2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时椭圆的几何性质学案苏教版.docx

第1课时椭圆的几何性质学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c(c)F1F22c(c)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案如图所示，在RtBF2O中，cosBF2O，记e，则0eb0)的短轴长等于b.()类型一由椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆y21的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并利用对称性画出这个椭圆.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解由方程知a4，b1，所以长轴长2a8，短轴长2b2，c.离心率e，焦点坐标为(，0)，(，0).顶点坐标为(4,0)，(0，1).画图：先作出直线x4，y1围成的矩形框，然后在第一象限描点，.画出第一象限部分的图象，最后利用对称性作出二、三、四象限的图象.反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解将椭圆方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c.椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e.又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1(，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3).类型二求椭圆的离心率例2椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N.NF2c，NF1c，则由椭圆的定义可知，NF1NF22a，cc2a，e1.方法二注意到在焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290.则由离心率的公式和正弦定理，得e1.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e求解.跟踪训练2设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案解析如图，设直线x交x轴于D点.因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有F1F2F2P.因为PF1F230，所以PF2D60，DPF230.所以DF2F2PF1F2，即c2c2c，即，所以椭圆的离心率为e.例3(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案解析直线AB：xc，代入1，得y，A，B.直线BF1：y0(xc)，令x0，则y，D.kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为_.考点椭圆的几何性质题点求离心率的范围答案解析椭圆方程为1(ab0)，byb.由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0eb0)，由椭圆的对称性知，B1FB2F.又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，OB2OF，即bc.又FA，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论.跟踪训练4根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0).由题意得解得椭圆方程为1.同理可得当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求椭圆方程为1.1.椭圆1的上顶点与右顶点之间的距离为_.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案解析上顶点坐标为(0,5)，右顶点坐标为(4,0)，故它们的距离为.2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为_.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案1或1考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解析由题意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，则此椭圆的标准方程为1或1.3.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，).4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围为_.考点椭圆的几何性质题点椭圆范围的简单应用答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的取值范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42.5.过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案解析PF1PF22a，又F1PF260，PF1PF2，PF22aPF2a，PF1a.在RtPF1F2中，PFF1FPF，2(2c)22，解得e.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.一、填空题1.椭圆25x29y2225的短轴长是_.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案6解析椭圆25x29y2225，即为1.则椭圆的焦点在y轴上，且b3，所以椭圆的短轴长为2b6.2.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案解析根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)，所以a5，c4，故e.3.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围为_.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质答案(2,4解析e，0，得1a2，2b0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的离心率答案解析ABC90，BC2AB2AC2，c2b2a2b2(ac)2.又b2a2c2，e2e10.0e0)，则BCx，AC2AB2BC22ABBCcosBx2x22x2x2，ACx.由条件知，ACBC2a，AB2c，xx2a，x2c，e.8.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.考点椭圆的几何性质题点椭圆范围的简单应用答案6解析由椭圆方程，得F(1,0).设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03x03(x02)22.2x02，当x02时，取得最大值6.9.若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为_.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案1解析x1是圆x2y21的一条切线.椭圆的右焦点为(1,0)，即c1.设P，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2).b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.10.从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率答案解析左焦点为F1(c,0)，PF1x轴，当xc时，1，即yb2，解得yP(负值不合题意，已舍去)，点P，由斜率公式得kAB，kOP.ABOP，kABkOP，即，得bc.a2b2c22c2，解得e.二、解答题11.已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标.考点椭圆的几何性质题点通过所给条件研究椭圆的几何性质解将椭圆方程化为1，由m0，可知m.所以a2m，b2，c.由e，得，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，.12.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率解设椭圆的方程为1(ab0).如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0).直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，即，e2，即e，椭圆的离心率为.13.如图，已知F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF22F2B，求椭圆的方程.考点椭圆的几何性质题点求椭圆离心率解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc，所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0).设B(x，y)，由AF22F2B，得2，即(1，b)2(x1，y)，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，所以b22，故椭圆的方程为1.三、探究与拓展14.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆1(ab0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围为_.考点椭圆的几何性质题点求离心率的范围答案解析由题意得，圆半径r，因为ABC是锐角三角形，所以cos0coscos，即1，所以1，即1，解得e.15.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1,0)，B(1