高考物理主题一曲线运动与万有引力定律第二章匀速圆周运动习题课圆周运动规律的应用学案教科版.docx

习题课圆周运动规律的应用学习目标核心凝炼1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型。2种模型“轻绳(过山车)”模型、“轻杆(管道)”模型3种临界问题绳的弹力、支持面的弹力与静摩擦力相关的临界问题2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析。3.学会分析圆周运动问题的一般方法。圆周运动问题的分析与计算观察探究如图1所示，A、B两物体紧贴在圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则图1(1)物体做匀速圆周运动向心力由什么力提供？(2)在竖直方向上物体受摩擦力作用吗？(3)A、B两物体的角速度有什么关系？答案(1)物体做匀速圆周运动向心力由筒壁对它们的弹力提供。(2)在竖直方向受力平衡，所以竖直方向上一定受到静摩擦力作用。(3)A、B两物体的角速度相等。探究归纳解决匀速圆周运动问题的方法与步骤试题案例例1 (多选)如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则()图2A.两物体均沿切线方向滑动B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远【思路探究】(1)物体A、B的角速度有什么关系？物体A、B随圆盘一起做圆周运动，哪个物体做圆周运动所需要的向心力大？(2)当两物体刚好还未发生滑动时，细线对物体A的拉力与圆盘对A的最大静摩擦力的合力是两个力大小之和还是两个力大小之差？(3)烧断细线后，细线的拉力消失，物体A所受的合力是增大还是减小？物体A相对圆盘是仍保持静止还是相对滑动？答案(1)物体A、B的角速度相等。物体A、B随圆盘一起做圆周运动，物体A做圆周运动所需要的向心力大。(2)当两物体刚好还未发生滑动时，细线对物体A的拉力与圆盘对A的最大静摩擦力的合力是两个力大小之和。(3)烧断细线后，物体A所受的合力是减小的。物体A相对圆盘是滑动的。解析物体A、B仍随圆盘一起做圆周运动，它们的角速度是相同的，由Fm2r可知，物体A做圆周运动所需要的向心力大于物体B做圆周运动所需要的向心力；根据题意，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，物体A做圆周运动的向心力由细线的拉力与圆盘对A的最大静摩擦力的合力提供，烧断细线后，细线的拉力消失，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，所以A要发生滑动，离圆盘圆心越来越远；但是B相对圆盘仍保持静止的状态，所以选项A、C错误，D正确；由于没有了细线的拉力，B所受静摩擦力将减小，所以选项B正确。答案BD针对训练1 如图3所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是()图3A.Q受到桌面的静摩擦力变大B.Q受到桌面的支持力变大C.小球P运动的角速度变小D.小球P运动的周期变大解析金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球研究，竖直方向上没有加速度，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于两个物体的总重力，保持不变，故B错误；设细线与竖直方向的夹角为，细线的拉力大小为T，细线的长度为L。P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有T，mgtan m2Lsin ，得角速度，周期T2，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，增大，cos 减小，则得到细线拉力T增大，角速度增大，周期T减小。对Q，由平衡条件知，fTsin mgtan ，知Q受到桌面的静摩擦力变大，故A正确，C、D错误。答案A竖直面内圆周运动的两种模型观察探究如图4所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g。试分析：图4(1)小球过最高点的最小速度是多大？(2)假设绳拉球过最高点时最小速度小于，则会产生什么样的后果？(3)将细绳换为轻杆，小球还在竖直面内做圆周运动。试分析：当小球过最高点的速度v时，则杆对球作用力的大小和方向是怎样的？答案(1)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由Tmg可知，当T0时，v最小，最小速度为v0。(2)当v时，所需的向心力Fmg。此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了。(3)设杆对小球的作用力向下，则有mgF，则Fmg；当v时，F时，F0，表示球受杆的作用力方向向下，表现为拉力。探究归纳1.过最低点：小球运动到最低点时受向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力充当向心力，Nmgm。2.过最高点：在最高点时的受力特点可分为以下两种模型临界条件最高点受力分析细绳牵拉型的圆周运动小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示小球恰好过最高点：弹力(或拉力)为零，重力充当向心力，mgm，可得：临界速度vv时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力v时，绳或轨道对小球刚好不产生作用力小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图所示v时，杆或管的上侧产生向下的拉力或压力v时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示0v时，杆或管的下侧产生向上的支持力试题案例例2 如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接。试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动。(g取10 m/s2)求：图5(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍；(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？【思路探究】(1)小球处于什么位置时，试管底受到小球的压力最大？(2)小球处于什么位置时，试管底受到小球的压力最小？(3)处于什么位置时，小球最易脱离试管底？小球刚好脱离试管底的临界条件是什么？提示(1)小球处于最低位置时，试管底受到小球的压力最大。(2)小球处于轨迹顶端时，试管底受到小球的压力最小。(3)小球处于轨迹顶端时，小球最易脱离试管底。小球刚好脱离试管底的临界条件是小球与试管底之间无压力。解析(1)试管底所受压力的最大值出现在试管开口端向上，小球处于最低位置的时候，此时Nmgm2r；试管底所受压力的最小值出现在试管开口端向下，小球处于轨迹顶端的时候，此时mgNm2r。又有N3 N，联立可以解得20 rad/s。(2)小球与试管底恰好脱离接触的情况出现在试管开口向下，小球处于轨迹顶端的时候，此时的临界情况是N0，即mgm2r，解得10 rad/s，所以转轴的角速度满足010 rad/s时，会出现小球与试管底脱离接触的情况。答案(1)20 rad/s(2)010 rad/s竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。针对训练2 长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图6所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g10 m/s2)。图6(1)A的速率为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s。解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mgFm。(1)代入数据v11 m/s，可得Fm(g)2(10) N16 N，即A受到杆的支持力为16 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。(2)代入数据v24 m/s，可得Fm(g)2(10) N44 N，即A受到杆的拉力为44 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。答案(1)16 N(2)44 N水平面内圆周运动的临界问题观察探究如图7所示，在水平圆盘上，轻质弹簧一端固定于轴O点，另一端拴一质量为m的物体。物体与盘面间最大静摩擦力为fmax，弹簧长度为R时对物体的拉力为F，且F大于fmax，物体与圆盘始终保持相对静止，则：图7(1)设圆盘匀速转动的最小角速度为1，物体做匀速圆周运动的动力学方程是怎样的？(2)设圆盘匀速转动的最大角速度为2，物体做匀速圆周运动的动力学方程是怎样的？答案(1)圆盘转动的角速度最小时，动力学方程是：FfmaxmR。(2)圆盘转动的角速度最大时，动力学方程是：FfmaxmR。探究归纳注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。以下类型较常见：1.与绳的弹力有关的临界问题：绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)是分析的关键。2.与支持面弹力有关的临界问题：恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)是分析的关键。3.因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力为零或最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)是分析的关键。试题案例例3 如图8所示，细绳的一端系着质量为M2 kg的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m0.5 kg的物体，M的中点与圆孔的距离为0.5 m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度在什么范围内可使m处于静止状态(g取10 m/s2)。图8【思路探究】当角速度具有最小值或最大值时，要使物体M和水平面保持相对静止，物体M受到的静摩擦力分别具有什么样的特点？提示：当角速度具有最小值时，物体M有靠近圆心的运动趋势，所以M受到的摩擦力方向沿半径向外，即背离圆心，且等于最大静摩擦力；当角速度具有最大值时，物体M有离开圆心的运动趋势，所以M受到的摩擦力方向沿半径向里，即指向圆心，且等于最大静摩擦力。解析当取较小值1时，M有向O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力背离圆心O，对M有mgfmaxMr，代入数据得11 rad/s。当取较大值2时，M有背离O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力指向圆心O，对M有mgfmaxMr，代入数据得23 rad/s。所以角速度的取值范围是1 rad/s3 rad/s。答案1 rad/s3 rad/s圆周运动中的临界问题的分析一般都是先假设某物理量达到最大或最小的临界状态，进而建立方程求解。针对训练3 如图9所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少多大？图9解析小球在锥面上受到拉力、支持力、重力的作用，建立如图所示的平面直角坐标系，对其受力进行正交分解。则在y轴方向，根据平衡条件，得Fcos Nsin mg，在x轴方向，根据牛顿第二定律，得Fsin Ncos mL2sin ，解得Fm(gcos L2sin2)，Nmgsin m2Lsin cos 要使球离开锥面，则N0，解得。答案1.(圆周运动问题的分析与计算)如图10所示是某课外研究小组设计的可以用来测量转盘转速的装置，该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺，带孔的小球穿在光滑细杆上与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在转动轴上，小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动。当转盘不转动时，指针指在O处，当转盘转动的角速度为1时，指针指在A处，当转盘转动的角速度为2时，指针指在B处。若设弹簧均没有超过弹性限度，则1与2的比值为()图10A. B.C. D.解析设标尺的分度为L，弹簧劲度系数为k，则有kLm4L，k3Lm6L，两式联立解得，所以选项B正确。答案B2.竖直面内的“轻绳(过山车)”模型杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图11所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(不计空气阻力，g10 m/s2)()图11A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N解析水流星在最高点的临界速度大小v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选项B正确。答案B3.竖直面内的“轻杆(管道)”模型(2018安徽师大附中高一下期中)如图12所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力。小球转到最高点A时，线速度v的大小为，此时()图12A.杆受到1.25mg的拉力B.杆受到1.25mg的压力C.杆受到0.75mg的拉力D.杆受到0.75mg的压力解析以小球为研究对象，进行受力分析，受重力mg和杆的作用力N，合力提供向心力，有mgNmg，得N0.75mg，负号说明小球受向上的支持力作用，由牛顿第三定律可知，杆受到小球的压力作用，大小为NN0.75mg，故D正确。答案D4.(水平面内圆周运动的临界问题)冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，重力加速度为g，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为()A.vk B.vC.v D.v解析水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足kmgm，解得v，故选项B正确。答案B合格性检测1.如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙。以下说法正确的是()图1A.f甲小于f乙B.f甲等于f乙C.f甲大于f乙D.f甲和f乙的大小均与汽车速率无关解析汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即fm，由于r甲r乙，则f甲f乙，故A正确。答案A2.质量为m的物体用细绳通过光滑的水平板上的小孔与装有细沙的质量为M的漏斗相连，并且正在做匀速圆周运动，如图2所示，如果缓慢减小M的质量，则物体的轨道半径r、角速度变化情况是()图2A.r不变，变小 B.r增大，减小C.r减小，增大 D.r减小，不变解析细绳拉力提供物体m做圆周运动需要的向心力，当缓慢减小M时，对m的拉力减小，拉力不足以提供向心力，物体m做离心运动，运动半径r增大，由牛顿第二定律得MgTm2r，因为细绳拉力T减小，半径r增大，因此减小，故选项B正确。答案B3.如图3所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()图3A. B.2 C. D.解析小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界条件为重力提供向心力，即mgm2R，解得，选项C正确。答案C4.(多选)如图4所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()图4A.小球通过最高点时的最小速度是B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力解析小球通过最高点的最小速度为零，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确。答案BD5.如图5所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度为v，L是球心到O点的距离，g为重力加速度，则球对杆的作用力是()图5A.mg的拉力 B.mg的压力C.零 D.mg的压力解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mgm，解得v，所以，杆对球是支持力，即mgNm，解得Nmg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故B正确。答案B6.(2018蚌埠二中高一下期中)质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，重力加速度为g，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值为()A.0 B.mg C.3mg D.5mg解析当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力充当向心力，有mgm；当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力G和轨道对小球竖直向下的支持力N，如图，合力充当向心力，有mgNm；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的压力大小相等，NN；由以上三式得到，N3mg，故选项C正确。答案C7.如图6所示，高速公路转弯处弯道半径R100 m，汽车的质量m1 500 kg，重力加速度g10 m/s2。图6(1)当汽车以v110 m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？(2)若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数0.4，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多少？当汽车速度超过vm时，将会出现什么现象？解析(1)由题意有：Fm1 500 N1 500 N，故汽车所需向心力为1 500 N。(2)当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有fmmgm，由此解得最大速率为vm20 m/s。故汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率为20 m/s，当超过最大速率时，外力提供向心力不足，汽车将做离心运动，有翻车的危险。答案(1)1 500 N(2)20 m/s汽车将做离心运动，有翻车的危险8.如图7所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力大小之比为多少？图7解析两球受力分析如图所示。设每段绳子长为l，则对球2有F22ml2，对球1有F1F2ml2，由以上两式得F13ml2，故答案32等级性检测9.一对男女溜冰运动员质量分别为m男80 kg和m女40 kg，面对面拉着一弹簧秤(重力不计)做圆周运动的溜冰表演，如图8所示，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，则两人()图8A.速度大小均为40 m/sB.运动半径分别为r男0.3 m和r女0.6 mC.角速度均为6 rad/sD.运动速率之比为v男v女21解析因为两人的角速度相等，由Fm2r以及两者的质量关系m男2