逆向思维在数学论证中的作用与培养.doc

逆向思维在数学论证中的作用与培养-中学数学论文逆向思维在数学论证中的作用与培养 吴水成 （湖南省涟源市第一中学，湖南涟源417100） 摘要：逆向思维是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体。文章阐述了逆向思维在数学教学中的作用，然后结合本人的教育教学经验，在概念的教学、公式的教学、反例的逆用及分析和解决问题中培养学生的逆向思维习惯、逆向思维的自觉性及其兴趣，最终达到提高学生的逆向思维能力和解决实际问题的综合能力。 关键词：逆向思维；数学教学；能力培养 中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）18-0104-02 一、前言 所谓逆向思维就是在研究问题的过程中，有意去做与习惯思维方向相反的探索。逆向思维主要表现在所学知识的逆向应用上，注重知识的逆向应用常常可使数学解题由繁变易1。 在数学解题中，往往因习惯于“顺推”和正面求解，有时会使思维受阻。这时若能运用“换个角度来看问题，倒过来思考”的逆向思维，对解决数学问题往往能起到突破性的效果，从而创造性地发现解决问题的简捷、新颖、奇异的方法。 二、逆向思维在数学教材中的体现 （一）定义的逆用 在数学解题中，“定义法”是一种比较常见的方法，而定义的逆用便于学生养成逆向思维的习惯。 例1 设f（x）=9x-3x+1，求f-1（0） 分析：对该题常规的思维方法是：先求出反函数f-1（x），再求f-1（0）的值，但是因为求反函数的过程繁杂且易产生增解，所以必然会出现诸多失误，甚至有思维受阻现象。但我们如果逆用反函数的定义及性质，令f（x）=0，解出x的值，即为f-1（0）的值，问题就迎刃而解。 因此，在解决数学问题时，若能灵活运用定义的逆向思维，不仅可以省去繁杂的解题过程，而且能保证答案的正确性。 （二）公式的逆用 数学中的许多概念、定义是双向的，我们在平时的教学中，不仅要培养学生的定性思维，而且要充分发挥逆向思维，灵活地逆用公式，解题时就能得心应手，左右逢源。如等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d；它们的逆用形式：实际中的许多问题。 （三）法则的逆用 数学法则反映着一定的数学规律。其中包括数学元素间的内在联系与解决问题的方法。如“若干个因式中，只要有一个为零，那么它们的积为零”的反面是“若干因式的积为零，则这些因式中至少有一个因式为零”也成立。 分析：本题若按常规方法：先通分后相加，势必感到束手无策。若逆用减法法则则带来很大的简便。 （四）定理的逆用 数学中的很多定理，它的逆命题也是成立的。在学习某些数学定理后，引导学生去探索它的逆命题，然后去判断或者论证逆命题的正确性，并且进而启发他们用这些逆定理去解决一些实际问题，能激发学生的学习兴趣。如勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2。它的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，它可以作为直角三角形的判定依据，从而达到解决问题的目的。 （五）逆向分析法 分析法的实质是“执果索因”，要证明结论成立，只需找到使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用2。比较困难，利用分析法从结论入手，解决题目得心应手。 三、数学教学中逆向思维的培养 在数学教学过程中，注意学生逆向思维的培养，会使学生能够更加灵活地去解决数学问题。同时，逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力，培养高素质人才也有着十分重要的意义。那么，在数学中应如何培养学生的逆向思维能力呢？我们可以从以下几个方面来探讨逆向思维在数学教学中的培养。 （一）在概念的教学中培养逆向思维能力 我们知道概念是客观事物的本质属性在人们头脑里的反映。由于数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数学中的一切概念都是现实世界形式或数量关系这类本质属性在人们头脑里的反映。有不少教师在讲解概念时，总是直接把内容写在黑板上，然后让学生去理解、记忆。这种形式不利于学生思维能力的培养。如果能从“逆向”的角度帮助学生去认识概念，去挖掘概念所包含的一切性质及隐含条件，这样能够加深对概念的理解。 如在学过“映射”的概念之后，我在课堂上引导学生做这样的思考：设f：AB是集合A到集合B的映射。那么集合A、B中的元素对应情况将如何？学生思考后我与学生一起得出结论：集合A中的元素不会有剩余了，而且每一个元素在B中都有唯一一个像；集合B中的元素可能有剩余。也就是说B中的元素有的可能没有原像；对应的形式可能是“一对一”，也可能是“多对一”，“一对多”的是不可能的等等。这样，既注意了由此及彼，也注意到了由彼及此，使学生对概念辨析更清楚，理解更透彻，养成双向考虑问题的习惯。 （二）在公式的教学中培养逆向思维能力 数学中的公式很多，熟练掌握公式并能灵活地应用，是解决数学问题所必须的，其中灵活地逆用公式是不可缺的。 首先，记忆公式时不但要“正记”，而且要不断地进行“逆记”和“逆写”训练，这是我们能灵活地逆用公式的基础。 记忆公式时一定要理解地去记忆。要善于找出公式由左向右的特点及功能，同时也要相应找出公式由右向左的特点及功能。如对于两角和差的正切公式3： 另外，在公式的应用中，不但要做一些公式的正用练习，也要做一些公式的逆用练习。 （三）注重反例的逆用 反例在数学发展中和证明一样占着同样重要的地位，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石，微积分刚建立的时候，数学界曾长期错误地认为：连续函数除了个别点处总是处处不可导的。但是，1872年德国数学家继尔斯特拉斯构造出了一个“处处连续但不可导的函数”，这个反例震惊了数学界，促成了影响深远的“分析基础严密化”的数学运动4。 反例不仅在培养逆向思维的能力中占重要地位，同时在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学领域中也起到了非常重要的作用。因此，可以得到这样一个启示：证明一个命题为真，固然要经过严格而周密的证明，然而要推翻一个命题却只需举出一个反例就可达到目的。 例4 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？ 分析：不一定是平行四边形，可构造反例如下：ABC是等腰三角形，AB=AC，点E在BC上，BEEC，当AED=蚁EAC DE=AC时，ADEECA，这时，在四边形ABDE中，AB=DE，D=B，因而四边形ABDE不是平行四边形。 此外，当我们做完一个数学题目后，也可想到有时可举一个数字简单的例子再验证一下思路是否正确，如果出现了矛盾，就表明思路有毛病。 四、结束语 逆向思维是培养我们学生数学思维的一种非常重要的思维方式，对克服思维定势大有裨益。因此，在数学学习过程中有机地、适当地注意从概念、公式、法则、定理及从结论反推，从反面入手解题来培养我们学生的数学逆向思维能力，对优化我们的知识结构、开发思维有着巨大的作用。 参考文献： 1曹莉.逆向思维在数学解题中的运用J.连云港教育学院学报，1997，（3）：71-71. 2 张信联. 逆向思维在数学解题中的应用J. 数学教学通讯