2011年考研数学三真题及答案.docx

2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 已知当x0时，fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=-4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=-4【答案】C。【解析】【方法一】limx03sinx-sin3xcxk=limx03cosx-3cos3xckxk-1 (洛必达法则)=3limx0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2 (洛必达法则)=1c(limx0-sinx2x+limx03sin3x2x) (k=3)=1c-12+92=1 由此得c=4。【方法二】由泰勒公式知sinx=x-x33!+o(x3)sin3x=3x-3x33!+ o(x3)则fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+ o(x3) =4x3+ ox34x3 (x0)故k=3,c=4。【方法三】limx03sinx-sin3xcxk=limx03sinx-3x+3x-sin3xcxk=1climx03sinx-xxk+limx03x-sin3xxk=1climx03(-16x3)xk+limx016(3x)3xk =1c-12+92 (k=3)=82c=1 故c=4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达(LHospital)法则(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f0=0,则limx0x2fx-2f(x3)x3=(A)-2f(0) (B)-f(0)(C) f(0) (D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3=limx0fx-f0x-2fx3-f(0)x3=f0-2f0=-f(0)【方法二】拆项用导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0fxx-2limx0fx3x3由于f0=0，由导数定义知limx0fxx=f0, limx0fx3x3=f(0)所以limx0x2fx-2f(x3)x3=f0-2f0=-f(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数fx=x,则limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x3-2x3x3=-1而对于fx=x.f0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则fx=f0+f0x+ox=f0x+o(x)fx3=f0x3+o(x3)limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2f0x+o(x)-2f0x3+o(x3)x3 =f0-2f0=-f(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3) 设un是数列，则下列命题正确的是(A) 若n=1un收敛，则n=1(u2n-1+u2n)收敛。(B) 若n=1(u2n-1+u2n)收敛，则n=1un收敛。(C) 若n=1un收敛，则n=1(u2n-1-u2n)收敛。(D) 若n=1(u2n-1-u2n)收敛，则n=1un收敛。【答案】A。【解析】若n=1un收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学无穷级数级数的基本性质与收敛的必要条件(4) 设I=04lnsinxdx,J=04lncotxdx,K=04lncosxdx,则I,J,K的大小关系为(A) IJK (B) IKJ(C) JIK (D)KJI【答案】B。【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当0x4时，0sinxcosx1cotx又因为lnx为(0,+)上的单调增函数，所以lnsinxlncosxlncotx , 0x4故04lnsinxdx04lncosxdx04lncotxdx即IK0)的泊松分布，X1,X2,Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量T1=1ni=1nXi和T2=1n-1i=1n-1Xi+1nXn,有(A)ET1ET2,DT1DT2 (B)ET1ET2,DT1DT2(C)ET1DT2 (D) ET1ET2,DT1DT2【答案】D。【解析】XP(),所以，EX=,DX=, X1,X2,Xn相互独立均服从P()可求得ET1=EX=, DT1=DX=n而ET2= +n，DT2=n-1+n2所以ET1ET2,DT1DT2综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 设fx=limt0x(1+3t)xt,则fx= 。【答案】e3x(1+3x)。【解析】fx=limt0x1+3t13t3x=xe3xfx=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)综上所述，本题正确答案是e3x1+3x。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的四则运算(10) 设函数z=(1+xy)xy,则dz(1,1)= 。【答案】2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【解析】由z=(1+xy)xy，可得zx=exyln(1+xy)1yln1+xy+xy2+11+xy=(1+xy)xy1yln1+xy+xy1x+yzy=exyln(1+xy)-xy2ln1+xy-xy11+xyxy2 =-1+xyxyxy2ln1+xy+xx+y所以dz(1,1)=zx(1,1)dx+zy(1,1)dy=2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy综上所述，本题正确答案是2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算(11) 曲线tan(x+y+4)=ey在点(0,0)处的切线方程为 。【答案】y=-2x。【解析】方程tan(x+y+4)=ey 两端对x求导得sec2x+y+41+y=eyy将x=0,y=0代入上式，y=-2故所求切线方程为y=-2x【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12) 曲线y=x2-1,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 。【答案】43【解析】由旋转体公式得V=12y2dx=12x2-1dx=(13x3-x)12=43综上所述，本题正确答案是43。【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用(13) 设二次型fx1,x2,x3=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为 。【答案】3y12【解析】A的各行元素之和为3，即a11+a12+a13=3a21+a22+a23=3a31+a32+a33=3a11a12a13a21a22a23a31a32a33111=333A111=3111所以=3是A的一个特征值。再由二次型xTAx的秩为1rA=1 =0是A的2重特征值。因此正交变换下标准形为3y12综上所述，本题正确答案是3y12。【考点】线性代数二次型二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(,2;,2;0)，则EXY2= 。【答案】2+3。【解析】(X,Y)服从正态分布N(,2;,2;0)所以X与Y相互独立，且EX=EY=, DX=DY=2EXY2=EXEY2= DX+EY2=(2+2)= 2+3综上所述，本题正确答案是2+3。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 求极限limx01+2sinx-x-1xln(1+x).【解析】【方法一】limx01+2sinx-x-1xln(1+x)=limx01+2sinx-x-1x2 (等价无穷小代换) =limx0cosx1+2sinx-12x (洛必达法则) =12limx0cosx-1+2sinxx (极限为非零常数的因子极限先求) =12limx0-sinx-cosx1+2sinx1 (洛必达法则) =-12 【方法二】limx01+2sinx-x-1xln(1+x)=limx01+2sinx-x-1x2 (等价无穷小代换) =limx01+2sinx-(x+1)22x2 (分子有理化) =12limx02sinx-x2-2x2x2=-12+limx0sinx-xx2 =-12【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算(16) 已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，f1,1=2是f(u,v)的极值，z=f(x+y,f(x,y).求2zxyx=1y=1.【解析】由链导法则，zx=zu+zv+vx，其中u=x+y,v=f(x,y).所以2zxy=zuu+zuvvy+zuu+zuvvyvx+zvvxy由于f1,1=2是f(u,v)的极值，则vx1,1=fx1,1=0, vy1,1=fy1,1=0,令x=y=1，得2zxyx=1y=1=zuu2,2+zv2,2vxy1,1 =fuu2,2+fv2,2fuv1,1【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值(17) 求不定积分arcsinx+lnxxdx.【解析】【方法一】令x=t，则x=t2,dx=2tdtarcsinx+lnxxdx=2(arcsint+2lnt)dt =2tarcsint+2lnt-2(t1-t2+2)dt =2tarcsint+2lnt+d(1-t2)1-t2-4t =2tarcsint+2lnt+21-t2-4t+C =2xarcsinx+lnx+21-x-4x+C【方法二】arcsinx+lnxxdx=2(arcsinx+lnx)dx =2xarcsinx+lnx-2(121-x+1x)dx =2xarcsinx+lnx+21-x-4x+C【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18) 证明4arctanx-x+43-3=0恰有两个实根。【解析】令fx=4arctanx-x+43-3，本题也就是要证明f(x)恰有两个零点fx=41+x2-1=3-x21+x2令fx=0得x=3，则当x(-,-3)时，fx0,f(x)单调增；当x(3,+)时，fx0limx+f(x)=limx+4arctanx-x+43-3=- 则x=-3为f(x)的一个零点，在(3,+)内f(x)还有一个零点故4arctanx-x+43-3=0恰有两个实根。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，函数单调性的判别(19) 设函数f(x)在0,1上有连续导数，f0=1且Dt fx+ydxdy=Dt f(t)dxdy,其中Dt=(x,y)|0yt-x,0xt(0t1).求f(x)的表达式。【解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算Dt fx+ydxdy=0t(0t-xf(x+y)dy)dx= =0t(0t-xf(x+y)d(x+y)dx =0tf(x+y)y=0t-xdx=0tft-f(x)dx =tft-0tf(x)dx等式右边的二重积分化为二次积分Dt f(t)dxdy=f(t)Dt 1dxdy可知Dt 1dxdy为区域Dt的面积，区域易得为三角形，面积为12t2所以Dt f(t)dxdy=f(t) 12t2所以tft-0tfxdx=12t2f(t)两边对t求导得 2-tft=2f(t)解得 ft=C(2-t)2，由f0=1得 C=4所以ft=4(2-t)2，(0x1)【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义高等数学常微分方程和差分方程齐次微分方程，一阶线性微分方程(20) 设向量组1=(1,0,1)T，2=(0,1,1)T，3=(1,3,5)T不能由向量组1=(1,1,1)T，2=(1,2,3)T，3=(3,4,a)T线性表示(I) 求a的值；(II) 将1,2,3用1,2,3线性表示。【解析】(I) 因为1,2,3=101013115=10，所以1,2,3线性无关。那么1,2,3不能由1,2,3线性表示1,2,3线性相关，即1,2,3=11312413a=11301102a-3=a-5=0所以a=5(II) 如果方程组x11+x22+x33=j (j=1,2,3)都有解，即1,2,3可由1,2,3线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解对(1,2,31,2,3)做初等行变换，有101013115 113124135101013014 113124022101013001 113124-102100010001 2154210-10-2所以1=21+42-3，2=1+223=51+102-23【考点】线性代数向量向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关(21) 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A1100-11=-110011(I) 求A的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵A【解析】(I) 因rA=2知A=0，所以=0是A的特征值又A10-1=-101=-10-1，A101=101所以按定义，=1是A的特征值，1=(1,0,1)T是A属于=1的特征向量；=-1是A的特征值，2=(1,0,-1)T是A属于=-1的特征向量。3=(x1,x2,x3)T是A属于=0的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此1T3=x1+x3=02T3=x1-x3=0 解出3=(0,1,0)T故矩阵A的特征值为1,-1,0；特征向量依次为k1(1,0,1)T, k2(1,0,-1)T, k3(0,1,0)T,其中k1,k2,k3均是不为0的任意常数。(II) 由A1,2,3=(1,-2,0)，有A=1,-2,01,2,3-1=1-100001101100011-10-1=001000100【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵(22) 设随机变量X,Y的概率分布分别为X01P1323Y-101P131313且PX2=Y2=1(I) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II) 求Z=XY的概率分布；(III) 求X,Y的相关系数XY。【解析】(I) 由PX2=Y2=1得PX