山东省胶州市第一中学2019届高三数学10月月考试卷理（含解析）.docx

山东省胶州市第一中学2019届高三数学10月月考试卷 理（含解析）一、选择题1.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义，即可得出答案.【详解】复数为纯虚数，所以且，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、纯虚数的定义的应用，其中根据复数的运算法则，准确化简复数是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设全集，集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.设是等差数列的前项和，,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，即可求解公差，再利用前项和公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的的值为_.【答案】25【解析】执行程序框图，第一次循环，；第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，退出循环 ，输出 故答案为.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若 为真命题，则 均为真命题（2）命题“”的否定是“”（3）“ ”是“恒成立”的充分条件（4）在中，“”是“”的必要不充分条件（5）命题“若则”的否命题为：“若则”A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】（1）中，若为真命题，则至少有一个为真命题，因此不正确；（2）中，利用命题的否定的定义，即可判定；（3）中，恒成立，所以，即可求解；（4）中，由正弦定理，即可作出判定；（5）中，利用否命题的定义，即可作出判定.【详解】由题意，（1）中，若为真命题，则至少有一个为真命题，因此不正确；（2）中，命题“”的否定是“”，所以正确；（3）中，恒成立，所以，所以“”是“”恒成立的充分不必要条件，所以正确；（4）在中，由正弦定理可得“”，因此在中，“”的充要条件，所以不正确；（5）命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以不正确，综上可知，正确命题的个数为2个，故选C.【点睛】本题主要考查了简易逻辑的综合应用，其中解答中熟记命题的否定、否命题、充要条件判定方法，复合命题的真假判定等知识点是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.6.将函数的图象向左平移（0)个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，化简函数，由图象的变换得到，由函数为奇函数，得，即可求解.【详解】由题意，函数，将函数的图象向左平移个单位后，可得函数，又由函数为奇函数，则，所以，当时，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再利用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7.已知点在曲线 上， 为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，函数，求得到时，利用基本不等式求得导函数的取值，求得，进而求解直线的倾斜角的取值范围.【详解】由题意，函数，则，且 当且仅当，即时等号成立，即斜率，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的斜率与倾斜角，其中明确导数的几何意义与在某点处的切线的斜率之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8.已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点 对称C. 将函数 的图象向左平移 个单位得到函数的图象D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】D【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图象求出得值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，得出结论.【详解】由函数的图象可得，求得， 由五点法作图可得，求得，所以，当时，不是最值，故A不成立；当时，不是函数的对称中心，故B不成立；将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；当时，因为，故方程在上两个不相等的实数根时，则的取值范围是，所以D成立，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，其中确定三角函数中的参数的方法：（1） 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定，着重考查了推理与运算能力.9.若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. (-4,2) D. (-2,4)【答案】C【解析】【分析】由题意，利用基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得的范围.【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当时，即时取得最小值8，因为恒成立，所以，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，涉及恒成立问题和一元二次不等式的解法，属于中档试题，其中利用基本不等式求得最小值，把不等式的恒成立转化为一元二次不等式问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知函数的导函数的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，结合三角函数值的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】若为锐角三角形，则，即，即，所以，所以，即，所以，由导数的图象可知时，即在上单调递减，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中根据函数的单调性和三角函数值的大小关系是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.11.已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意，根据数列数列满足，得，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，求得，又由恒成立，转化为对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当时，求得最大值，此时最大值为，即可求解.【详解】由题意，数列满足，则当时，两式相减可得，所以，又由，所以，即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，又由，即，即，即对任意的正整数恒成立，即对任意的正整数恒成立，设，则，所以，当时，求得最大值，此时最大值为，所以，即，所以的最大整数为4，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的通项公式，把不等式的恒成立问题转化为对任意的正整数恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.在锐角三角形ABC中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理的边角互化，求得，再由等比数列的性质和两角和的正切函数，利用基本不等式求得，进而可求得结果，得到答案.【详解】在锐角中，由，根据正弦定理可得，即，即，所以构成等比数列，设公比为，则，又由，所以，当时取得等号，所以，所以，又由锐角三角形，所以，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，等比数列的性质的应用，以及基本不等式求最值问题的应用，试题综合性比较强，属于中档试题，解答中利用正弦定理和等比数列的性质，借助不等式求最值是解答的关键和突破口，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题13.已知为第二象限角，若，则_【答案】【解析】【分析】由题意得，求得，又由为第二象限角，求得，再由诱导公式，即可求解.【详解】由题意，可知，即，解得，又由为第二象限角，所以，又由.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.已知实数满足约束条件 ，则 的最小值为_ 【答案】2【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，设，则，结合图象，把直线平移到点A时，目标函数取得最大值，求得最值，进而求得答案.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设，则，结合图象，把直线平移到点A时，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值，此时函数的最小值为.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件对应的平面区域，先求解出目标函数的最大值，进而求解得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力.15.已知函数满足，且当时，则方程在上的所有根之和为_【答案】11【解析】【分析】由题意，得到函数的对称性和周期性，再把方程在上的零点个数，转化为函数和在上图象的交点的个数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，即可求解.【详解】由题意，函数满足，可得函数的图象关于对称，又由，可的函数是以2为周期的周期函数，又由方程在上的零点个数，即为函数和在上图象的交点的个数，又由当时，在同一坐标系内，作出两个函数在的图象，如图所示，结合图象可知，两个函数共有11个交点，即方程在上有11个零点 ，此时，所以.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用问题，其中解答中得到函数的基本性质，把方程的根的个数转化为函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合的图象交点个数求解是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档试题.16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间 上的“中间函数”已知函数 ， ，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意 在上恒成立，当时，函数的图象是一条线段，解得，又由，即在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】根据题意，可得在上恒成立，当时，函数的图象是一条线段，于是，解得，又由，即在上恒成立，令，则，且，又由，于是函数为增函数，从而，即，即函数在为单调增函数，所以函数的最小值为，即，所以，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值，创立新函数，利用导数求解函数的单调性与最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17.已知三角形ABC，点在BC边上，且 （1）若，求AB（2）求三角形ABC的周长的取值范围【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由题意，在中，利用余弦定理求解，再由正弦定理，即可求解；（2）利用正弦定理，进而转化为，进而求得三角形的边长的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）中，,点D在BC边上，且 ,则所以在中，由正弦定理得（2）利用正弦定理得：，所以： ，由于： ，则： ，由于： ，则：，得到： ，所以的周长的范围是：.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理求解三角形问题，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中利用正、余弦定理把三角形的周长转化为的函数，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）. .（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：(1)连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求 ， ，可得 ，利用勾股定理即可得解 的值 (2)设 ，由正弦定理，可得 ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围3，利用正弦函数的性质可求面积的最大值，从而得解试题解析：（1）如图，连接，在中，由余弦定理得：，.，又，.在中，所以.（2）设，.在中，由正弦定理，得，.，.当，即时，取得最大值为，即生活区面积的最大值为.注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解.19.在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和【答案】（I）()（II）= 【解析】试题分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得=考点：数列的通项公式和求和的运用点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位相减法求和。20.已知函数（,是自然对数的底数）.（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.【答案】（）（）【解析】试题分析: （）先将单调性转化为不等式恒成立：当时，函数恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：的最小值，最后根据导数求函数最值，（）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.试题解析: （），依题意：当时，函数恒成立，即恒成立，记，则 ，所以在上单调递增，所以，所以，即；（）因为，所以是上的增函数，又， ，所以存在使得且当时，当时，所以的取值范围是又当，当时，所以当时，且有记，则 ，所以，即最小值的取值范围是21.已知函数，对任意的，满足，其中为常数(1)若的图象在处的切线经过点(0，5)，求的值；(2)已知，求证：(3)当存在三个不同的零点时，求的取值范围【答案】(1) .（2）见解析（3）.【解析】【分析】(1)由题意，求得，依题意，当时，函数恒成立，即恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；(2)利用导数，求得函数的单调性与函数的最值，借助函数的最值，即可得到不等式的证明.（3）因为，所以是上的增函数，存在使得，进而求得函数的最小值，则，记， 利用函数的最值，即可求解.【详解】(1)在中，取x1，得f(1)0，又,所以.从而，,，又，所以.（2）证明：令，则所以，时，单调递减，故时，所以时，(3)当时，在(0，)上，递增，所以，至多有一个零点，不合题意；当时，在(0，)上，递减，所以，也至多有一个零点，不合题意；当时，令，解得此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点因为在上递增，所以.又因为，所以，使得又，所以恰有三个不同的零点：.综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.选修44：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程是(是参数，是常数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点M的极坐标为，且点在曲线C上(1)求的值及曲线C的直角坐标方程；