[研究生入学考试]随机信号分析常建平+李海林习题答案.doc

1-9 已知随机变量X的分布函数为求：系数k； X落在区间内的概率； 随机变量X的概率密度。解：第问 利用右连续的性质 k1第问 第问 1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：系数k X落在区间内的概率 随机变量X的分布函数解：第问 第问 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。第问1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？汽车站出事故的次数不小于2的概率答案 1-12 已知随机变量的概率密度为求：系数k？的分布函数？第问方法一：联合分布函数性质：若任意四个实数，满足，则方法二：利用1-13 已知随机变量的概率密度为求条件概率密度和？判断X和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度、注意上下限的选取 1-14 已知离散型随机变量X的分布律为3670.20.10.7求：X的分布函数 随机变量的分布律1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。求：随机变量的概率密度？随机变量的概率密度？分析:答案: 1-16 已知随机变量和相互独立，概率密度分别为，求随机变量的概率密度？解：设 求反函数，求雅克比J11-17 已知随机变量的联合分布律为求：边缘分布律和？条件分布律和？分析：泊松分布 P19 （148）解： 即X、Y相互独立1-18 已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量证明：随机变量的联合概率密度为因为|J|1,故已知随机变量相互独立，概率密度分别为 1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为求其数学期望与方差？解: 1-20 已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：随机变量X的数学期望和方差？随机变量的概率密度？Y的数学期望和方差？ 答案: Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25式 其中 为冲激函数1-22 已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为求的期望，方差以及它们的相关系数？ 0.131-23 已知随机变量满足，皆为常数。证明： ； ； 当且时，随机变量正交。 1-25 已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。求随机变量X的数学期望和方差？证明服从参数为的泊松分布。解： 泊松分布 特征函数的定义 由(1-17题用过) 可得根据特征函数的性质，X Y相互独立，表明Z服从参数为的泊松分布1-26 已知随机变量的联合特征函数为求：随机变量X的特征函数 随机变量Y的期望和方差解：1-28 已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？解： 特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立，因此有 和独立独立的等价条件（充分必要条件） 1-29 已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为，方差分别为，相关系数为。令 写出二维高斯变量的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开； 证明相互独立，皆服从标准高斯分布。解： ，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布 ，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立1-30 已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令其中为常数。证明：服从二维高斯分布； 求的均值和协方差矩阵； 证明：相互独立的条件为。复习： n维高斯变量的性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解： 相互独立、二维高斯矢量因此互不相关 只要证为对角证即1-31 已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为证明：相互独立。复习： n维高斯变量的性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量 由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵1-32 已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求和的联合特征函数？思路：是线性变换故也服从高斯分布，求得就可以写出联合特征函数，线性变换，故也服从高斯分布N维高斯变量的联合特征函数2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (1)条件概率密度(2)X和Y是否独立？给出理由。解题思路： 解：(1) (2) X和Y不相互独立4、已知 (X1,X2,X3) 是三维高斯变量，其期望和方差为 求：(1) (X1,X2)的边缘特征函数。 (2) (Y1,Y2)的联合概率密度 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布所以(X1,X2)、服从高斯分布(1) (2) 2-1 已知随机过程 ，其中 为常数，随机变量 服从标准高斯分布。求 三个时刻 的一维概率密度？解： (离散型随机变量分布律) 2-2 如图2.23所示，已知随机过程 仅由四条样本函数组成，出现的概率为 。 图2.23 习题2-2在 和 两个时刻的分布律如下： 1263 5421 1/81/43/81/4求 ？ 223 2-4 已知随机过程 ，其中 皆为随机变量。求随机过程的期望 和自相关函数 ？若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为 和 ，求 的一维概率密度 第问 方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）步骤：t时刻， 为两个随机变量的函数设二维的随机矢量 求反函数求雅克比行列式J，得到|J|利用公式 由联合概率密度求边缘概率密度 t为变量，则得到 方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做 （特征函数和概率密度一一对应） 2-5 已知 为平稳过程，随机变量 。判断随机过程 的平稳性？ 随机过程 非平稳 2-6 已知随机过程 ，其中随机过程 宽平稳，表示幅度；角频率 为常数；随机相位 服从 的均匀分布，且与过程 相互独立。求随机过程 的期望和自相关函数？判断随机过程 是否宽平稳？ 与过程 相互独立 2-8 已知平稳过程 的自相关函数为 ，求过程的均方值和方差？ 2-10 已知过程 和 ，其中随机变量 独立，均值都为0，方差都为5。证明 和 各自平稳且联合平稳；求两个过程的互相关函数？ 2-11 已知过程 和 各自平稳且联合平稳，且 。求 的自相关函数 ？若 和 独立，求 ？若 和 独立且均值均为0，求 第问 两个联合平稳的过程的互相关函数 第问 两平稳过程独立 第问 和 独立且均值均为0 2-12 已知两个相互独立的平稳过程 和 的自相关函数为 令随机过程，其中 是均值为2，方差为9的随机变量，且与 和 相互独立。求过程 的均值、方差和 自相关函数？随机变量A，与 和 相互独立 可以证明过程 平稳 2-14 已知复随机过程 式中 为n个实随机变量， 为n个实数。求当 满足什么条件时， 复平稳？复过程 复平稳条件 2-16 已知平稳过程 的均方可导， 。证明 的互相关函数和 的自相关函数分别为 若 为宽平稳（实）过程，则 也是宽平稳（实）过程，且 与 联合宽平稳。 2-17 已知随机过程 的数学期望 ，求随机过程 的期望？ 2-18 已知平稳过程 的自相关函数 。求：其导数 的自相关函数和方差？ 和 的方差比？ 不含周期分量 补充题：若某个噪声电压 是一个各态历经过程，它的一个样本函数为 ，求该噪声的直流分量、交流平均功率解：直流分量 、交流平均功率 各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均 再利用平稳过程自相关函数的性质 方法二： 2-19 已知随机过程 ，其中 是均值和方差皆为1的随机变量。令随机过程求 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？解： 1求均值，利用 随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换 2.求自相关函数 3. 求互协方差函数 4. 求方差 2-20 已知平稳高斯过程 的自相关函数为 求当 固定时，过程 的四个状态 的协方差矩阵？分析：高斯过程四个状态的 解： 2-21 已知平稳高斯过程 的均值为0，令随机过程 。证明 2-22 已知随机过程 ，其中随机相位 服从 上的均匀分布； 可能为常数，也可能为随机变量，且若 为随机变量时，和随机变量 相互独立。当 具备什么条件时，过程各态历经？分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且 解： A为常数时 为平稳过程A为随机变量时 和随机变量 相互独立 为平稳过程 l 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2p）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求（1）证明X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。（1）（2）3-1 已知平稳过程的功率谱密度为，求：该过程的平均功率？取值在范围内的平均功率？解 3-7如图3.10所示，系统的输入为平稳过程，系统的输出为。证明：输出的功率谱密度为3-9 已知平稳过程和相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为令新的随机过程证明和联合平稳；求的功率谱密度？求和的互谱密度？求和的互相关函数？求和的互相关函数解: 3-11 已知可微平稳过程的自相关函数为，其导数为。求互谱密度和功率谱密度？.平稳过程 维纳辛钦定理 .2-17 已知平稳过程的均方可导，。证明的互相关函数和的自相关函数分别为.傅立叶变换的微分性质3-17 已知平稳过程的物理功率谱密度为，求的功率谱密度和自相关函数？画出的图形。判断过程是白噪声还是色噪声？给出理由 白噪声的定义若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，满足 其中为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)U(t0.5) 它的输入是功率谱密度为 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数白噪声4-5 已知系统的单位冲激响应，其输入平稳信号的自相关函数为，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？ 分析：直流功率直流分量的平方解: 输入平稳 输出的直流分量 输出的直流功率 4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为的白噪声，求：系统的传递函数？输出的均方值？其中 4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为求此稳定系统的单位冲激响应？解：4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为设计一稳定的线性系统，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：4-14 功率谱密度为的白噪声作用于的低通网络上，等效噪声带宽为。若在电阻上的输出平均功率为。求的值？书P162 ，解：对于低通情况或者调用公式 图4.24 习题4-184-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且。判断和分别服从什么分布？给出理由。证明是严平稳过程。求和的互相关函数，的功率谱密度？写出的一维概率密度表达式？判断同一时刻，和是否独立？给出理由。解：是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义），线性系统，系统传递函数，是个低通线性系统（带宽有限）由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，为高斯过程。由4.5节结论1可知，为高斯过程。和服从高斯分布证明是严平稳过程证：是