2020届新高一数学初中高中衔接班“扬帆计划”

2020届新高一“扬帆计划”

数学

课程说明

1.课程目标

初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差

异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、

学习方法等.因此我编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.

1.补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭

桥.

2.学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法

及教学方法；

3.培养学生学习高中数学的自信心.

2.适用对象

新高一学生

3.课时安排

授课时间：7-8月，共计15次课，30小时（班课）.

4.课程特色

以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平

稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔

接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.

5.课程结构

1.课前预习部分：教与式

2.讲解部分（共15讲）

第1研集合的概念

第2研集合的运算

第3讲命题与条件

第4讲不等关系与一元二次

不等为

第5讲基本不等人

第6讲函数及其杭念

第7济值城专讲

第8讲函数的单调性

第9讲函数的奇偶性

第10讲器效运算

第11研对数运算

第12讲综合复习

打梭突破部分Coi:此部分讲解顺序可灵活调整）

专题一政勾舀赦与二次的教

专题二籍对值不等式

专题三周期函数与类周期的数

课前预习部分：数与式

知短点一：票法在式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式3+。)3-加=/一〃；

(2)完全平方公式(«±bj=a±2«M-.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a-ah-2b)='a+；

(2)立方差公式(tz—b)(ft+a层-b)=、ci—；

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b]=d+3d加3a2b+；

(5)两数差立方公式(a-b)3-a3—3a2b+3abi—b\

【例1】：

(1)计算：(X"~■\l2.XH—尸=_________________________________

(2)计算：(2a+0)(4a2-lab+b2)=

(3)计算(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=

(4)(2龙-3)(4x2+6xy+9)=_________________________________

变式1：利用公式计算

<111

(z1)-tTi—(—m2H—tnH—)二

(23j469

(2)(a+/?)(a2-ab+b')^a-b^^cr+ab+b2)=

变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解

(1)21m3—n3(2)27m3——/?3(3)x3-125(4)mb—nb

【例2】

(1)(—mn)(——m----mn+—n

5225104

(2)已知3》+1=0,求的值.

(3)已知a+8+c=0,求+++++的值.

bccaab

变式1：计算：(x+l)(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

变式2:已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求/+/+c?的值.

知识点二、根式

式子右(a20)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(Va)2=a{a>0)(2)\[a^=同=["‘"一：’

(3)y[cib=4a-y[b(a>0,b>0)(4).1^=^.(a>0,b>0)

Nay/a

【例1】：基本的化简、求值

化简下列各式：

(1)J(6-2)2+J(百-1)2=__________

(2)—x)2+\j(2—x)2(x>1)=

(3)计算，4+2百=________________________

(4)(&+6+1)(1-&+防-(&+历2二

⑸

a-\laha+slab

2+732-6

(6)设》=求x'+;/=

y2+百

变式1:二次根式J/=一。成立的条件是()

A.a>0B.a<0C.<0D.。是任意实数

变式2:若x<3,则j9—6x+f—|x—6|的值是()

A.-3B.3C.-9[.9

变式3：计算J7+4月

(1)(Vn+\[b+1)(1—\[ci++\[b)~(2)

知识点三、分式

【例1】：

1、分式的化简

x2+3x+96xx-l

(1)化简

x3-279x-x36+2x

(2)化简一v—

x——

X

2、(1)试证：---=-一——(其中〃是正整数)；

4-1)n〃+1

11

(2)计算:----+-----FH-----------

1x22x39x10

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有二一+」一+11

d---------------V—.

2x33x4小封)2

3、分式的运用

设e=£,且e>l,2c2—5a+2a2=0,求e的值

a

变式1：对任意的正整数力，-------

〃(〃+2)

变式2：选择题：若出f=2,则土=(

)

x+y3y

546

(A)1(B)一(C)一(D)一

455

变式3:计算」一+111

1x2布+热99x100

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解

方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)

外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。

1、【例1】：公式法(立方和、立方差公式)

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

(tz-£>)(a2+ab+b2)=ai-bi(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

o'+b3=(a+b)d-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a.2+ab+b2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这

两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例：⑴8+x3(2)0.125-27力

变式：分解因式：⑴3a3/,一8仍4(2)a7-abb

2、【例2】：分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以

上的多项式，如机”+〃/+〃。+，仍既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项

式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.

分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：

(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式

例：分解因式

(1)2ax-\Gay+5by-bx=

(2)ab(c2-1/2)一(片_b?)cd=

(3)x—-y+ax+ay-_____________________

(4)2x2+4xy+2y2-8z2=

3、【例3】:十字相乘法

x2+(〃+q)x+型的因式分解

把下列各式因式分解：

(1)x2-7%+6=

(2)x2+13x+36=______________________

(3)/+5尤—24—__

(4)%2—2x—15=

(5)x2+xy—6y2=_____________________

(6)(x2+x)2—8(x2+为+12=

一般二次三项式以2+区+c型的因式分解

(1)12X2-5X-2(2)5x2+6xy-8y之

变式练习：

(1)X2-6X+5=_______________________

(2)x2+15x+56=_____________________

(3)x2+2xy-3y2=_____________________

(4)(X2+X)2-4(X2+X)-12=_______________________

4、拆项法(选讲)

分解因式d―3x2+4二_____________________

课后练习:

1.填空：

,、121,2/，1、/

(1)—ci~—b=(—hH—6Z)()：

9423

(2)(4m+)2-16m2+4m+()；

(3)(a+2Z?-c)2=iz2+4/?2+c2+().

(4)若(x-2y)(x2+2xy+4y2)+8;/=1,则x,y的值为

(5)若/+%+1=0,则d-V-23-1=

门।3a—-ah

(6)a=—,b=一贝U-------------

233a2+5ah-2b2

(7)若炉十个-2y2=0,则x+、肛=____________

x-by

(8)若—，则()

(A)a<b(B)a>h(C)a<h<0(D)h<a<0

(9)计算等于()

(A)yf^a(B)\[a(C)—y]—Cl(D)-y/u

/、#11-e3x+xy-3ys/

(10)若-----=2,则------的值为()

元yx一肛一y

,335

A.-B.—C.—DT

5533

2.化简：（1）+10m—2，犷J—⑵回

(2)y(x>y>0)

3.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2(2)813+4%2-21一1

⑶5/—15%+2个—6y(4)4xy4-1-4x2-y2

(5)a4b+a3b2-a2b3-ab4(6)f—y6—2丁.|_1

第一讲：集合的基本概念

一、知识梳理

知识点一、集合的概念

【内容概述】

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的

元素，简称“元”

例1.考查下列每组对象能否构成一个集合：

（1）著名的数学家；（2）某校2010年在校的所有高个子同学；

（3）不超过20的非负数；（4）方程X2-9=0在实数范围内的解；

（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；（6）小的近似值的全体.

变式1：下面有三个命题：其中正确的命题有个.

（1）自然数中最小的数是零

（2）0是自然数

（3）{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；

【概括】：集合中元素的特性

确定性：它的元素必须是确定的。

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的

对象。

无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的

例2.下列各组对象：其中能构成集合的组数是（）

①接近于0的数的全体②比较小的正整数全体③夜的近似值的全体

④平面上到点。的距离等于1的点的全体⑤正三角形的全体

A.2B.3C.4D.5

变式2：下列各种对象，可以构成集合的有个

①某班身高超过1米8的女学生②某班比较聪明的学生

③某书中的难题④使|Y—3x+2|最小的x的值

A.1B.2C.3D.4

知识点二、元素与集合的关系及常用数集记法

【内容概述】

1.集合通常用表示，用表示集合中的元素.

2.如果a是集合A的元素，就说a集合A,记作A,读作“

如果a不是集合A的元素，就说aA,记作A,读作“'

3.数学中一些常用的数集及其记法：

实数集：_______有理数集：整数集:

非负整数集：正整数集：或

例3.用G,任填空：

1N,-3N,0N,V2N,

0Z&R

1Z,-3Q,

变式3：下面命题：正确的个数是一个。

①集合N中最小的数是1②若-a不属于N,则a属于N

知识点三、集合的表示方法

【内容概述】

1、自然语言：通过日常语言来描述集合问题中被研究的对象，如全体实数组成的集合、正整数

集等。

2、列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。如{1,-2}

说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；

(2)一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时，通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素，以提供某

种规律,其余元素以省略号代替

例4.用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合

(3)从51到100的所有整数的集合;(4)小于10的所有自然数组成的集合;

【内容概述】

我们不能用列举法表示不等式x-7<3的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的，但是，我

们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述：

例如：不等式x-7<3的解集中所含元素的共同特征是：%€凡且*-7<3,即*<10

所以，我们可以把这个集合表示为°=｛xeR|x<10｝

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来，写

在大括号里的方法)。

表示形式：A=｛xw/|p(x)｝,其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公

共属性；A=｛xe/|p(x)｝表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p,

贝UXGA：若xwA,则x具有性质p。

说明：(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；

(2)应防止集合表示中的一些错误。

如：把｛(1,2)｝表示成｛1,2｝或｛x=l,y=2｝,用｛实数集｝或｛全体实数｝表示Ro

例5.用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2〉0的所有解组成的集合；(2)抛物线y=x2上的点；

(3)抛物线y=x?上点的横坐标；(4)抛物线y=x2上点的纵坐标；

变式1：试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程炉-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

变式2：(1)用自然语言描述集合｛1,3,5,7,9｝；(2)用列举法表示集合A=｛xeN[l<x<8｝

知识点四、集合的分类

【内容概述】

'有限集:含有有限个元素的集合

集合的分类，无限集:含有无限个元素的集合

空集：不含有任何元素的集合-set)

例6.观察下列三个集合的元素个数

(1){4.8,7.3,3.1,-9}；(2){xeRI0<x<3}；(3){XGRIx2+l=O}

知识点五、集合间的基本关系

例L观察下列几组集合，有什么共同的地方

(1)A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}

(2)A={3,5,7}B={3,5,7)

(3)A={x|x2-2x+\=0}B={x|d-2x-3=0}

我们可以发现A中的任何一个元素在B中都能找到。那么这样的两个集合是什么样的关系呢？

1、【概括】

对于集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合是包含关系,

集合A为集合B的子集。记作A18(或5oA)读作A含于B

例2.用符号“三”、“卫”、““或“仁”填空：

(1){a,b,c,d}—{a,b}；(2)0{1,2,3)；(3)NQ；

(4)0R；(5)d___{a,b,c]；(6){x[3<x<5}{x|0„x<6}.

例3.写出集合{a,b)的所有子集，

例4.说出下列每对集合之间的关系.

(1)A={1,2,3,4,},B={3,4}.(2)P={xIx』},Q={-1,1}.(3)N,

N*.

例5.设集合4=卜|1<%<2},8={x|x<a},且则实数a的范围是()

A.a>2B.a>2C.a>\D.a<\

变式：若人=「IX2-3X+2-0),B={X|X?—ax+a—1=0},且B=A,则。的值

为______

2、韦恩图

【内容概述】

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6.求下列集合之间的关系，并用Venn图表示.

A={xIx是平行四边形},B={x|x是菱形},

C={xIx是矩形},D={x|x是正方形}.

3、集合相等：

设集合A={x|x2-l=0},B={-1,1)-那么这两个集合会有什么关系呢？

【概括】集合A与集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A与集合B相等,

即：A=B

例7.判断集合A={X||A|=2}与集合B=卜k2_4=o}的关系.

例8.判断集合A与B是否相等？

(1)A={0},B=0；

(2)A={*",-5,-3,-1,1,3,5,,,,},B={xIx=2m+l,meZ}；

(3)A={xx=2m-l,meZ},B={x|x=2m+l,meZ}.

变式：已知三元集合A={x,xy,x-y},B-{O,|xI,y},且人=8,求x与y的值.

2、真子集：

【内容概述】

如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B,那么把集合B叫做集合

A的真子集.记作B些A(或A矣B),读作“A真包含B”(或“B真包含于A").

［不包含本身的子集叫做真子集］对于集合A、B、C,如果AUB,BUC,则AUC.

例9.选用适当的符号“纭”或“关”填空：

(1){1,3,5}{1,2,3,4,5}；(2){2}{x||x|=2}；(3){1}0.

例10.设集合仞={0,1,2},试写出M的所有子集，和真子集

变式：已知集4=卜产—2元一3=0},B={x|at-l=0}若B亚A,求a的值所组成的集合M.

1、空集

【内容概述】

1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0

2、空集是任何集合的子集。

3、空集是任何非空集合的真子集

例11.求方程x2+l=0的实数根

变式：下列四个集合中，表示空集的是()

A.{0}B.{(x,y)|=-x2,xe7?,ye7?)

C.{x||x|=5,xeZ,xeN}D.{%|2x2+3x-2=O,xeN]

二、课堂达标检测

易混符号

①“w”与“1”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系.如1eN,-l正N,NjR,

<DcR,{1}C{1,2,3}

②{0}与①：{()}是含有一个元素0的集合，①是不含任何元素的集合.

1、给出下列关系：

①；=/?；②夜走Q；③卜3|eV；④卜若|eQ.

其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、由实数x,一x,।x।'，—而所组成的集合，最多含（）.

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素

3、下面三个集合：①｛力=1+1｝；@｛y|y=x2+1｝；③｛（x,y^y=x2+1）1.

（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？

4、用列举法表示下列集合

｛x|x=（—1）",〃GN｝｛（x,y）|3x+2y=16,xeN,yeN｝

5、M={X|2X2-5X-3=0},N={X|〃?X=1},若N曝M,则机的取值集合为（）

A.{一2}B.{g}C.国}».卜2,0,；}

6、满足{l}qAq{l,2,3}的集合A的个数是.

ib1c1

7、已知集合A={x|x=〃+不Q£Z},B={x\x=2~2fbGZ},。={川%=/+%,c」Z},则A、B、

。之间的关系是.

2

8、设集合A={1,a,b],B={。，a,ab},且A=B,求实数a,bo

9、已知集合4=｛耳方之一3彳+2=0｝,其中。为常数且。GRO

(1)若集合A是空集，求a的范围；

(2)若集合A只有一个元素，求。的值；

(3)若集合A中至多有一个元素，求。的范围。

三、课后作业

课后练习1

1.由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).

①不超过兀的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；

④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生.

2.下列四个说法中正确的个数是.

①集合N中最小数为1；②若adN,则一a《N；

③若aGN,bdN,则a+b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.

3.用或“住”填空.

(1)-3N；(2)3.14Q；(3)1Z；

(4)-1R；(5)1N*；(6)0N.

4.集合A={1,2,3,5},当x6A0^,若xf《A,x+1任A,则称x为A的一个“孤立元素”，则A中

孤立元素的个数为.

5.已知x、y、z为非零实数，代数式含+古+5+翌的值所组成的集合是M,则M中元素的个数

1入1lyIxyz,

为.

6.方程x2—2x+l=0的解集中含有个元素.

7.已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)为等腰

三角形.

8.若集合{(x,y)b+y—2=0且x—2y+4=0}{(x,y)|y=3x+8},则匕=.

9.已知集合乂={-2,3*2+3*—4,X2+X-4},若26M,求X.

课后练习2

1.已知集合A={a,b,c},B={x|xEA},则集合B的真子集个数最多是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个子集，则。的取值是（）.

A.0B.0或1C.1D,上述均错误

3.设集合M={1,234,5},且awM时，6-aeM,则集合M=.

4.写出满足条件{0,1}qM*{0,1,2,3}的集合M

5.集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是.

6.集合＜xGZj=—9—,yeZ＞中的元素有.

x+1

7.用符号G或史填空：

①IN,0N.-3Q,0.5Z,V2R.

②,R,V5Q,|-3|N+,I-V3IZ.

2

8.若集合A={xIx2+(a-l)x+b=0}中，仅有一个元素a,则a=,b=

9.已知集合A={x|xV—1或x>2},B={x|4x+p<0},当BqA时，求实数p的

取值范围.

10.设集合A={x|x2+4x=0},B={I+2(Q+1)X+Q2_]=0。£R},若BqA,

求实数。的取值范围.

11.实数集A满足条件：1eA,若aCA,贝iJ」一eA.

\—a

(1)若2WA,求A；

(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由;

(3)求证：1-^EA

a

第二讲：集合的关系与运算

一、知识梳理

1并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。

记作AUB。读作：A并B。其含义用符号表示为：AB=或reB}

用Venn图表示并集如下:

2交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。

记作：ACB。读作：A交B。其含义用符号表示为：=且rwB}。

用Venn图表示交集如下：

3交集与并集的运算性质：

①AnA=A,AljA=A；

②AdO=。，4U0=A；

③AflB-nA，AU3=BUA；

④(AnB)nC=An(BnC)，(AUB)UC=AU(3UC);

⑤=AU8=AO8UA。

@①7AnBGAGAUB.

4全集：一般地，如果一个集合含有我们所.研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，

通常记作U。

5补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U

的补集，简称为集合A的补集。

其含义用符号表示为：CuA={^[x&U,且reA}

用Venn图表示交集如下：

拓展：补集与交集、并集的性质——反演律(又叫德摩根律)

①G/AUBMCdmc/)；②G/sriBhCuMucuB)(可以用韦恩图来理解).

结合补集，还有①AU(CUA)=U,②An(CUA)=0.

容斥原理:一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A,B,有

card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB).

二、同步题型分析

例1(1)A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则AUB=；

(2)设4={等腰三角形},B={直角三角形},则AP8=;

(3)A={x|x>3},3={x|x<6},则4UB=,AC5=.

例2设4={刈-1<》<8},B={x[x>4%<一5},求AAB、AUB、C“A、CL,B

例3设A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},求4nB.

例4设4=任©2,45},3=5€2卜>1},那么A8等于().

A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{2,3,4}D.{x[l<x<5)

例5设[/=*卜<13,且xCN},A={8的正约数},B={12的正约数},求G,A、G*.

例6设U=｛三角形｝,M=｛直角三角形｝,N=｛等腰三角形｝,则MflN=

MUN=CuM=

CuN=Cu(MUN)=

YX+1

例7若M={£Z},N={eZ},.则Mp|N等于()

A.°B.{0}C.{0}D.Z

变1.若A={*-5WxW8},B={x\x>4蚪<-5},则AAB=；AUB=.

变2.(1)若4={(尤,丫)|4》+丫=6},B={(x,y)|4x+y=3},则AB=；

(2)^A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|8x+2y=12},贝U4B=.

变3.设4={0,1,2,3,4,5},3={1,3,6,9},。={3,7,8},则(AB)C等于()

A.{0,1,2,6}B.{3,7,8,}C.{1,3,7,8}D.{1,3,6,7,8}

变4.设集合A={XGZ|X2一px+15=0},集合B={xez|x2-5x+q=0},若已知AUB42,3,5},则

集合A、B分别为()

A.{3,5}、{2,3}B.{2,3}、{3,5}C.{2,5}、{3,5}D.{3,5}、{2,5}

变5.定义A—B={x|xWA,且xeB},若乂={1,2,3,4,5}7={2,4,8},则N—M=。

变6.已知全集/={小于10的正整数},其子集A、B满足(C,A)(C;B)={1,9),(C,A)B={4,6,8),

AB={2}.求集合A、B

变7.已知全集/={2,3d+2a-3},若4=2,2},C,A={5},求实数a,b.

三、课堂达标检测

1、互异性：A={1,2,3,a},B=(3,a2},AU5=A,求实麴的值

2、元素的含义:

(1)设集合M={y|y=3-*2},N={y|y=2丁-1},则MN=.

(2)设集合M={x|y=53-d},N={y|y=29-1},则MN=

(3)设集合M={(x,y)|y=3-d},N={y|y=2d-1},则"N=.

3、空集：已知集合/={.+1=°}'叼巾2*56=0},若热以求由实数a组成的

集合C。

4、代入检验：已知集合/+3,a+1"），B=[a-3,M+l,21）,且小八闾,

求实数a的值。

5、取等号：已知工=3一1＜才＜2}/={处=工+。，六司一=卜区=/4”），且

BUC=C，求实数a的取值范围。

6、分类讨论：

_...A=1-1,1195—fx|x—2ax+8=Of....r-i4IIr-»._1sL皿-r7-i-

已知集合\\J,右JBW。,且Alj3=A,求实数a和b的值。

7、德摩根律：

已知全集U=AU3中有m个元素，(CM)U(CuB)中有〃个元素.若AD8非空，则ACB的元素个数为

()

A."?BJ"+〃C.m~nD.n-m

四、课后作业

1、已知全集。=口,2,3,4,5},A={X|X2-5X+4=0},求

2、已知集合人={小2-4癖+2根+6=0,xeR},3={小＜0,xeR},若已知4r13工。，求

实数m的取值范围。

3、设人=也卜2+4%=0,8={耳尤2+23+1»+/_1=0}淇中*€艮如果人口8=13,求实数a的取

值范围。

4、已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},Ac（QB）={1,8},（QA）c8={2,6}（QA）c（C*）={4,7},

则集合A为.

5、己知集合4=卜产+2氏'+<7=0},8=1卜2-px-2q=o},月4B={-1},求4B.

6、设全集U={a,b,c,d,e,f,g,h}。已知={a，e},

(5)11(。心)=佃,b,c,e,f,g,h},("加八忙,g},(CuB)C]A={b,f,h},求集合A

和集合B。

7、已知集合A={xk2-4%+3=0),8=卜卜2-公+"1=()}《=卜卜2-侬+1=。),

且AB=A,AC=C,求a,m的值或取值范围。

第三讲：充要条件、全称量词与存在量词

一、知识梳理

1.四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若p,则q

逆命题若q，则p

否命题若,则［9

逆否命题若,则->p

(2)四种命题间的关系

(3)常见的否定词语

正面词语=>(<)是都是任意(所有)的任两个至多有1(")个至少有1个

否定词<(>)不是不都是某个某两个至少有2(〃+1)个1个也没有

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动.

3.充分条件与必要条件的概念

(1)若则p是q的充分条件，夕是p的必要条件；

(2)若片且则〃是夕的充分不必要条件；

(3)若夕冷(7且9=2，则?是q的必要不充分条件；

(4)若p0q,则p是q的充要条件；

(5)若p#q且q#p,则p是q的既不充分也不必要条件.

4.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号'丫：'表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“口”表示.

5.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称语言表示符号表示命题的否定

对M中任意一个元，有

全称命题▼x®M,

3x0^M,-\BiXol

p(x)成立

存在M中的一个沏,使

特称命题

3x0GM,p(xo)

P3))成立

6.必记结论

(1)等价转化法判断充分条件、必要条件

①p是q的充分不必要条件O-1。是「P的充分不必要条件；

②p是q的必要不充分条件O-<q是rp的必要不充分条件；

③p是q的充要条件Of是的充要条件；

④p是q的既不充分也不必要条件O「4是「P的既不充分也不必要条件.

(2)集合判断法判断充分条件、必要条件

若p以集合4的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A-{x\p{x)},q-.B={x\q(x)},则

①若AqB,则p是q的充分条件；

②若BqA,则p是q的必要条件；

③若4*8,则p是q的充分不必要条件；

④若8纭A,则p是q的必要不充分条件；

⑤若A=8,则p是q的充要条件；

⑥若4*8且6与A,则p是q的既不充分也不必要条件.

二'同步题型分析

题型一：充分、必要条件的判定

例1(1)设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“xGM或xGN”是“xGMCN”()

A.充要条件B必要不充分条件

C充分不必要D不充分不必要

(2)aGR,|a|<3成立的一个必要不充分条件是()

A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2

(3)已知条件2：x>l或x<—3,条件q：5x—6>x2,则q是p的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变1（2018•福建省莆田一中月考）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常

在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”

的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

变2（2018・济南模拟）若集合4={%|14<2},B={x\x>b,b^R},则AUB的一个充分不必要条件是

（）

A.以2B.1c6W2

C.bWlD.b<\

题型二：含有一个量词的命题

例2（1）（2018・沈阳模拟）下列四个命题中真命题是（）

A.R,tT>nB.3n（）GR,VnzGR,m-n（）=m

C.VR,m恤eR,mo<nD.V/?€R,n2<n

例3⑴已知命题p：叼xoGR，ex°-Xo-l<0,\则10为（）

A.3xoGR,e（l>—%o—1-0B.3XQ£R,e'"—XQ—l>0

C.VxGR,eA—JC—l>0D.VxGR,e'—x-l>0

变3（2018・福州质检）已知命题p：Vx,,X2GR，（［兀⑴―X两）］）（X2—X|）20,贝Ij1。是（）

（）y（X|））］（X2—X1）WO

A.Bxi，MWR，（［AM）—7（XI））（》2—乃）忘0B.Vxi，A2GR,IXJC2—

C.3%|,X2GR，）］（X2—Xl）<0D.VxpX2GR，［（式X2）-/（Xl））］（》2一》1）<。

题型三：充分、必要条件的应用

例4已知夕={川¥—8x—200},非空集合5={工|1—mW烂1+加}.若xWP是x£S的必要条件，求"?

的取值范围.

Y•—1

例5已知p：1——打$2,q：X2-2X+1—ffl2<0（w>0）,q是p的必要不充分条件，则实数，"的取值

范围为•

变4⑴若“x>2病一3”是“一2<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

（2）设“GN*,则一元二次方程?-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.

变5已知命题“VxGR,$一5叶果》0"的否定为假命题，则实数a的取值范围是.

三'课堂达标检测

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1均是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）

（2）若p是夕的充要条件，则命题p和q是两个等价命题.（）

（3）全称命题一定含有全称量词.（）

（4）Bx0eM,Mx。）与ip（x）的真假性相反.（）

2.命题“正方形都是矩形”的否定是.

3.“》一3=0”是“（x—3）（x—4）=0”的条件.

4.（2018•郑州质检）命题“mx（）GR,看一的一1>0”的否定是（）

A.Vx£R,d-x-lWOB.DxGR,x2-%-l>0

C.3%oeR>/—x（）—IWOD.EIxoCR,舄一沏一120

5.已知p：x>a是/2令<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

四、课后作业

1.以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是()

A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使

D.存在一个负数x,,>2

C.两个无理数的和必是无理数

2.命题“VxeR,3n0GN*.使得“oWf”的否定形式是（）

A.VxCR,B/7flGN\使得"6X?B.VxGR,V〃GN*,使得

C.3xoeR,3n0GN*,使得g>君D.3x0eR,VneN*,使得