[高三数学]高考文科数学复习第一轮极坐标与参数方程教师版总的.doc

高考文科数学一轮复习（极坐标与参数方程） 第二讲 极坐标与参数方程目标认知考试大纲要求：1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：1理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。2理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。【知识要点梳理】:知识点一：极坐标1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数； 当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即，, 均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，以为直径的圆：知识点二：柱坐标系与球坐标系：1. 柱坐标系的定义：空间点与柱坐标之间的变换公式：2. 球坐标系的定义：空间点与球坐标之间的变换公式：知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。知识点四：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点对应的角为（过作轴， 交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。 椭圆上任意一点可设成， 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；（2）摆线的参数方程 （是参数）。规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。【课前演练】一、选择题：1设复数满足，其中为虚数单位，则A B C D2已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A4 B3 C2 D13已知向量若为实数，则A B C1 D24函数的定义域是A B C D5不等式的解集是A B C D二、填空题：（一）必做题（9 13题）11已知是递增的等比数列，若，则此数列的公比 12设函数若，则 13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：时间12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 （二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）图414（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为_15（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，分别为上的点，且，则梯形与梯形的面积比为_一、选择题1（A）2（C）的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点3（B），由，得，解得4（C）且，则的定义域是5（D）或，则不等式的解集为二、填空题112或是递增的等比数列，12，即，则13；小李这5天的平均投篮命中率，线性回归方程，则当时，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为14表示椭圆，表示抛物线或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为15如图，延长， ， ， 【经典例题精析】类型一：极坐标方程与直角坐标方程1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是_，关于直线的对称点的坐标是_，思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。解析：它们依次是或；（）. 示意图如下：总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三：【变式】已知点，则点 （1）关于对称点的坐标是_， （2）关于直线的对称点的坐标为_ 。【答案】(1) 由图知：,，所以；(2) 直线即，所以或（）2.化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1) ； (2) ；(3) ； (4) .思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。解析：（1）方程变形为, 或，即或， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2) 变形得,即， 故原方程表示直线。(3) 变形为, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。（4）变形为, ,即, 故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用、表示。举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圆.(2), ， ，或，或故原方程表示圆和直线.(3)由，得即，整理得 故原方程表示抛物线.(4)由得,，即故原方程表示圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_.【答案】将代入方程得.3.求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。解析：（1）由图知，所求的极坐标方程为； （2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即. （方法二）由图知，所求直线的方程为，即.总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【答案】：。（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是；（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。【变式2】解下列各题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为_ ；（3）极坐标系中圆的圆心为_。【答案】（1）（方法一）设在圆上，则，由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。其平行于极轴的切线方程为和。 （方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为. （方法二）圆即的圆心为， 圆即的圆心为， 两圆圆心距为.（3）（方法一）令得，圆心为。 （方法二）圆即的圆心为，即.类型二：参数方程与普通方程互化4把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；（3）(,为参数)； （4） (为参数).思路点拨:（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。解析：（1），把代入得；又 , , 所求方程为：(,)（2）,把代入得. 又， ,. 所求方程为(,).（3）（法一）：, 又，, 所求方程为(,).（法二）：由得,代入,（余略）.（4）由 得, ,由得, 当时，；当时，从而. 法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由 得，代入得，即再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得. , ,. 故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即. ，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_ ；（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。 A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点 C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中， 半径为5。（2），且，因而选B。【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。A、 B、 C、 D、 （2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得，倾斜角为，选C。（2），相除得， 倾角为，选C。5已知曲线的参数方程（、为常数）。 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型； （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得 曲线是以为圆心，为半径的圆。 （2）方程变形为（为参数，为常数）,两式相除，可得，即,曲线是过点且斜率的直线。总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式】已知圆锥曲线方程为。（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。【答案】：（1）方程可化为 消去,得： 曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。（2）方程化为，消去，得， 曲线为椭圆，其中，从而。类型三：其他应用6椭圆内接矩形面积的最大值为_.思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。解析：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。举一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。【答案】：设到的距离为，则 ， （当且仅当即时取等号）。点到直线的最小距离为，此时点，即。【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_个.【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即或又 ，从而满足要求的点一共有三个.【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.【答案】：（1）由已知， 设圆的参数方程为（为参数） ，（2），. 【课堂检测】选择题参在极坐标系中，点(,)与(-, -)的位置关系为( )。 A关于极轴所在直线对称 B关于极点对称 C关于直线= (R) 对称 D重合极坐标方程 4sin2=5 表示的曲线是( )。 A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线点 P1(1,1) 与 P2(2,2) 满足1 +2=0，1 +2 = 2，则 P1、P2 两点的位置关系是( )。 A关于极轴所在直线对称 B关于极点对称 C关于=所在直线对称 D重合椭圆的两个焦点坐标是( )。 A(-3, 5)，(-3, -3) B(3, 3)，(3, -5) C(1, 1)，(-7, 1) D(7, -1)，(-1, -1)六、1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A BC D2下列在曲线上的点是（ ）A B C D 3将参数方程化为普通方程为（ ）A B C D 4化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A B C D 5点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A B C D 6极坐标方程表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆七、1直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）A B C D 2参数方程为表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A B C D 4圆的圆心坐标是（ ）A B C D 5与参数方程为等价的普通方程为（ ）A B C D 6直线被圆所截得的弦长为（ ）A B C D 八、1把方程化为以参数的参数方程是（ ）A B C D 2曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 3直线被圆截得的弦长为（ ）A B C D 4若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A B C D 5极坐标方程表示的曲线为（ ）A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线6在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（ ）A B C D填空题参、把参数方程(为参数)化为普通方程，结果是。把直角坐标系的原点作为极点，x 的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程是，则它的直角坐标方程是。六、1直线的斜率为_。2参数方程的普通方程为_。3已知直线与直线相交于点，又点，则_。4直线被圆截得的弦长为_。5直线的极坐标方程为_。七、1曲线的参数方程是，则它的普通方程为_。2直线过定点_。3点是椭圆上的一个动点，则的最大值为_。4曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_。5设则圆的参数方程为_。八、1已知曲线上的两点对应的参数分别为，那么=_。2直线上与点的距离等于的点的坐标是_。3圆的参数方程为，则此圆的半径为_。4极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_。5直线与圆相切，则_。解答题参、如图，过点M (-2, 0) 的直线依次与圆(x +)2 + y2 = 16和抛物线 y2 = - 4x 交于A、B、C、D 四点，且|AB| = |CD|，求直线的方程。过点 P(-2, 0) 的直线与抛物线 y2 = 4x 相交所得弦长为8，求直线的方程。求直线 ( t 为参数)被抛物线 y2 = 16x 截得的线段AB 中点 M 的坐标及点 P(-1, -2) 到 M 的距离。A为椭圆+=1上任一点，B为圆( x - 1)2 + y 2= 1 上任一点，求 | AB | 的最大值和最小值 。A、B在椭圆+= 1(a b 0)上，OAOB，求AOB面积的最大值和最小值。椭圆+=1(a b 0)的右顶点为A，中心为O，若椭圆在第 一象限的弧上存在点P，使OPA=90，求离心率的范围。一1、求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程。2、已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。3、求椭圆。三、18四、14设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹五、19的底边以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。20在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆珠笔上一个运点，且的平分线交PA于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。六1已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。2求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。3在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。七、1参数方程表示什么曲线？2点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。3已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。八、1分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；2过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答案 田硕 A 【习题分析】与点M(,)关于极轴对称的点有(,-)或(-,-)，关于=所在直线对称的点有(-,-)或(,-)，关于极点对称的点有(-,)或(,+)。掌握好点与极坐标的对应关系，及点之间特殊的对称关系是很有用处的。D【习题分析】 化为4P=5。即=，表示抛物线，应选D。判断曲线类型一般不外乎直线、圆、圆锥曲线等，因此需化为相应方程即可。C【习题分析】点 P2 坐标为(-1, 2-1)也即为(1, 3-1)，点P1、P2关于=所在直线对称，应选C。 判断点的对称，应记忆好相应坐标之间的关系，必要时可结合图形。B 【习题分析】先将椭圆方程化为普通方程，得： +=1。然后由平移公式。及在新系中焦点（0, 4）可得答案，应选B。【填空】x2+(y-1) 2=1【习题分析】将原方程变形为，两边相加即可得x2 + (y - 1)2 =1。3x2-y2=1【习题分析】原方程可化为 42cos2-2 =1。将cos= x， p2 = x2 + y2 代入上式，得 4x2 - x2 - y2 = 1，即 3x2 - y2 = 1。【计算】x=-2或2x-y+4=0或2x=y=4=0【习题分析】设直线的参数方程为(t 为参数) 代入圆的方程和抛物线的方程，化简并利用| AB | = | CD | tA + tD = tC + tB, 根据韦达定理可迅速获解。 【习题分析】设： ( t 为参数)，为直线的倾角，代入抛物线方程整理得： 2sin2 - (4cos) t + 8 = 0由韦达定理得 t1 + t2 = t1t2 =。弦长| t1 - t2 | = 8，整理得 4sin4+ 3sin2-1 = 0 解得 sin2= sin= 0 =或 即所求直线的方程为 y = (x + 2)，【习题分析】不能把原参数方程直接代入 y = 16x2 中，因为原参数不是 标准式，不具有几何意义，在求 | PM | 时不用两点间距离 公式，而用参数的几何意义直接得出。 因而解本题用到两个结论：1 弦的中点对应参数为： t =，2 点P(直线经过的定点)到弦中点M的距离|PM=|【习题分析】由+y2=1有P(2cos,sin)，则2x+y=4cos+sin= sin(+)(tan= 4), (2x + y)大=。若已知椭圆(圆或双曲线)上一点，用参数方程来设坐标较方便，用此法可以解决 Ax + By 型的最值问题。7,【习题分析】圆心C（1，0），求|AB|的最值，只需求AC的最值，设A（5cos,3sin） 用两点间距离公式求解|AC|。解决本题的关键在于将圆上的动点B转化到定点圆心C。，【习题分析】从椭圆中心(抛物线顶点)出发的线段长有关的问题，可将 直接代入普通方程，转化为极坐标方程, 设A（ 1，），B（2，）则有 SAOB=| 12 | 进一步处理。 e1【习题分析】设 P(acos, bsin)(0 90)，OPA=90有= -1 (a2-b2)cos2- acos2+ b2=0解得 cos=或cos=1(舍)。当1，即 a b，也即e b 0)上，OAOB，求AOB面积的最大值和最小值。椭圆+=1(a b 0)的右顶点为A，中心为O，若椭圆在第 一象限的弧上存在点P，使OPA=90，求离心率的范围。一1、求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程。2、已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。3、求椭圆。三、18四、14设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹五、19的底边以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。20在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆珠笔上一个运点，且的平分线交PA于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。六1已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。2求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。3在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。七、1参数方程表示什么曲线？2点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。3已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。八、1分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；2过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答案 田硕 A 【习题分析】与点M(,)关于极轴对称的点有(,-)或(-,-)，关于=所在直线对称的点有(-,-)或(,-)，关于极点对称的点有(-,)或(,+)。掌握好点与极坐标的对应关系，及点之间特殊的对称关系是很有用处的。D【习题分析】 化为4P=5。即=，表示抛物线，应选D。判断曲线类型一般不外乎直线、圆、圆锥曲线等，因此需化为相应方程即可。C【习题分析】点 P2 坐标为(-1, 2-1)也即为(1, 3-1)，点P1、P2关于=所在直线对称，应选C。 判断点的对称，应记忆好相应坐标之间的关系，必要时可结合图形。B 【习题分析】先将椭圆方程化为普通方程，得： +=1。然后由平移公式。及在新系中焦点（0, 4）可得答案，应选B。【填空】x2+(y-1) 2=1【习题分析】将原方程变形为，两边相加即可得x2 + (y - 1)2 =1。3x2-y2=1【习题分析】原方程可化为 42cos2-2 =1。将co