《含参量正常积分》doc版.doc

第十九章 含参量积分 1含参量正常积分教学目的与要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明(2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 (4) 掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法教学重点，难点：重点：含参量正常积分定义级其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用；含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性；含参量反常积分的一致收敛的狄里克雷判别法和阿贝尔判别教学内容：一、 含参量正常积分的概念定义 设二元函数在矩形区域上有定义，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数， （1）设二元函数在区域上有定义，函数，为上的连续函数，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数， （2）称（1）和（2）为含参量的正常积分类似可定义含参量的正常积分问1 含参量积分是积分还是函数？ 它与已学过的积分有什么联系？答 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数， 而不定积分是满足一定条件的一族函数， 定积分表达的则是一个数。 如果将常数看作常值函数， 则定积分成为含参量正常积分的特殊情形。含参量积分实质上是函数， 它提供了构造新函数的一种方法。 以前学过的函数出了表示成因变量是自变量的表达式外， 还有变限积分表示、函数项级数表示、函数列表示、用函数方程或隐函数等等.二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一）、连续性定理19.1(连续性) 若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续分析 设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑或），要证在上连续, 只须证在任意上连续, 只须证, 当时, , 即 , 当时, .要使上式成立， 只须 .由在上连续， 从而一致连续可得结果.（同理，若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续）定理19.1的结论可写成：若二元函数在矩形区域上连续, , (极限运算与积分运算交换顺序).定理19.2(连续性) 设二元函数在区域上连续，其中函数，为上的连续函数 ,则函数， （6） 在上的连续分析 已知定理19.1成立, 要证定理19.2, 要先进行变量变换, 将化为的形式. 对用换元积分法, 令, 当在与之间取值时, 在上取值, 且, 代入得由于被积函数在上连续, 由定理19.1即得结论. （二）、可微性定理19.3(可微性) 若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则函数在上可微，且 . 分析 要证结论成立, 只需证 利用函数与其导数之间的桥梁拉格朗日中值定理 , 利用连续即可.定理19.4(可微性) 若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，为定义在上其值含于的可微函数，则 在上可微，且 . （7）证明 把看作复合函数：,其中，,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有.（三）、可积性定理19.5(可积性) 若二元函数在矩形区域上连续，则函数和分别在和上可积 证明 由和的连续性即知.定理19.6(可积性) 若二元函数在矩形区域上连续，则.应用举例例1 求 .解 记，由于，连续，由定理19.2知在连续,所以.例2 计算积分.解 考虑含参量积分.显然, 且函数在上满足定理19.3的条件, 于是,所以 另一方面 ，所以 .例3 设在的某个邻域内连续，验证当充分小时，函数的各阶导数存在，且.解 及其偏导数在原点的某方邻域内连续，与是由定理19.4可得.同理 .如此继续下去, 求得阶导数为.特别当时有, 故.例4 求.解 因为，, 所以. 由于函数在上满足定理19.6的条件, 所以交换积分顺序得到.注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.复习思考题、作业