2018_2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式学案.docx

3.2 一般形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题二、预习要点教材整理1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb).当且仅当 或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb) .当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得ai (i1,2，n)时，等号成立三、预习检测1.已知x，y，zR且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1B.C.D22.已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D.43设a，b，c为正数，则(abc)的最小值为_.探究案一、合作探究题型一、利用柯西不等式求最值例1已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值【精彩点拨】由于2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解再练一题1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围【精彩点拨】“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值再练一题2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围.题型三、利用柯西不等式证明不等式例3已知a，b，cR，求证：9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得证再练一题3已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.二、随堂检测1设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为()A18B6C18D.122若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的取值范围是()A(，2) B2,2C(，2D.1,13设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_参考答案预习检测：1.【解析】根据柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.【答案】B2.【解析】(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号，a1x1a2x2anxn的最大值是1.【答案】A3.【解析】由a，b，c为正数，(abc)()2()2()22121，当且仅当k(k0)时等号成立故(abc)的最小值是121.【答案】121随堂检测：1.【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，当a，b反向时，ab最小，最小值为18.【答案】C2.【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，当且仅当aibi(i1,2，n)时，右边等号成立；当且仅当aibi(i1,2，n)时，左边等号成立，