高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术秦九韶算法课时提升作业.docx

辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列说法中正确的个数为()如果两个正整数互质,那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘积;如果两个正整数中,较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公约数,较大数就是这两个数的最小公倍数;两个正整数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质;两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.A.1B.2C.3D.4【解析】选D.根据最大公约数和最小公倍数的含义,4个结论都正确.2.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为()A.6,6B.5,6C.6,5D.6,12【解析】选A.改写多项式f(x)=(3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1,则需进行6次乘法和6次加法运算.3.(2014济宁高一检测)用更相减损术求459和357的最大公约数,需做减法的次数为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51.共做了5次减法.【变式训练】用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.294=843+42,84=422.故需做2次除法.4.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下:(16,12)(4,12)(4,8)(4,4),由此可以看出16和12的最大公约数是()A.4B.12C.16D.8【解析】选A.按更相减损术求最大公约数,到最后(4,4)相等,故最大公约数为4.5.1037和425的最大公约数是()A.51B.17C.9D.3【解析】选B.因为1037=4252+187,425=1872+51,187=513+34,51=341+17,34=172,即1037和425的最大公约数是17.6.(2014东营高一检测)用秦九韶算法,求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4的值时,v4的值为()A.-57B.220C.-845D.3 392【解析】选B.由秦九韶算法,得v0=3,v1=3(-4)+5=-7,v2=-7(-4)+6=34,v3=34(-4)+79=-57,v4=-57(-4)-8=220.二、填空题(每小题4分,共12分)7.利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时,第二步是.【解析】第一步:6497=38691+2628,第二步:3869=26281+1241.答案:3869=26281+12418.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是.【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,v0=3,v1=3(-4)+12=0,v2=0(-4)+6=6,v3=6(-4)+10=-14,v4=-14(-4)-8=48,所以v4最大,v3最小,所以v4-v3=48+14=62.答案:629.请将以下用“更相减损术”求两个正整数a,b的最大公约数的程序补充完整:INPUT“a,b=”;a,bWHILEabIFabTHENa=a-bELSEENDIFWENDPRINTaEND【解析】阅读程序知,当ab时,做减法a-b,当ab时,做减法b-a,因此应填b=b-a.答案:b=b-a三、解答题(每小题10分,共20分)10.用辗转相除法求294,84的最大公约数.【解析】294=843+42;84=422.所以294与84的最大公约数是42.【举一反三】本题其他条件不变,你能用更相减损术求它们的最大公约数吗?【解析】因为294与84都是偶数可同时除以2,得147与42.因为147-42=105,105-42=63,63-42=21,42-21=21,所以294与84的最大公约数为212=42.11.用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.【解题指南】注意本题中有几项不存在,此时在计算时,我们应该将这些项加上,比如含x3这一项可看做0x3.【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=8x7+5x6+0x5+3x4+0x3+0x2+2x+1=(8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.而x=2,所以有v0=8,v1=82+5=21,v2=212+0=42,v3=422+3=87,v4=872+0=174,v5=1742+0=348,v6=3482+2=698,v7=6982+1=1397.所以当x=2时,多项式的值为1397.一、选择题(每小题4分,共16分)1.用辗转相除法求35和134的最大公约数,第一步是()A.134-35=99B.134=353+29C.先除以2,得到18和67D. 35=251+10【解析】选B.按照辗转相除法的含义,先用大数除以小数,故选B.2.用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,当x=x0时,求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为()A.,n,nB.n,2n,nC.0,2n,nD.0,n,n【解析】选D.利用秦九韶算法求f(x0)的值,不需要算乘方,只需要n次乘法,n次加法.3.三个数4557,1953,5115的最大公约数是()A.31B.93C.217D.651【解题指南】先求4557与1953的最大公约数a,然后再求a与5115的最大公约数.【解析】选B.4557-1953=2604,2604-1953=651,1953-651=1302,1302-651=651.故4557与1953的最大公约数为651.同理651与5115的最大公约数为93.4.(2014周口高一检测)已知f(x)=x5+2x3+3x2+x+1,应用秦九韶算法计算x=3时的值时,v3的值为()A.27B.11C.109D.36【解析】选D.将函数式化成如下形式.f(x)=(x+0)x+2)x+3)x+1)x+1由内向外依次计算:v0=1,v1=13+0=3,v2=33+2=11,v3=113+3=36.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知a=333,b=24,则使得a=bq+r(q,r均为自然数,且0rb)成立的q和r的值分别为.【解析】用333除以24,商即为q,余数即为r.33324=1321.答案:13,216.(2013南阳高一检测)用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值,给出如下数据:021137143其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有(只填序号).【解析】将多项式写成f(x)=(x-2)x+3)x-7)x-5.其中v0=1;v1=14-2=2;v2=24+3=11;v3=114-7=37;v4=374-5=143.答案:三、解答题(每小题13分,共26分)7.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,每瓶最多装多少克溶液?【解析】每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数,先求147和343的最大公约数,343-147=196,196-147=49,147-49=98,98-49=49.所以147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.8.分别用辗转相除法和更相减损术求1734,816的最大公约数.【解题指南】本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据m=nq+r,反复执行,直到r=0为止;用更相减损术就是根据m-n=r,反复执行,直到n=r为止.【解析】辗转相除法:1734=8162+102,816=1028(余0),所以1734与816的最大公约数是102.更相减损术:因为两数皆为偶数,首先除以2得到867,408,再求867与408的最大公约数.867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=