matlab-4(数学实验)matlab编程求解线性代数.ppt

第四章 线性代数问题求解 矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量 4.1 矩阵 4.1.1特殊矩阵的输入 数值矩阵的输入 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B) 随机元素矩阵 若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵： A=rand(n,m) 生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵： A=rand(n) 对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： Vdiag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k) 例：diag( )函数的不同调用格式 C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵 V = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V) % 将列向量通过转置变换成行向量 V1 = 1 2 3 C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线上第 k条对角线为C的矩阵 V = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 生成三对角矩阵: V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1) V = 1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4 Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n) 求取逆Hilbert矩阵： B=invhilb(n) Hankel(汉克 ) 矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各 个元素定义为R。H为对称阵。 H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角 阵均为零的Hankel 矩阵 Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵 其中：P(s)为首项系数为一的多向式。 符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A) 例： A=hilb(3) A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 B=sym(A) B = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5 4.1.2 矩阵基本概念与性质 行列式 格式 ：d=det(A) 例：求行列式 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A) ans = 0 例： tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans = 1/23774547167685345090916442434276164401754 1983775348649303318533123441975931064458 5187585766816573773440565759867265558971 7656384197107933033865823241498112410235 5448916615471780963525779783680000000000 0000000000000000000000000 elapsed_time = 2.3140 高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。 矩阵的迹 格式： t=trace(A) 矩阵的秩 格式：r=rank(A) 用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶 次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。 例 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A) ans = 3 该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。 例 H=hilb(20); rank(H) 数值方法 ans = 13 H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵 ans = 20 矩阵范数 矩阵的范数定义： 格式： N=norm(A) 求解默认的2范数 N=norm(A，选项) 选项可为1,2,inf等 例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13; norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf) ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf) ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm( )函数，需先用double( ) 函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。 特征多项式 格式： C=poly(A) 例： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; poly(A) 直接求取 ans = 1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003 -2.819840539024018e-012 A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱 ans = x4-34*x3-80*x2+2720*x 矩阵多项式的求解 符号多项式与数值多项式的转换 格式： f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f) 例： P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多 项式 f=poly2sym(P,v) % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f) P = 1 2 3 4 5 6 矩阵的逆矩阵 格式： C=inv(A) 例： format long; H=hilb(4); H1=inv(H) H1 = 1.0e+003 * 0.01600000000000 -0.11999999999999 0.23999999999998 -0.13999999999999 -0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.67999999999984 0.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961 -0.13999999999999 1.67999999999984 -4.19999999999961 2.79999999999974 检验： H*H1 ans = 1.00000000000001 0.00000000000023 -0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.00000000000011 计算误差范数： norm(H*inv(H)-eye(size(H) ans = 6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 5.684341886080802e-014 H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H) ans = 0.00264500826202 H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 1.612897415528547e-005 H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018. ans = 53.23696008570294 H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 11.37062973181391 对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。 H=sym(hilb(7); inv(H) ans = 49, -1176, 8820, -29400, 48510, -38808, 12012 -1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -504504 8820, -317520, 2857680, -10584000, 18711000, -15717240, 5045040 -29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -20180160 48510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800 -38808, 1596672, -15717240, 62092800, -115259760, 100590336, -33297264 12012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 11099088 H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H) ans = 0 例：奇异阵求逆 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; format long; B = inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017. B = 1.0e+014 * 0.93824992236885 2.81474976710656 -2.81474976710656 -0.93824992236885 2.81474976710656 8.44424930131968 -8.44424930131968 -2.81474976710656 -2.81474976710656 -8.44424930131968 8.44424930131968 2.81474976710656 -0.93824992236885 -2.81474976710656 2.81474976710656 0.93824992236885 norm(A*B-eye(size(A) 检验 ans = 1.64081513306419 A=sym(A); inv(A) 奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具 箱的函数也不行 ? Error using = sym/inv Error, (in inverse) singular matrix 同样适用于含有变量的矩阵求逆。 例： syms a1 a2 a3 a4; C=a1 a2;a3 a4； inv(C) ans = -a4/(-a1*a4+a2*a3), a2/(-a1*a4+a2*a3) a3/(-a1*a4+a2*a3), -a1/(-a1*a4+a2*a3) 矩阵的相似变换与正交矩阵 其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。 相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等 均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。 对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正 交基矩阵。 例： A=5,9,8,3; 0,3,2,4; 2,3,5,9; 3,4,5,8; Q=orth(A) Q = -0.6197 0.7738 -0.0262 -0.1286 -0.2548 -0.1551 0.9490 0.1017 -0.5198 -0.5298 -0.1563 -0.6517 -0.5300 -0.3106 -0.2725 0.7406 norm(Q*Q-eye(4) ans = 4.6395e-016 norm(Q*Q-eye(4) ans = 4.9270e-016 例： A=16,2,3,13; 5,11,10,8; 9,7,6,12; 4,14,15,1; Q=orth(A) A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵 Q = -0.5000 0.6708 0.5000 -0.5000 -0.2236 -0.5000 -0.5000 0.2236 -0.5000 -0.5000 -0.6708 0.5000 norm(Q*Q-eye(3) ans = 1.0140e-015 4.2 线性方程组直接解法 4.2.1线性方程组直接求解矩阵除法 关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法 、选主元消去法、平方根法、追赶法等等， 在MATLAB中，只需用“”或“”就解决问题 。它内部实际包含着许许多多的自适应算法 ，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程 时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵 方程组时用追赶法等等。 格式： x=Ab 例：解方程组 A=.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129; .3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; x=Ab; x ans = -0.1819 -1.6630 2.2172 -0.4467 4.2.2线性方程组直接求解判定求解 例： A=1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2; B=5 1; 4 2; 3 3; 2 4; C=A B; rank(A), rank(C) ans = 4 ans = 4 x=inv(A)*B x = -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333 检验 norm(A*x-B) ans = 7.4738e-015 精确解 x1=inv(sym(A)*B x1 = -9/5, 12/5 28/15, -19/15 58/15, -49/15 -32/15, 41/15 检验 norm(double(A*x1-B) ans = 0 原方程组对应的齐次方程组的解 求取A矩阵的化零矩阵： 格式： Z=null(A) 求取A矩阵的化零矩阵的规范形式： 格式： Z=null(A, r ) 例： 判断可解性 A=1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2; B=1;3;2;6; C=A B; rank(A), rank(C) ans = 2 2 Z=null(A,r) % 解出规范化的化零空间 Z = 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000 x0=pinv(A)*B % 得出一个特解 x0 = 0.9542 0.7328 %全部解 -0.0763 -0.2977 验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随 机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(A*x-B) ans = 4.4409e-015 解析解 Z=null(sym(A) Z = 2, 3 -5/2, -7/2 1, 0 0, 1 x0=sym(pinv(A)*B) x0 = 125/131 96/131 -10/131 -39/131 验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(double(A*x-B) ans = 0 通解 syms a1 a2; x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x = 2*a1+3*a2+125/131 -5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131 摩尔彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解 不满足原始代数方程。 4.2.3 线性方程组的直接求解分析 LU分解 格式 l,u,p=lu(A) L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩 阵， p是代表选主元的置换矩阵。 故：Ax=y = PAx=Py = LUx=Py = PA=LU l,u=lu(A) 其中l等于P-1 L，u等于U，所以(P-1 L)U=A 例：对A进行LU分解 A=1 2 3; 2 4 1; 4 6 7; l,u,p=lu(A) l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 l,u=lu(A) lP-1 L l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角 矩阵的乘积。 求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足 A=QR。 格式： Q,R = qr(A) 例： A = 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12; Q,R = qr(A) Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0 Cholesky(乔里斯基 )分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯 一的对角元素为正的三角阵D，使得 格式： D=chol(A) 例：进行Cholesky分解。 A=16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22; D=chol(A) D = 4 1 2 0 2 -3 0 0 3 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 （1）LU分解： A*X=b 变成 L*U*X=b 所以 X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。 例：求方程组 的一个特解。 解： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; B=2 10 8; D=det(A) D = 0 L,U=lu(A) L = 0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0 U = 11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000 X=U(LB) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e- 017. X = 1.0e+016 * % 结果中的警告是由于系数行列式为 零产生的。 -0.4053 % 可以通过A*X验证其 正确性。 1.4862 1.3511 A*X ans = 0 8 8 （2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A 分解成上三角矩阵和其转置的乘积， 方程 A*X=b 变成 R*R*X=b 所以 X=R(Rb) （3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q 为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即： A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R(Qb) 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点 是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 三个变换 在线性方程组的迭代求解中，要用到系数 矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。 此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现 。 上三角变换： 格式 triu(A,1) 对角变换： 格式 diag(A) 下三角变换： 格式 tril(A,-1) 例：对此矩阵做三种变换。 A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1; triu(A,1) ans = 0 2 -2 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1) ans = 0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A); b ans = 1 1 1 4.3 迭代解法的几种形式 5.3.1 Jacobi迭代法 方程组 Ax=b A可写成 A=D-L-U 其中:D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的 严格下、上三角部分（不包括对角线元素）. 由 Ax=b x=Bx+f 由此可构造迭代法： x(k+1)=Bx(k)+f 其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A, f=D-1b. function y=jacobi(a,b,x0) D=diag(diag(a); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); B=D(L+U); f=Db; y=B*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end n 例：用Jacobi方法求解， 设x(0)=0,精度为10-6。 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0) n = 11 ans = 0.9958 0.9579 0.7916 4.3.2 Gauss-Seidel迭代法 由原方程构造迭代方程 x(k+1)=G x(k)+f 其中：G=(D-L)-1 U, f=(D-L)-1 b D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的严格下、上三角部 分（不包括对角线元素）. function y=seidel(a,b,x0) D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1); G=(D-L)U ;f=(D-L)b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end n 例：对上例用Gauss-Seidel迭代法求解 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; seidel(a,b,0;0;0) n = 7 ans = 0.9958 0.9579 0.7916 例：分别用Jacobi和G-S 法迭代求解,看是否收敛。 a=1 2 -2; 1 1 1; 2 2 1; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0) n = 4 ans = -27 26 8 seidel(a,b,0;0;0) n = 1011 ans = 1.0e+305 * -Inf Inf -1.7556 4.3.3 SOR迭代法 在很多情况下，J法和G-S法收敛较 慢，所以考虑对G-S法进行改进。于是引 入一种新的迭代法逐次超松弛迭代法 （Succesise Over-Relaxation),记为SQR法 。 迭代公式为： X(k+1)= (D-wL)-1(1-w)D+wU)x(k) + w(D-wL)-1 b 其中：w最佳值在1, 2）之间，不易计 算得到，因此 w通常有经验给出。 function y=sor(a,b,w,x0) D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1); M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)b*w; y=M*x0+f; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=M*x0+f; n=n+1; end n 例：上例中，当w=1.103时，用SOR法求解 原方程。 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; sor(a,b,1.103,0;0;0) n = 8 ans = 0.9958 0.9579 0.7916 4.3.4 两步迭代法 当线性方程系数矩阵为对称正定时 ，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭 代公式为： （D-L）x(k+1/2) =U x(k) +b （D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2) +b = x(k+1/2) =(D-L)-1 U x(k) + (D-L)-1 b x(k+1)= (D-U)-1 Lx(k+1/2) + (D-U)-1 b function y=twostp(a,b,x0) D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1); G1=(D-L)U; f1=(D-L)b; G2=(D-U)L; f1=(D-U)b; y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=1; while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=n+1; end n 例：求解方程组 a=10 -1 2 0; -1 11 -1 3; 2 -1 10 3; 0 3 -1 8; b=6; 25; -11; 15; twostp(a, b, 0; 0; 0; 0) n = 7 ans = 1.0791 1.9824 -1.4044 0.9560 4.4 线性方程组的符号解法 在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了 线性方程的符号求解函数，如 linsolve(A,b) 等同于 X = sym(A)sym(b). solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN ) 例： A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)； b=(9; 7; 6)； linsolve(A,b) ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans) ans = .99578947368421052631578947368421 .95789473684210526315789473684211 .79157894736842105263157894736842 例： x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0,x,y) x = 1 3 y = 1 -3/2 4.5 稀疏矩阵技术 稀疏矩阵的建立： 格式 S=sparse(i,j,s,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应 元素值为s。 例： n=5; a1=sparse(1:n, 1:n, 4*ones(1,n), n, n) a1 = (1,1) 4 (2,2) 4 (3,3) 4 (4,4) 4 (5,5) 4 例： a2=sparse(2:n, 1:n-1,ones(1,n-1),n,n) a2 = (2,1) 1 (3,2) 1 (4,3) 1 (5,4) 1 full(a2) ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角 线为1的三对角阵。 n=5; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2 a = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) 4 full(a) ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 格式 A=spdiags(B,d,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的 位置。 例： n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1), -1,0,1,n,n); full(b) ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 格式： spconvert(dd) 对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令 由外部数据转化为稀疏矩阵。 调用形式为：先用load函数加载以行表示对 应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命 令转化为稀疏矩阵。 例：无规律稀疏矩阵的建立。 首先编制文本文件sp.dat如下： 5 1 5.00 3 5 8.00 4 4 2.00 5 5 0 load sp.dat spconvert(sp) ans = (5,1) 5 (4,4) 2 (3,5) 8 full(ans) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0 稀疏矩阵的计算： 同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不 同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。 例：比较求解下面方程组n1000时两种方法的差别 。 n=1000; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2; b=ones(1000,1); tic; x=ab; t1=toc t1 = 0.4800 a=