求解排列组合问题的一些方法与策略.doc

求解排列、组合问题的一些方法与策略排列、组合问题历来是学生学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。我们只有对基本的解题策略熟练掌握，根据它们的条件，选取不同的技巧来解决。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，或将复杂的问题转化为熟悉的问题来灵活处理，并举一反三，触类旁通。本文所谈的策略只供参考，切忌将所有的题目都对号入座。一、特殊元素和特殊位置优先考虑的策略对于含有限定条件的排列组合应用题，一般优先考虑安排特殊元素或者特殊位置，然后再考虑其它元素或者其它位置。1、用0，2，3，4，5，这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？分析：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排。按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：（1）当0排在末尾时有个；（2）当0不排在末尾时三位偶数有个。根据分类加法计数原理，共有偶数+=30个。2、（05年福建卷）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种 C. 144种 D. 96种解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B）。3、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，求有多少种不同的排法？ 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有种。4、（2006年全国卷I）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_2400_种。（用数字作答）解析：先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法，再接下来5名工作人员任意排，有种排法。所以不同的安排办法共有种。说明：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。二、排列组合混合问题先选后排策略 对于排列组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。5、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，求恰好有一个空盒的放法有多少种？分析：这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分为两步进行：第一步先选，从4个球中任意选两个球，有种选法，从4个盒子中选出3个有种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有种排法。所以满足条件的放法共有=144种。6、（2009广东卷）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，求有多少种不同的选派方案？ 【解析】分两类：若小张或小赵中有一人入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. 三、分类相加与分步相乘策略加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”，可以与物理中电路的串联和并联类比，解题中根据题目需要灵活而巧妙地分类或分步7、(2012高考浙江)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种 B.63种 C.65种 D.66种【答案】D【解析】从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即种方法；第三类是取四个奇数，即故有5+60+1=66种方法。故选D。8、（05年浙江卷）从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同排法有多少种?解析：（1）每排中只有数字0的排法有；（2）每排中只有字母P或Q的排法都有；（3）每排中无数字0，字母P、Q的排法有。所以不同的排法种数共有：（个）9、从集合1，2，3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数，而每个数的取法有2种，所以子集的个数为22222=25=32点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解 例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 答案：C24=80个10、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，从图形看必有2部分同颜色的花，从同颜色的花入手分类求（1）与同色，则也同色或者也同色，所以共有N1=43221=48种；（2）与同色，则或同色，所以共有N2=43221=48种；（3）与且与同色，则共有N3=4321=24种所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A5=12011、（2009全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，求选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有多少种？解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法； (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.12、在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌，2人伴舞的节目，有多少选派方法？13、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_ 说明：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，或按事件发生的连续过程分步，“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”之间相依且连续，要做到标准明确，层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终。四、正难则反总体淘汰策略对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法14、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故可组成不同的三位数-=432（个）15、（05年全国卷）由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个？解析：用排除法解决：（1）总的四位数有；（2）个位数字为0的四位数有；（3）个位数字为5的四位数有。所以符合条件的四位数共有：（个）另解：直接求有（想一想，为什么？）16、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，问不同的取法有多少种？五、实际操作问题穷举策略一些较实际、较复杂、不易用公式而数目较小的排列组合问题，可以尝试穷举的策略，常通过画表格、树形图 、框图等手段使问题直观化，往往得到可信度较高的答案。17、(2012高考四川)方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A、60条 B、62条 C、71条 D、80条【答案】B【解析】本题可用排除法，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又和时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.18、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为x、y且xy，则 xy11，x+y11，x、yN*当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，10，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；当x=11时，y=11所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36点评：本题关键是列出约束条件，然后寻找x=1，2，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解19、排成一行，其中不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树形图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种20、（05年贵州）设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法有多少种？解析：青蛙从A点开始，往相邻两个顶点B和F跳到D点的次数是相同的，又青蛙第一次往B方向跳的跳法可用“树形图”表示如下：由图知有13种跳法，所以共有跳法213=26（种）。评注：此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观。有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化。21、9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（三锋两卫，且锋分左、中、右，卫分左、右）组队出场，有多少种不同的组队方法？分析：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2 人。列表如下：人数6人只会锋2人只会卫1人即锋又卫结果不同选法32311（卫）221（锋）由表知，共有种方法。说明：对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法，或画出树状图，往往会收到意想不到的结果。六、相邻元素“捆绑”策略对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个“大”元素，与其他元素排列，然后再对“大”元素内部进行排列。22、5名学生与3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有_种.分析：将3名老师“捆绑”起来看成一个元素，与5名学生排列，有种排法，而3名老师之间又有种排法，故满足条件的排法共有=4320种。23、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生“捆绑”在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：=57624、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析： 先将其余四人排好有种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有种方法，这样共有种不同排法。25、(2012高考辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )(A)33！ (B) 3(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为，答案为C 说明：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用形象说法“捆绑”策略来解决，即将需要相邻的元素合并作一个整体与其它元素一起排列，同时要注意被合并的元素内部也必须排列。七、不相邻问题插空策略对于某几个元素不相邻的排列问题，可以先将其他元素排好，然后再将所指定不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，俗称插空法26、7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，求有多少种不同的排法？分析：先让甲乙之外的5人排成一行，有种排法，再让甲乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入，有种方法，故共有=3600种排法。27、（05年辽宁卷）用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？解析：此题是捆绑法和插空法的综合应用问题。把相邻的两个数捆成一捆，有种排法，再将7与8插进四个空隙中有种插法，而相邻的三捆内部都有种排法，故这样的八位数共有：（个）说明：元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端。八、定序问题消序处理，也可转化为占位插空模型处理对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，再消除它们内部的排列数。28、用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）（2）29、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定的排法共有多少种？30、10人身高各不相等，排成前、后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少不同的排法？31、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_.32、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A504B210C336D120解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法插法种数为789=504或AA=504 答案：A33、（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。解：由题意，九、元素相同问题隔板策略34、某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共有多少种？分析：构造一个隔板模型。如图，取12枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的11个 O|O|OOO|O|OO|O|OO|O间隔中选取7个插入隔板，将12枚棋子分隔成8个区间，第i个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额（图示中表示8个班分配的名额分别位1、1、3、1、2、1、2、1个），因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，故名额分配方案有=330种。35、求不定方程a+b+c+d=12有多少组不同的正整数解？分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有组。又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数？经过转化后都可用此法解。36、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？37、10个相同的球装5个盒中，每盒至少一个的装法有多少种？38、求方程x+y+z+w=100的自然数解的组数。39、将20个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，问有多少种不同的放法？40、十堰市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（B ）A36 B42 C48 D54说明：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以模拟成m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为十、平均分组问题除法策略41、6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种方法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆。解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。（1）属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有种取法，最后余下的3本作为一堆有种取法，故共有分法：（种）（2）属一般的分配问题，先在6本书中任取一本，分给甲有种取法，再从余下的5本书中任取2本分给乙，有种取法，最后余下的3本给丙，故共有分法（种）（3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故共有分法（种）。（4）属均匀定向分配问题，3个人一个一个地来取书，甲取有种，乙再去取有种，最后余下的归丙有种，故共有（种）（5）属均匀分组问题，把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三，每人2本的区别在于后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后再把分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此设把6本不同的书平均分成三堆的方法有x种，由（4）知把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种。所以，则x=15（种）42、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种43、（2009重庆卷）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），求3个强队恰好被分在同一组的概率。解析：将12个队平均分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为44、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，共有多少分法？45、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？46、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组各3人，但正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法 说明：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数。十一、分配问题先分组再安排策略47、（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，求有多少种不同的分配方案？【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有，所以满足条件的分配方案有48、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_ 49、（2013年重庆）从名骨科.名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是_(用数字作答)【答案】 十二、化归与转化，构造模型策略对某些排列组合问题，将其等价转化为简单的问题来处理。 50、如图，某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种？ 解：无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）51、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解：根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）52、马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中的三盏路灯关闭，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有多少种？分析：正面考虑要分类讨论，情况较复杂。换一个角度，从结论入手考虑。因每一种关灯方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为“在6盏亮灯中插入3盏暗灯，且任何两盏暗灯不相邻、且暗灯不在两端”，即就是在6盏亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3盏暗灯，其方法有种。53、（2006年全国卷I）设集合，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，求不同的选择方法共有多少种？解析：显然，设，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个（当然，也不多于5个）。另一方面，对I的任何一个k（）元子集C，我们可以将C中元素从小到大排列。排好后，相邻数据间共有k1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A，隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定符合条件，且集合对A，B无重复。综合以上分析，所求为：54、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左、右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？说明：一些不易理解的排列组合题，可以把问题退化成一个简要的问题，如转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观解决。十三、转化问题叙述形式，运用集合语言的策略有时解决排列组合问题时，如果从集合角度来看问题，叙述成集合语言形式，常常可以使问题更加简洁、严密、具有普遍性。55、6名运动员参加接力赛，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少种安排方法？解析：记A：甲跑第一棒，B：乙跑第四棒。所求就是6人参加中，既不满足A也不满足B的安排方法。对应解法： =。即安排方法数为。也可以这样解答：记A为甲不跑第一棒，B跑第四棒，即。可见，同样是运用集合语言，解决方法也不尽相同。十四、邮筒问题求幂策略56、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分配方法？57、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，则下电梯的方法_.说明：将n封信投入到m个邮筒中，有mn种投放方法。这类允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。十五、环排问题线排策略58、5个人手拉手占成一圈，共有多少种站法?59、6颗颜色不同的钻石，可穿成多少种钻石圈？说明：一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法。十六、多排问题直排策略把n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。60、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有=5040种。61、两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8名学生每人坐一个座位，求不同的坐法有多少种？分析：因8名学生可在前后两排的8个座位中随意就座，再无其他条件，所以两排座位可以看作一排来处理，其不同的坐法种数是=40320 62、（04年辽宁卷）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的排法有多少种？解析：在排列问题中，站若干排与站一排一样，故一共可坐的位子有20个，2个人就座方法数为，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B与二排首位C相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括B、C相邻与E、F（前排中间3座的左E、右F）相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上。所以不同排法的种数为： 63、8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丁在后排，共有多少排法？说明：一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。十七、分解与合成策略64、72的正约数（包括1和72）共有多少个？解析：72=23322m3n（0m3，0n2，m，nN）都是72的正约数m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共34=12个65、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？解：（1）N=2160=24335，2160的正因数为P=，其中=0，1，2，3，4，=0，1，2，3， =0，12160的正因数共有542=40个（2）式子（20+21+22+23+24）（30+31+32+33）（50+51）的展开式就是40个正因数正因数之和为31406=744066、（2013年上海市春季高考）2000的所有正约数之和为_【答案】4836 67、问30030能被多少个不同的偶数整除？说明：分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。十八、几何问题68、圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）69、四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）70、四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29) (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有11471、取正方体的8个顶点中的4个可以构成多少个三棱锥？本题在解决时，由于正面情况不共面的四点组比较复杂，因此容易产生重复或者遗漏。然而，从反面考虑，即共面的四点组则比较少。即：。72、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？如果真的直接考虑直线有几条？再考虑异面直线有几对？问题就会