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文档简介

课题:柯西不等式 江苏通州高级中学 薛国钧教学目标：1、知识与技能：使学生掌握柯西不等式及其应用，了解柯西不等式的证明过程，培养推理能力。2、过程与方法：探索柯西不等式的证明过程，体会构造法证明不等式的方法及特殊到一般的方法。3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.教学重点：柯西不等式的应用教学过程：一、问题情景： 问题1. 证明不等式： 问题2. 证明不等式： 证明： 问题3.你能推广到一般结论吗？二、建构数学 柯西不等式：对于实数有下面不等式 或 （当且仅当取等号若 柯西不等式明显成立若至少有一个构造二次函数-2( + = 当且仅当 推论1：，推论2： 个实数平方均数大于等于算术平均数推论3：中令 则有 三、数学应用例1：已知 求证：证明： 柯西不等式 所以 所以例2：设求的最小值.解： 当且仅当取等号 时有最小值问题4.设是正实数，求在条件的最小值。问题5.实数。求的最大值 答：问题4 ： 取等号的条件 问题5：方法一： 当，有最大值 方法二： 令 例3：.若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围（2009江苏数学竞赛）解：由Cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()对一切正实数x，y成立当k时，取x，y1，有，而kk即不等式不能恒成立而当k时，由于对一切正实数x，y，都有k，故不等式恒成立 k，)问题6：有其他方法吗？例4.设都是正数,且求证:分析: 解 : 根据柯西不等式 =1 四、数学巩固:练习 1. 实数满足求的最小值。分析： 所以最小值是练习2实数满足 求证：分析：利用：= （i=1,2,3n） 练习3. 若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围（2009江苏）解法一：显然k0()2k2(2xy)(2k21)x2(k21)y0对于x，y0恒成立令t0，则得f(t)(2k21)t22t(k21)0对一切t0恒成立当2k210时，不等式不能恒成立，故2k210此时当t时，f(t)取得最小值k21当2k210且2k230，即k时，不等式恒成立，且当x4y0时等号成立 k，)解法二：显然k0，故k2令t0，则k2(1)令u4t11，则t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k时，不等式恒成立(当x4y0时等号成立)又：令s(t)，则s(t)，t0时有驻点t且在0t时，s(t)0，在t时，s(t)0，即s(t)在t时
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