安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第10讲任意角的三角函数及诱导公式教案.docx

任意角的三角函数及诱导公式教学目标1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2, 的正弦、余弦、正切）。命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。预测2017年高考对本讲的考察是：1题型是1道选择题和解答题中小过程；2热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。教学准备多媒体课件教学过程一知识梳理：1任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。2终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如|=，。3弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住。弧度与角度互换公式：1rad57.30=5718、10.01745（rad）。弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。4三角函数定义在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；。a的终边P(x,y)Oxy利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即。5三角函数线Oxya角的终边PTMA三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标。这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。6同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。几个常用关系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余两式。 当时，有。7诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，其中诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。二典例分析考点一：角的集合表示及象限角的判定典题导入已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同的角；(2)设集合M，N，判断两集合的关系(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.(2)因为Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.由题悟法1利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置以题试法1(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四角限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个(2)如果角是第二象限角，则角的终边在第_象限解析：(1)是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角正确40036040，从而正确31536045，从而正确(2)由已知2k2k(kZ)，则2k2k(kZ)，即2k2k(kZ)，故2k0)，则tan 的最小值为()A1B2C. D.(2)(2012大庆模拟)已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B.C. D.(1)根据已知条件得tan t2，当且仅当t1时，tan 取得最小值2.(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.(1)B(2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值以题试法2(1)(2012东莞调研)已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A. BC. D(2)(2012潍坊质检)已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()A B.C4 D4解析：(1)选B由|OP|2x21，得x，tan .(2)选C由题意可知，cos ，又m0，解得m4.考点三：扇形的弧长及面积公式典题导入(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？(1)设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为.(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100，当且仅当r10时，Smax100.所以当r10，2时，扇形面积最大若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，正方形边长为R，圆心角的弧度数是.答案：由题悟法1在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷2记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积以题试法3若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解：设扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，根据已知条件lRS扇，则扇形的周长为：l2R2R4，当且仅当2R，即R时等号成立，此时l2，2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值考点四：同角三角函数的基本关系式典题导入(1)(2012江西高考)若tan 4，则sin 2()A.B.C. D.(2)已知sin(3)2sin，则_.(1)tan 4，4，4，即4，sin 2.(2)法一：由sin(3)2sin得tan 2.原式.法二：由已知得sin 2cos .原式.(1)D(2)在(2)的条件下，sin2sin 2_.解析：原式sin22sin cos .答案：由题悟法1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.以题试法4(1)(2012长沙模拟)若角的终边落在第三象限，则的值为()A3 B3C1 D1(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，则cos _.解析：(1)由角的终边落在第三象限得sin 0，cos 0，故原式123.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos .答案：(1)B(2)考点五：三角函数的诱导公式典题导入 (1)_.(2)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2(1)原式 1.(2)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.(1)1(2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数(2)“大化小”，利用k360(kZ)的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数(3)“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数(4)“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得以题试法5(1)(滨州模拟)sin 600tan 240的值等于()AB.C. D.(2)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中，a，b均为非零实数，若f(2 012)1，则f(2 013)等于_解析：(1)sin 600tan 240sin(720120)tan(18060)sin 120tan 60.(2)由诱导公式知f(2 012)asin bcos 1，f(2 013)asin()bcos()(asin bcos )1.答案：(1)B(2)1考点六：诱导公式在三角形中的应用典题导入在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos (B)，求ABC的三个内角由已知得sin Asin B，cos Acos B两式平方相加得2cos2A1，即cos A或cos A.(1)当cos A时，cos B，又角A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B，又角A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.由题悟法1诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，c