确.4.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,则出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为_.【解析】用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,基本事件总数n=A55,用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,出现a1a2a4a5特征的五位数,包含的基本事件有:12543,13542,23541,34521,24531,14532,共6个,所以出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为P=6A55=.答案:5.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有3个红球,3个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取3个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;若取得的3个小球只有1种颜色,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;若取得的3个小球有3种颜色,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;若取得的3个小球只有2种颜色,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.(1)求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分).(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位:元)为X,求X的分布列及数学期望,并计算这20位顾客(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.【解析】(1)获得抽奖机会的数据的中位数为110,平均数为(101+102+104+108+109+110+112+115+188+189+200)=1 43811131.(2)X的可能取值为2,5,10,P(X=10)=2C73=,P(X=5)=C31C31C73=,P(X=2)=2C32C41C73=2435,则X的分布列为X2510P2435故E(X)=22435+5+10=.这20位顾客中,有8位顾客获得一次抽奖的机会,有3位顾客获得两次抽奖的机会,故共有14次抽奖机会.所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为14=45.2元.【加固训练】1.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3 000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数.(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人.记X表示选取4人的成绩的平均数,求P(X87);记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.【解析】(1)众数为76,中位数为76.抽取的12人中,70分以下的有4人,不低于70分的有8人,故从该校学生中选1人,这个人测试成绩在70分以上的概率为=23,故该校这次测试成绩在70分以上的约有3 00023=2 000(人).(2)由题意知70分以上的有