高级微观经济学课件(上海财经大学夏纪军.ppt

Ch 1.2.2 效用函数 版权所有：夏纪军 2004 保留所有权利 上海财经大学 经济学院 数学基础：函数 n连续性 u函数 2 数学基础：函数 n连续性（Cauchy） u 3 数学基础：函数 n象与原象（inverse image） u n连续性与原象 4 数学基础：函数 n定理A1.7：连续函数在紧集上的象（ image) 是紧集 5 数学基础：函数 n极值存在性定理 u 6 数学基础：多变量函数的微分 梯度(gradient)： 一阶微分： 二阶微分： （海赛矩阵） 7 数学基础：矩阵 n定义： u NN矩阵M，如果 都有 那么，称M是半负定矩阵； 如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。 8 数学基础：拟凹函数 9 数学基础：拟凹函数 证明：充分性 定理 f(x)是拟凹函数 10 数学基础：拟凹函数 必要性： S(y)是凸集 11 数学基础：拟凹函数 12 数学基础：拟凹函数 n定理：连续可微函数 f （1） （2） 13 1.2.2 效用函数 n定义1.5： u实值函数 是表示偏 好关系 的效用函数，如果 u存在性 u唯一性 14 1.2.2.1 效用函数存在性 n n 定理定理1.1 (1.1 (P14)P14) u定义在 的偏好关系满足连续性 和严格单调性，那么就存在一个 连续的实值函数 表 示 。 15 1.2.2.1 效用函数存在性 n定理1.1证明思路 u先构造一个实值函数 u然后证明它满足效用函数的条件 16 I、效用函数的构造 0 连续性 是非空闭集 17 I、效用函数的构造 严格单调性 那么都有如果 那么都有如果 完备性 （A是有下界闭集） （B是有界闭集） 18 I、效用函数的构造 而且 是唯一的。因为： 假设 （严格单调性） （传递性） 存在唯一的 使得 19 I、效用函数的构造 0 20 II、 是效用函数 由式得到 （传递性） （严格单调性） u(x)是表示偏好关系 效用函数 21 III、 是连续函数 效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆央射(原象) （定义） （单调性） （传递性） 是开集 （因为的补集是闭集） 22 III、 是连续函数 定理A1.6：（P429 ） 连续 是开集 ，在任意开集 的逆央射 在是开集 连续 23 1.2.2.2 效用函数的唯一性 n设 表示的是偏好关系 的结构 。 u u u 24 1.2.2.2 效用函数的唯一性 n正单调变化 其中 在 的取值范围上是严格递增函数。 25 1.2.2.2 效用函数的唯一性 n定理1.2：效用函数对正单调不欢的 不变性 u实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正 单调变换,v(x)也能够表示该偏好关 系。 26 n效用函数与无差异曲线 无差异集： 1.2.2.3 效用函数的性质 27 n上等值集(Superior Set) 【严格上等值集】 1.2.2.3 效用函数的性质 28 1.2.2.3 效用函数的性质 n 严格递增严格单调 29 1.2.2.3 效用函数的性质 n 拟凹具有凸性 严格拟凹具有严格凸性 n 30 1.2.2.3 效用函数的性质 n 可导性 u无差异曲线光滑（smooth） n边际效用 （偏好单调性） （偏好严格单调性） 【几乎处处成立】 31 1.2.2.3 效用函数的性质 n 几乎处处成立 32 1.2.2.3 效用函数的性质 是凹函数 n 拟凹 边际效用递减 33 1.2.2.3 效用函数性质 n海塞矩阵 满足 拟凹 34 1.2.2.4 效用函数实例 2X1 X1 2X0 X0 位似偏好(homothetic preference) 35 1.2.2.4 效用函数实例 n位似偏好效用函数 u如果 是位似偏好，那么就可以用一 个一次齐次效用函数来表示。 位似偏好：证明： 36 1.2.2.4 效用函数实例 n位似偏好效用函数 u如果 是位似偏好，那么就可以用一 个一次齐次函数的正单调变换来表示 。 37 1.2.2.4 效用函数实例 n拟线性偏好(quasilinear preference) u偏好关系 是相对于商品1的拟 线性偏