建模与仿真

建模(Modeling) 系统分析的对象是复杂环境下的大而复杂的系统，为了对复杂系统进行深入的分析研究并得到直观而有说服力的结果，需要利用模型, 即建立系统的模型。模型的定义 由反映系统的本质或特征的各种要素按一定规则组成的、用来描述系统结构和行为的数学方程、图形或实物，它是用来表述、实现和检验理论思维成果的主要工具。建模的必要性 由于系统和环境的复杂性，无论从经济性还是有效性来考虑，都很难甚至不可能以实际系统进行试验。而模型作为现实系统的简化、抽象或模拟，是系统涉及的大量因素中的主要因素的映像，它能反映这些主要因素之间的逻辑关系，所以必须利用模型以便有效地对系统进行分析、评价、模拟、改进、完善。 模型的作用：利用模型可以对拟建系统或已有系统的未来进行预测； 确定和测量系统所涉及的因素、各种变量间的关系； 对假设进行检验；指导数据的收集和整理； 促进人们进行创造性的实验、观察和选择； 作为学习的工具，减少决策的风险和损失。 模型的种类：物理模型和数学模型 物理模型：根据相似原理，把实际系统按比例缩小或放大造成的模型。其状态变量和原系统完全相同。如：土木建筑、水利工程、船舶、飞机制造等。 数学模型：用数学方程来描述系统性能的模型。是仿真的基础 仿真（Simulation） 在模型上进行试验的过程，即程序的运行。通过对模型的实验以达到研究系统的目的。 仿真的分类 物理仿真 即实物仿真, 如风洞 计算机仿真(数学仿真): 模拟 数字 混合 半实物仿真：控制器(实物)+计算机上实现的控制对象系统仿真：用一个人造的系统（称为仿真系统）去模仿一个真实或设想的系统行为，以对其进行研究。仿真技术：是以相似原理、信息技术、系统技术及其应用领域有关的专业技术为基础，以计算机和各种物理效应设备为工具，利用系统模型对实际的或设想的系统进行试验研究的一门综合性技术。 一、系统（数学）建模方法 1) 机理分析建模方法（白箱）：依据基本的物理、化学等定律，进行机理分析，确定模型结构、参数；使用该方法的前提是对系统的运行机理完全清楚。 2) 实验统计建模方法：基于实验数据的建模方法（白箱、灰箱、黑箱） 3) 复合建模方法（机理+数据方法）：机理确定模型结构、数据确定模型参数。 1、机理分析建模方法 又称为直接分析法或解析法，应用最广泛的一种建模方法。 一般是在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量之间的关系和规律，而获得解析型数学模型。其实质是应用自然科学和社会科学中被证明是正确的理论、原理和定律或推论，对被研究系统的有关要素（变量）进行理论分析、演绎归纳，从而构造出该系统的数学模型。建模步骤如下： 1) 分析系统功能、原理，对系统做出与建模目标相关的描述； 2) 找出系统的输入变量和输出变量； 3) 按照系统（部件、元件）遵循的物化（或生态、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数等； 4) 消除中间变量，得到初步数学模型； 5) 进行模型标准化； 6) 进行验模（必要时需要修改模型）。 2、系统辨识建模方法1962 年，Zadeh给出系统辨识的定义： 就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。 明确了辨识的三要素： 输入输出数据：辨识的基础； 模型类：寻找模型的范围； 等价准则：辨识的优化目标。 系统辨识原理图一般步骤： 1) 明确建模目的和验前知识：目的不同，对模型的精度和形式要求不同；事先对系统的了解程度。 2) 实验设计：变量的选择，输入信号的形式、大小，正常运行信号还是附加试验信号，数据采样速率，辨识允许的时间及确定量测仪器等。 3) 确定模型结构：选择一种适当的模型结构。 4) 参数估计：在模型结构已知的情况下，用实验方法确定对系统特性用影响的参数数值。 5) 模型校验：验证模型的有效性。 系统辨识步骤3、 神经网络建模方法神经网络建模原理 ： 与系统辨识的思路相同，都是从数据来建立模型，但他们使用不同的数学方法。 神经网络是基于生物神经元的模型，神经元是大脑基本的认知单元。可以用于非线性系统和未知物理模型的系统建模。 复杂非线性系统建模时，可以考虑神经网络方法。 但需要大量有效的输入输出样本来训练网络。 前馈型BP网络：误差逆传播神经网络，能实现映射变换，最常用、研究最多、认识最清楚。 LA LB LC输入层 中间层 输出层是一个典型前馈型层次网络，分为输入层LA、隐蔽层 LB、输出层LC。同层间无关联，异层神经元之间前相连接。 LA层：m个节点，对应于可感知的 m个输入； LB层：u 个节点，可根据需要设置； LC层：n 个节点，与 n 中输出相应项对应。 LA层节点ai到LB层节点br之间的联接权为Wir； LB层节点br到LC层节点cj之间的联接权为 Vrj； Tr 为LB层节点的阈值，j为 LC 层节点的阈值； LB层节点的输出函数为： LC层节点的输出函数为：为s型函数，即4、 表格插值建模方法 表格插值建模原理：由于这种方法不允许直接实现动态方程，称之为静态建模技术。但表格插值功能常用于建立系统动态方程。一般用于如下形式： 可以是仿真中的任意变量，如时间、状态变量或常数等，输入个数可以使任意的，但实际应用中一般小于5，输入量的增加，求解计算时间会增加。 一个有 N 个输入的插值函数可以用 N 维查找表来计算，每一个变量的跨度为一个一维查找表。插值点的跨度可以是等间距的，也可以是任意的间隔。0.000.200.400.801.000.001.201.401.802.102.600.101.301.451.902.222.650.201.501.602.152.302.690.301.701.802.012.342.730.401.982.232.282.462.86 插值计算有多种方法，不同的方法再插值计算复杂度和插值函数平滑方面有所不同，一般有两种方法可以满足大多数情况下的需要： 线性插值法 三次样条插值法 1) 线性插值法建模 可以在图上直线连接相邻插值点来进行一维线性插值，如下图。 插值函数是连续的，但其插值点上的微分是不连续的。 注：要先确定插值点L,L+1。 常采用二分法，可以大大节省搜索时间。 如果输入值 x 在计算范围的小范围内变化，可以先检查输入值是否在上一次计算的插值间隔内，这样就可以简化步骤，省去二分法； 也可以检查前一个插值点间隔、其相邻的插值点间隔（如果必要），有时可省去使用二分法，但第一个插值点的计算除外； 该方法的有效性依赖于输入变量的缓变性，这样两次函数计算之间不会发生快速跳变。条件不成立时，由于附加检查先于二分法，计算过程变慢。2） 三次样条插值法建模 可以得到平滑的插值函数。 三次样条插值是运用三阶多项式