工程力学-位移法计算超静定结构.ppt

v位移法基本概念 v等截面直杆的杆端力 v位移法基本未知量 v位移法之典型方程法 v无侧移刚架、有侧移刚架算例 v位移法之直接平衡法 v位移法计算对称结构 v支座移动和温度改变时的计算 1 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变形协调条件） 。 位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程 独立结点位移 平衡条件 ？一组单跨超静定梁 11-1 位移法的基本概念 2 l l q EI=常数 A B C A q A B C A F1 F1=0 q A B C F1P ql2/12 ql2/12 A B C A F11 A A ql2/12 F1P 4i F1 1 q A B C ql2/24 5ql2/48 ql2/48 3 A B MAB QAB QBA MBA 1、杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角 /l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。 用力法求解 i=EI/l 2、形常数： 由单位杆端位移引起的杆端力 MAB0 MBA0 1 4i 2i M 11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数 ） 4 用力法求解单跨超静定梁 X1 X2 1/l 1/l X2=1 1 2 M 1 M X1=1 1=-= -= EI ll EI63 1 2 11 2112 dd = = EI ll EI33 2 2 11 2211 dd 1 5 由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。 单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA 4i2i =1 A B A B 1 A B 10 A B=1 3i 0 A B=1 ii0 6 3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 X1=1P / 11 =3ql/8 1=11X1 + 1P=0 ql2/2 MP q B mAB l，EI l X1=1 D P1 -= -= EI qll l ql EI84 3 23 11 42 11 d = = EI lll EI33 2 2 1 32 ql2/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P241） M图 7 4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式： QBA QAB MBA MAB P MBAMAB = + P +mAB +mBA 0 BA Q 0 AB Q BA Q AB Q A B MAB QAB QBA MBA 5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程： 转角位移方程 注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。 2、 是简支梁的剪力。 0 AB Q 8 1、基本未知量的确定： P PC D C 为了减小结点线 位移数目，假定： 忽略轴向变形， 结点转角和弦转 角都很微小。 位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是 将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体 。 结点角位移的数目=刚结点的数目 P P 即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。 结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。 2、基本体系的确定： 11-3 位移法的基本未知量和基本体系 9 结点转角的数目：7个 1 2 3 相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3 结点转角的 数目：3个 独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1 位移法基本未知量 结点转角 独立结点线位移 数目=刚结点的数目 数目=铰结体系的自由度 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。 10 1 1 2 1 1 2F1 F2 F1=0 F2=0 F1P F2P k21 1=1 1 1 2 k11 2=1 k22 k12 位移法 基本体系 F1=0 F2=0 F11、F21(k11、k21) 基本体系在1(=1)单独作 用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； F12、F22(k12、k22) 基本体系在2(=1)单独作用 时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约 束1、2中产生的约束力矩和约束力； 位移法方程的含义：基本体系在结点位 移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。 11-4 位移法典型方程 11 n个结点位移的位移法典型方程 主系数 kii 基本体系在i=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； 付系数 kij= kji 基本体系在j=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； 自由项 FiP 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。 12 15kN/m 48kN 4m 4m 2m2m ii i 15kN/m 48kN 1 1 基本体系 F1 当F1=0 15kN/m 48kN 20 20 36 MP M120 36 0 F1P=16 2i 4i 3i i 4i3i i k11=8i 解之:1=F1P/k11=2/i 利用 叠加弯矩图 1=1 16 28 30 30 30 2 M图 (kN.m) k11 F1P + 13 由已知的弯矩图求剪力： 15kN/m 48kN 4m 4m 2m2m ii 16 28 30 30 30 2 M图 (kN.m) A B C D 33 27 + 31.5 + 16.5 Q图 (kN) 由已知的Q图结点投影平衡求轴力： 0 31.5 33 NBD NAB0 B X=0 NAB=0 Y=0 NBD=64.5 校核： B 30 2 28MB=0 27 64.5 16.5 15kN/m 48kN Y=27+64.5+16.5154+48 =0 14 位移法计算步骤可归纳如下：（P22） 1）确定基本未知量； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程； 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图; 5)由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量； 7）按 M=Mii+MP 叠加最后弯矩图。 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。 9）校核平衡条件。 15 20kN A B C 3m3m 6m ii 2kN/m A B C 16.72 11.57 9 2kN/m 20kN A B C 1）确定基本未知量1=B ； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程； 4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项； 15 15 9 F1P 15 9 F1P=159=6 1=1 2i 4i A B C 3i k11 4i 3i k11=4i+3i=6i 5）解方程，求基本未知量； 6）按 M=Mii+MP 叠加最后弯矩图 30 M图 (kN.m) 11.57 11.57 7）校核平衡条件 MB=0 MP M1 11-5 位移法计算 连续梁无侧移刚架 16 4I4I5I 3I 3I 111 0.75 0.5 i=111 0.75 0.5 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 20kN/m 例：作弯矩图 1、基本未知量 2、基本体系 BA ql m = 8 420 8 22 mkN=.40 BC ql m -=-= 12 520 12 22 CB mkN m = .7 .41 mkN-=.7 .41 令EI=1 F1P=4041.7= 1.7 A BC D E F 20kN/m 3、典型方程 4）画MP 、Mi;由平衡求kij、FiP 40 41.7 41.7 MP M1 F2P=41.7 A BC D E F 3i 4i 2i 3i 1.5i k11=4i+3i+3i= 10i k21=2i 17 M2 A BC D E F 3i 4i 2i 2i i k22=4i+3i+2i= 9i k21=2i 5）解方程，求基本未知量； M1 A BC D E F 3i 4i 2i 3i 1.5i A BC D E F 20kN/m40 41.7 41.7 MP A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 43.5 40 46.9 24.5 62.5 14.7 9.8 4.9 3.4 1.7 M图(kN.M) 18 3kN/m 8m 4m 2i i i 22 1 3kN/m 2 1 F1 F2 F1=0 F2=0 3kN/m F1P F2P k12 k22 乘2 k11 k21 乘1 1=1 2=1 F1P k12 k11F1P k12 k11F1P k12 k11F1P k12 k11 F2P k22 k21F2P k22 k21F2P k22 k21F2P k22 k21F2P k22 k21 4 4 MP F1P 0 4 F1P=4 F2P=6 0 F2P 4i 2i 6i 6i 4i k11 k11=10i k21=1.5i M1 k12 0 1.5i k21 k22 M2 k12=1.5i k21=15i/16 1.5i 1.5i 0.75i 解之:1=0.737/i，2=7.58/i 利用 叠加弯矩图 13.62 4.42 5.69 M图 (kN.m) 11-6 位移法计算有侧移刚架 与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投 影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的 反力，由截面投影方程来求。 19 1、转角位移方程： +mAB +mBA A B MAB QAB QBA MBA 两端刚结或固定的等直杆 一端铰结或铰支的等直杆 一端为滑动支承的等直杆 MAB A A B MAB A B A B MBA (4)已知杆端弯矩求剪力 11-9 用直接平衡 法建立位移法方程 20 位移法计算步骤可归纳如下： 1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； 3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。 21 4I4I5I 3I 3I 111 0.75 0.5 i=111 0.75 0.5 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 20kN/m 例11-1 作弯矩图 1、基本未知量B、C 2、列杆端力表达式令EI=1 BA ql m = 8 420 8 22 mkN=.40 BC ql m -=-= 12 520 12 22 CB mkN m = .7 .41 mkN-=.7 .41 CCCF Mqq=25 . 04 BBEB Mqq=5 . 175. 02 CBCB Mqq+=7 .4142 CBBC Mqq-+=7 .4124 BBA Mq+=403 CCFC Mqq=5 . 02 BBBE Mqq=375. 04 CCD Mq =3 3、列位移法方程 0=+= CFCDCBC MMMM 0=+= BEBCBAB MMMM07 . 1210=-+ CB qq 0 7 . 4192=+ CB qq 4、解方程 B=1.15 C=4.89 =43.5 =46.9 =24.5 =14.7 =9.78 =4.89 MCBMCD MCF =3.4 =1.7 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 43.5 40 46.9 24.5 62.5 14.7 9.8 4.9 3.4 1.7 M图(kN.M) 位移不是真值! 5、回代6、画M图 MBA MBC MBE 22 B 3kN/m 8m 4m 2i i i A B C D )2(3=iM BBC q 12 43 4 64 2 + D -=iiM BBA q 12 43 4 62 2 - D -=iiM BAB q 0, 0=+=QQX CDBA 0, 0=+=MMM BCBAB 4 3 D -=iM DC 045 . 110=+D-ii B q 16 30D = + -= i l M Q DC CD 06 16 15 5 . 1=- D +- i i B J 6 4 3 5 . 1 0 - D +-=+ + -= i iQ l MM Q BBA BAAB BA q 解之： =0.74/i =7.58/i =13.89 =4.42 =4.44 =5.69 4.42 4.44 13.895.69 M图(kN.m) 1、基本未知量B、 2、列杆端力表达式 3、列位移法方程 4、解方程 5、回代 6、画M图 23 P h1 h2 h3 I1 I2 I3 作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：1）基本未知量只有 2）各柱的杆端剪力 侧移刚度J=3i/h2，则： Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3 Q1+Q2+Q3=P J1+J2+J3=PP Q1 Q2 Q3 i i h J PJ M=Qihi = i i J PJ Q = P 柱顶剪力： 柱底弯矩： J hPJ 11 J hPJ 33 J hPJ 22 3）位移法方程 X=0 M 结点集中力作为各柱总剪力，按 各柱的侧移刚度分配给各柱。再 由反弯点开始即可作出弯矩图。 仅使两端发生单位侧移时需在两 端施加的杆端剪力。 24 在讨论结构上各结点的线位移的关系时可用铰结刚化 体系来代替原结构。其原因是两者结点间的几何约束条 件是相同的：链杆长度不变。 O 瞬心在无穷远 结论：平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高 不等高，柱顶的线位移都相等。 柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也不独立。 25 i i l PEI= AB CD 12 2 l i J BD = 3 2 l i J AC = 5 4 /12/3 /12 22 2 P lili liP J PJ Q BD BD = + = 5/12/3 /3 22 2 P lili liP J PJ Q AC AC = + = M图 P P/5P/5P/5P/5 4P/5 l/2l/2 4P/54P/54P/5 Pl/5 2Pl/5 2Pl/5 26 12 2 l i J BD = 3 2 l i J AC = 5 4P J PJ Q BD BD = 5 P J PJ Q AC AC = i i 8m EI= AB CD 10kN/m i i EI= AB CD 10kN/m R 3ql/8=30kN R=30kN =6kN =24kN 4m4m R30kN 80 6 6 6 48 24 24 24 96 96 M图 (kN.M) 128 80 96 96 27 12kN/m 12kN/m 12kN/m 12kN/m 24kN/m 4m 4m4m EI EI EI 2EIEI 24 24 24 7272 4 20 8 20 8 M反对称 M对称 92 16 432 52 M图 (kN.m) 48 11-8 对称结构的计算 28 12kN/m 12kN/m X1 4 4 4 M1 96 MP 12kN/m EI EIEI 4m 4m 24 24 72 M反对称 12kN/m 12kN/m 等代结构 24 72 =1 29 12kN/m 12kN/m 12kN/m EI EI 4m 4m 等代结构 AC B MMM ACABA 0=+= i A 2 -=q i A 0168=+q iM ACA 2=q iM AAC 4=q iM AAB 164+=q iM ABA 162-=q=20kN.m =8kN.m =8kN.m =4kN.m 20 8 4 20 8 M对称 30 12kN/m 4m3m 4m4m 4I 4I 5I 4I 5I 4m 12kN/m i=1 i=1 A C B ACA M2q= AAC Mq =4 ABA Mq+=162 A q-=164 AAB Mq -= 12 412 4 2 0=+= ACABA MMM 2 0168 = =- A A q q MAB MAC A =8kN.m =20kN.m =8kN.m =4kN.m 4 8 20 24 4 8 20 24 M图 (kN.m) 1）斜梁（静定或超静定）受竖向 荷载作用时，其弯矩图与同跨度同 荷载的水平梁弯矩图相同。 2）对称结构在对称荷载作用下， 与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0 。 31 1)支座移动时的计算 基本方程和基本未知量以及作题 步骤与荷载作用时一样,只是固端力一项不同。 ll ii A BC MM BCBA =+ 0 l B D = 2 q l ii B = D -036q l iiM BBC D -=33q iM