《初三数学竞赛题》word版.doc

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初三数学竞赛题【精选】亲爱的同行们，这不是病毒，这只是写在前面的话，答案在下面！一个倍感悲凉的数学竞赛辅导老师一年一度的全国初中数学竞赛又结束了，学生考完后带他们去吃了顿便饭，看到他们虽然考得一塌糊涂但是终于解放了的开心又带着一丝无奈的神情，我感到很揪心！下午一回到家，把儿子撂在一边，花了2个半钟终于全部做完，虽然感觉解题能力比起三年前已大打折扣，但还能全部做完并全部做对，还是感到一丝欣慰，毕竟还没有那么老去！然而，当我上各大数学论坛浏览今天的竞赛消息时，却再一次发现了令人震惊的网上预知竞赛题的事情（上一次是三年前的时候，后来因做班主任歇了2年没带竞赛），我不禁悲从中来，花那么多心血去辅导学生数学竞赛知识，却没有别人弄几道全真题来的便宜！这是什么世界啊？要知道，我的学生都是农村中学的，他们很多人连十字相乘法与切割线定理都是手把手教会的啊！以后真的不想再带竞赛了，因为，我只是一个普通而平凡的数学老师！我所能靠的只是自己的良心！在这场不公平的比赛中，失败注定伴我左右！附网上论坛地址：/bbs1/dispbbs.asp?boardid=13&Id=15523中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1已知非零实数a，b 满足2a-4+b+2+4=2a，则a+b等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2【答】C解：由题设知a3，所以，题设的等式为b+2+=0，于是a=3，b=-2，从而a+b12如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（ ） 1（A）12（B）12（C）1 （D）2【答】A解：因为BOC ABC，所以1a=aa+1BOAB=BCAC，即，所以， a2-a-1=0由a0，解得a=1+23将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 （A）ax+by=3，x+2y=2112只有正数解的概率为（ ）29（B） （C）518（D）1336 【答】D解：当2a-b=0时，方程组无解6-2bx=,2a-b当2a-b0时，方程组的解为2a-3y=.2a-b2a-b0,2a-b0,332a-b由已知，得即a,或a0,2a-bb3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得3，45，6a=2，共有 b=1，25210种情况；或a=1，5，6b=4，共3种情况1336又掷两次骰子出现的基本事件共6636种情况，故所求的概率为4如图1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，B=90. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由BCDA运动. 设点P运动的路程为x，ABP的面 2积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则ABC的面积为（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B 解：根据图像可得BC4，CD5，DA5，进而求得AB8，故S1ABC28416.5关于x，y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x，y）的组数为（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组【答】C解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+(2y2-29)=0由于该方程有整数根，则判别式D0，且是完全平方数由 D=y2-4(2y2-29)=-y72+1106，解得 y211616.57于是显然，只有y2=16时，D=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=-1,x2=-3；当y4时，原方程为x2-4x+3=0，此时x3=1,x4=3所以，原方程的整数解为x1=-1,x2=x3=1,y1=4; -3, y x4=3,2=4;y3=-4;y4=-4.二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）3 ）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 【答】3750解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为k5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有kykx+=k,50003000ky+kx=k,50003000两式相加，得k(x+y)5000+k(+x)y=2k3000，则 x+y=215000+13000=37507已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为 解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF 由题设知AC=13AD，AB=13AE，在FHA和EFA中， EFA=FHA=90，FAH=EAF所以 RtFHARtEFA， AHABAHAF13=AFAE.而AF=AB，所以=.8已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整 4数，若b是关于x的方程(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)=2009的整数根，则b的值为 【答】 10解：因为(b-a1)(b-a2)(b-a3)(b-a4)(b-a5)=2009，且a1，a2，a3a，a5，4是五个不同的整数，所有b-a1，b-a2，b-a3，b-a4，b-a5也是五个不同的整数又因为2009=1(-1)7(-7)41，所以b-a1+b-a2+b-a3+b-a4+b-a5=41由a1+a2+a3+a4+a5=9，可得b=109如图，在ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线若AC15，BC20，CD12，则CE的长等于 7 解：如图，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形，且ACB=90 作EFBC，垂足为F设EFx，由ECF=于是BF20x由于EFAC，所以即 解得x=607EFACx15=BFBC2012ACB=45，得CFx， ，20-x所以CE=71010个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 【答】-2 5解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8-x于是报7的人心里想的数是 12-(8-x)=4+x，报9的人心里想的数是 16-(4+x)=12-x，报1的人心里想的数是 20-(12-x)=8+x，报3的人心里想的数是4-(8+x)=-4-x所以x=-4-x，解得x=-2三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11已知抛物线y=x2与动直线y=(2t-1)x-c有公共点(x1,y1)，(x2,y2)， 且x12+x22=t2+2t-3.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：（1）联立y=x2与y=(2t-1)x-c，消去y得二次方程x-(2t-1)x+c=0 2有实数根x1，x2，则x1+x2=2t-1,c=x1x2=121222x1x2=c2所以 (x1+x2)-(x1+x2) 1=(2t-1)2-(t2+2t-3)(3t2-6t+4) 25分 把式代入方程得x-(2t-1)x+212(3t-6t+4)=02 10分t的取值应满足t+2t-3=x1+x22220， 且使方程有实数根，即D=(2t-1)-2(3t-6t+4)-2t+8t-72220， 6解不等式得 t-3或t1，解不等式得2-所以，t的取值范围为 2-22t2+2.t2+2. 15分(2) 由式知c=由于c=3232212(3t-6t+4)=12232(t-1)+212.2(t-1)+在2-122t2+2时是递增的，所以，当t=2-时,cmin=(2-2-1)+2=11-4. 20分12已知正整数a满足192a3+191，且a2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和解：由192a3+191可得192a3-1192=326，且a-1=(a-1)a(a+1)+1=(a-1)a(a+1)+(a-1)35分因为a(a+1)+1是奇数，所以26a3-1等价于26a-1，又因为3(a-1)a(a+1)，所以3a3-1等价于3a-1因此有192a-1，于是可得a=192k+115分1，L，10又0a2009，所以k=0，因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为11192（1210）10571 20分13如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论解法1：结论是DF=EG下面给出证明 5分 因为FCD=EAB，所以RtFCD RtEAB于是可得 7DF=BECDABCEAB 同理可得 EG=AD又因为tanACB=ADCD=BECE，所以有BECD=ADCEDF=EG20分解法2：结论是DF=EG下面给出证明 5分连接DE，因为ADB=AEB=90，所以A，B，D，E四点共圆，故CED=ABC 10分又l是O的过点C的切线，所以ACG=ABC 15分 所以，CED=ACG，于是DEFG，故DFEG20分L，an满足如下条件：1=a1a2Lan=2009； 14n个正整数a1，a2，L，an中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数求n的最大且a1，a2，值L，an中去掉ai后剩下的n1个数的算术平均数为正整数bi，解：设a1，a2，i=1，2L，n即 bi=(a1+a2+L+an)-ain-1于是，对于任意的1ijn，都有bi-bj=aj-ain-1，从而 n-1(aj-ai) 5分由于 b1-bn=an-a1n-1=2008n-1是正整数，故n-123251 10分由于 an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a2-a1) 8(n-1)+(n-1)+L+(n-1)=(n-1)2， 所以，(n-1)22008，于是n 45. 结合n-123251，所以，n 9 15分另一方面，令a1=80+1,a2=81+1,a3=82+1，a8=87+1， a9=8251+1，则这9个数满足题设要求综上所述，n的最大值为9.9 20分 羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂蒀薈蚀袄莆薇螃肀节薆袅袃膈薅薅肈肄蚄蚇袁莃蚃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂蚁肅膁蚁螃羈葿蚀袆膃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇莅螀羄肃莄袂膀莂莃薂羂莈莂螄芈芄莁袇肁膀莁罿袄葿莀虿聿莅荿螁袂芀蒈袃肇膆蒇薃袀肂蒆蚅肆蒁蒅袈袈莇蒅羀膄芃蒄虿羇腿蒃螂膂肅蒂袄羅莄薁薄膀芀薀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿羁羂肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃蚃羈肃蒅蒆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿螀蚂聿蒁薂羁肈膁螈袇膈芃薁螃膇莆螆虿膆薈蕿肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃蚃羈肃蒅蒆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿螀蚂聿蒁薂羁肈膁螈袇膈芃薁螃膇莆螆虿膆薈蕿肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃蚃羈肃蒅蒆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿螀蚂聿蒁薂羁肈膁螈袇膈芃薁螃膇莆螆虿膆薈蕿肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃蚃羈肃蒅蒆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿螀蚂聿蒁薂羁肈膁螈袇膈芃薁螃膇莆螆虿膆薈蕿肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃蚃羈肃蒅蒆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿螀蚂聿蒁薂羁肈膁螈袇膈芃薁螃膇莆螆虿膆薈蕿肈膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膂膂蚅蚂膂芄蒈羀芁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芇薅薃衿芆芅蝿螅袂莇薁蚁羁蒀螇罿羀腿薀袅羀节螅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂羆莈葿袈羅蒁蚅螄肄膀蒇蚀肄芃