2019届高考数学专题四三角函数向量与解三角形第3讲正余弦定理及其应用学案.docx

第3讲正、余弦定理及其应用 1. 高考对解三角形问题考查比较普遍，主要考查正、余弦定理的应用，并能运用它们求解与三角形有关的问题2. 高考主要涉及的题型：(1) 结合三角恒等变换考查解三角形知识；(2) 结合三角形性质综合考查三角函数知识1. (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C60，b，c3，则A _答案：75解析：由正弦定理得，得sin B. bc， BC， B45， A75.2. (2018石家庄模拟)在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于_答案：或解析：由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，即13BC23BC，解得BC1或BC2.当BC1时，ABC的面积SABBCsin B1.当BC2时，ABC的面积SABBCsin B2.综上，ABC的面积等于或.3. 在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a5，A，cos B，则c_答案：7解析：因为cos B，所以B(0，)，从而sin B，所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.又由正弦定理得，即，解得c7.4. (2018兰州模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_答案：直角三角形解析：由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，所以sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.因为A(0，)，所以sin A0，所以sin A1，即A，故ABC为直角三角形,一) 利用正、余弦定理解三角形,1) (2018徐州期中)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2c2bcos A.(1) 求角B的大小；(2) 若b2，ac4，求ABC的面积解：(1) 因为a2c2bcos A，由正弦定理，得sin A2sin C2sin Bcos A.因为C(AB)，所以sin A2sin(AB)2sin Bcos A，即sin A2sin Acos B2cos Asin B2sin Bcos A，所以sin A(12cos B)0. 因为sin A0，所以cos B. 因为0B，所以B.(2) 由余弦定理a2c22accos Bb2及b2得a2c2ac12，即(ac)2ac12. 因为ac4，所以ac4，所以SABCacsin B4.在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan B2，tan C3.(1) 求角A的大小；(2) 若c3，求b的长解：(1) 因为tan B2，tan C3，ABC，所以tan Atan(BC)tan(BC)1.又A(0，)，所以A.(2) 因为tan B2，且sin2Bcos2B1，又B(0，)，所以sin B.同理可得sin C.由正弦定理，得b2.,二) 结合正、余弦定理求值化简,2) (2018启东中学月考)已知函数f(x)2cos(x)cos(x)，xR.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若锐角A满足f(A)，C且c2，求ABC的面积解：(1) f(x)2coscos2sincos2sincossin， 函数的最小正周期T. (2) f(A)， sin. sin. A为锐角， 0A， 2Ab，所以AB，即得0B.又sin B，所以cos B. (9分)在ABC中，ABC，所以cos(C)cos(AB)cos(B) (cos Bcossin Bsin)().(14分)1. (2018泰州学情调研)在ABC中，BC，AC1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当C变化时，线段CD长的最大值为_答案：3解析：不妨设ABBDk，在BCD中，由余弦定理得CD2k222kcos(ABC90)，整理得CD2k222ksinABC，在ABC中，AB2122cos Ck2， CD252cos C2ksinABC.由正弦定理知，ksinABCsin C，从而CD252(sin Ccos C)54sin. 0C，从而当C时，(CD2)max9，CDmax3.2. 在ABC中，已知(sin Asin Bsin C)(sin Bsin Csin A)3sin Bsin C.(1) 求角A的值；(2) 求sin Bcos C的最大值解：(1) 因为(sin Asin Bsin C)(sin Bsin Csin A)3sin Bsin C，由正弦定理，得(abc)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A.(2) 由A，得BC，所以sin Bcos Csin Bcos(B)sin B(cos Bsin B)sin(B)因为0B，所以B，当B，即B时，sin Bcos C的最大值为1.3. 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2c2a2bc.(1) 求角A的大小；(2) 设函数f(x)sincoscos2，当f(B)取最大值时，判断ABC的形状解：(1) 在ABC中，根据余弦定理cos A