选修2-1空间向量单元测试题(经典).doc

第三章单元质量评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()A. B.C. D.解析：在BCD中，因为G是CD的中点，所以()，从而()，故选A.答案：A2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1 B2C. D3解析：l1l2，ab0，代入可解得m2.答案：B3已知i，j，k为单位正交基底，a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()A15 B5C3 D1解析：i，j，k两两垂直且|i|j|k|1，5a3b(15i10j5k)(3i3j6k)45303015.答案：A4已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A30 B60C90 D120解析：设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos60，m，n60或120.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为60.答案：B5已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3，)，|ab|，cos，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.故选C.答案：C6如图，空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN.设xyz，则x，y，z的值分别为()A.， B.，C.， D.，解析：MG2GN，.故().答案：D7如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：不妨设CB1，则CACC12.由题图知，A点的坐标为(2,0,0)，B点的坐标为(0,0,1)，B1点的坐标为(0,2,1)，C1点的坐标为(0,2,0)所以(0,2，1)，(2,2,1)所以cos，.答案：A8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设该正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，M(0,1,0)，N(0,2,1)(2,1，2)，(0,2,1)，cos，0.异面直线A1M与DN所成角的大小是90.答案：D9如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，|A1B|AC|a，.因此，共面又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B10正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：设正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0,1,1)，A，又平面BB1C1C的一个法向量n(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值sin，得cos.答案：A11如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C D.解析：如图，作BDAP于D，作CEAP于E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222，cos，故选C.答案：C12如图，四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上，且PE2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)设平面BED的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n.又平面ABE的一个法向量为m(1,0,0)，cosn，m，即平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.答案：B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.解析：()().答案：14如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为_解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3)故cos，.答案：15已知正方体ABCDA1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有674，那么M点一定在平面_内解析：6646424，24，即24.故，共面，即M点在平面A1BCD1内答案：A1BCD116等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于_解析：设AB2，作CO平面ABDE，OHAB，连接CH，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，CH，OHCHcosCHO1.结合等边ABC与正方形ABDE可知四棱锥CABDE为正四棱锥，则ANEMCH，()，()，故EM，AN所成角的余弦值为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解：(1)().(2)()，x，y，z.18(12分)在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，E是BC的中点(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1DAC于点D，求点O1到点D的距离解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，E(1,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0,3,2)，(2,0,2)，(1,0，2)，cos，.故直线AO1与B1E所成角的余弦值为.(2)设D(x0，y0,0)，(x0，y0，2)，(2,3,0)，(x02，y0,0)且，|，点O1到点D的距离为.19(12分)如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.(1)求证：A1C平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值解：(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)设E(0,2，t)，则(2,0，t)，(2,0，4)BEB1C，404t0，即t1.故E(0,2,1)，(2,0,1)又(2,2，4)，(2,2,0)，4040，且4400.因此且，即A1CBD且A1CBE.故A1C平面BDE.(2)由(1)知(2,2，4)是平面BDE的一个法向量，又(0,2，4)，cos，.故A1B与平面BDE所成角的正弦值为.20(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA平面ABCD，PD与平面ABCD成30角 (1)若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：PA平面ABCD，ABPA.又ABAD，ADAPA，AB平面PAD.PDAB.又PDAE，ABAEA，PD平面ABE，BEPD.(2)PA平面ABCD，PAAD，PAAB.又ABAD，AP，AB，AD两两垂直如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)，(0,2a,0)PA平面ABCD，ADP是PD与平面ABCD所成的角ADP30.AD2a，PA2atan30a，P.，.设n(x，y，z)为平面PCD的一个法向量，则即取x1，则n(1,1，)是平面PCD的一个法向量易知(0,2a,0)为平面PAB的一个法向量，cosn，.平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.21(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D，E分别为棱C1C，B1C1的中点(1)求点B到平面A1C1CA的距离；(2)求二面角BA1DA的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由解：(1)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，CC1底面ABC，CC1BC.ACCB，BC平面A1C1CA，BC的长即为点B到平面A1C1CA的距离BC2，点B到平面A1C1CA的距离为2.(2)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，C1CCBCA2，ACCB，D，E分别为C1C，B1C1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，E(0,1,2)，(0，2,1)，(2，2,2)设平面A1BD的法向量为n(，1，)，则即，解得，n(1,1,2)由(1)知平面ACC1A1的法向量为(0,1,0)，cosn，即二面角BA1DA的余弦值为.(3)设在线段AC上存在一点F(x,0,0)，使得EF平面A1BD.欲使EF平面A1BD，由(2)知当且仅当n.(x,1,2)，x1，故存在唯一一点F(1,0,0)满足条件，F为AC的中点22(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C