2011年深圳市高三年级第一次调研考试理数.doc

2011年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科） 2011.3.3参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。柱体的体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高。 如果事件A、B互斥，那么. 如果事件A、B相互独立，那么.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知，若（其中为虚数单位），则( )A、 B、 C、 D、 2、已知：“”，：“直线与圆相切”，则是 的( )A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件3、已知为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、4 4、如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（ ）A、 B、 C、 D、5、在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是（ ）A、450元 B、500元 C、550元 D、600元6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A、2 B、1 C、 D、7、设平面区域是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部。当时，的最大值为（ ）A、24 B、25 C、4 D、78、已知函数的定义域为，部分对应值如下表。的导函数的图象如图所示。下列关于函数的命题： 函数是周期函数； 函数在是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； 当时，函数有4个零点。其中真命题的个数是 ( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。9、已知全集，集合为函数的定义域，则 。10、设随机变量，且，则实数的值为 。11、在中，已知分别所对的边，为的面积，若向量，满足，则 。12、已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是_ _；13、已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是 。（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设是直线上任一点，是圆上任一点,则的最小值是 。 15、（几何证明选讲）如图，割线经过圆心O，绕点逆时针旋120到，连交圆于点，则 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数。（1）求的最小正周期；（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间 上的最大值和最小值。17、（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）： 若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。18、（本小题满分14分） 如图，是圆的直径，点在圆上，交于点，平面，（1）证明：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值ABCEFMO19(本小题满分14分)已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由20(本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分14分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）参考答案及评分标准一、选择题CAAB BCAD二、填空题 9、 10、8 11、 12、 13、-192 14、 15、三、解答题16、解：（1） -2分 -4分 所以的最小正周期为 -6分（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象， -8分时， -9分当，即时，取得最大值2 -10分当，即时，取得最小值- 12分【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力17、解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，- 1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， -2分所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人- 3分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则 -5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是 -6分（）依题意，的取值为-7分， ， -9分因此，的分布列如下：-10分 -12分 【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识ABCEFMO18、解：（法一）（1）平面平面， - 1分又，平面而平面 -3分是圆的直径，又，平面，平面与都是等腰直角三角形，即（也可由勾股定理证得）-5分， 平面而平面， -6分（2）延长交于，连，过作，连结由（1）知平面，平面，HGABCEFMO而，平面平面，为平面与平面所成的二面角的平面角 -8分在中，由，得又，则 -11分是等腰直角三角形，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 -12分（法二）（1）同法一，得 -3分如图，以为坐标原点，垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系xyzABCEFMO由已知条件得，- 4分由，得， -6分（2）由（1）知设平面的法向量为，由 得，令得， -9分由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则， -11分平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 -12分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力19、解：（1）椭圆右焦点的坐标为，- 1分，由，得 -3分设点的坐标为，由，有，代入，得 -5分（2）(法一)设直线的方程为，、，则， -6分由，得， 同理得- 8分，则 -9分由，得， -11分则 -13分因此，的值是定值，且定值为 -14分 (法二)当时， 、，则， 由 得点的坐标为，则由 得点的坐标为，则 -7分当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 -10分由，得，- 11分则 -13分因此，的值是定值，且定值为 -14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想20、解：（1）（法一）在中，令，得 即 -2分解得， -3分， -5分（法二）是等差数列， -2分由，得 ， 又，则 -3分(求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 -6分 ，等号在时取得 此时 需满足 -7分当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 -8分 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 -9分综合、可得的取值范围是 -10分（3）， 若成等比数列，则，即11分（法一）由，可得，即， -12分 -13分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列- 14分（法二）因为，故，即，（以下同上） -13分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力21、解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 -4分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或- 5分 （2）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 -7分当时，即；当时，即；当时，即 -9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， -12分， -14分 (法二)当时，即时命题成立 -10分设当时，命题