电磁波与电磁场——第十章.ppt

第十章 电磁辐射及原理 主 要 内 容 电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶 原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射 。 1. 电流元辐射 2. 天线的方向性 3. 对称天线辐射 4. 天线阵辐射 5. 电流环辐射 6. 对偶原理 7. 镜像原理 8. 互易原理 9. 惠更斯原理 10. 面天线辐射 10-1. 电流元辐射 一段载有均匀同相的时变电流的导线称为电流元，这是一种最简 单的天线。 电流元的直径 d 远小于长度 l， 而其长度又远小于波长以及观 察距离。 这里所谓的均匀同相电流是指导线上各点电流的振幅相等 ，且相位相同。 研究电流元的辐射特性具有重要的理论价值与实际意义。任何线天 线均可看成是由很多电流元连续分布形成的，电流元是线天线的基本单 元。很多面天线也可直接根据面上的电流分布求解其辐射特性。 电流元的电磁辐射很富有代表性，它具备的很多特性是其它天线所 共有的。 设电流元位于无限大的空间，周围介质是均 匀线性且各向同性的理想介质。先建立直角坐标 系，令电流元位于坐标原点，且沿 z 轴放置，如 左图示。 利用矢量磁位 A 计算其辐射场。那么该线电流 I 产生的矢量磁位 A 为 p126 式中r 为场点， r 为源点。 由于 ，可以认为上式中 ，又因电流仅具有z 分量，即 ，因此 式中 为了讨论天线的电磁辐射特性，使用球坐标系较为方便。那么，求 得上述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为 r Il z y x , A Az Ar -A 再利用关系式 ，求得磁场强度 各个分量为p345 利用麦克斯韦方程 根据已知的磁场强度即可计算电场强度，其结果为 上述结果表明，在球坐标中，z 向电流元场强具有 ， 及 三个分量，而 。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为TM 波。 距离远小于波长(r )的区域称 为远区。 我们将会逐渐体会到物体对于电磁场的影响，其绝对的几何尺寸是无关紧 要的。具有重要意义的是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几 何尺寸称为物体的波长尺寸。 位于近区中的电磁场称为近区场，位于远区中的电磁场称为远区场。 近区场。因 ， ，则上式中的低次项 可以忽略 ，且令 ，那么 将上式与静态场比较可见，它们分别是恒定电流元 Il 产生的磁场及 电偶极子 ql 产生的静电场。场与源的相位完全相同，两者之间没有时差 。 这些特点表明，虽然电流元的电流随时间变化，但它产生的近区场 与静态场的特性完全相同，无滞后现象，所以近区场称为似稳场。 电场与磁场的时间相位差为 ，能流密度的实部为零，只存在虚部。 可见近区场中没有能量的单向流动，能量仅在场与源之间不断交换，近 区场的能量完全被束缚在源的周围，因此近区场又称为束缚场。 远区场。因 ， ，则上式中的高次项可以忽略， 结果只剩下及两个分量 和 ，经整理后得 式中 为电流元周围媒质的波阻抗。 上式表明，电流元的远区场具有以下特点： （1）远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r 垂直，可见远区场为TEM波，电场与磁场的关系为 。 （2）电场与磁场同相，复能流密度仅具有实部。又因单位矢量 与 的矢积为 ，可见能流密度矢量的方向为传播方向 r。这就表 明，远区中只有不断向外辐射的能量，所以远区场又称为辐射场。 （3）远区场强振幅与距离 r 一次方成反比，场强随距离增加不断衰减。 这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是球面波固有的扩散特性导致的。因 为通过包围电流元球面的功率是一定的，但球面的面积与半径平方成正比 ，因此能流密度与距离平方成反比，场强振幅与距离一次方成反比。 （4）远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的方位也有关， 即在相等距离上处于不同方向的辐射场不等，这种特性称为天线的方向性 。场强公式中与方位角 及 有关的函数称为方向性因子，以 f (, ) 表 示。 由于电流元沿Z 轴放置，具有轴对称特点，场强与方位角 无关，方 向性因子仅为方位角 的函数，即 。可见，电流元在 = 0 的 轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 = 90方向上辐射最强。 （5）电场及磁场的方向与时间无关。可见，电流元的辐射场具有线极化 特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。 除了上述线极化特性外，其余四种特性是一切尺寸有限的天线远区场 的共性，即一切有限尺寸的天线，其远区场为TEM波，它是一种辐射场 ，其场强振幅不仅与距离r 成反比，同时也与方向有关。 当然，严格说来， 远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形成 能量交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而构成能量辐射部分的场 强振幅与距离r 成反比，因此，远区中能量的交换部分所占的比重很小。 相反，近区中能量的辐射部分可以忽略。 天线的极化特性和天线的类型有关。天线可以产生线极化、圆极化 或椭圆极化。当天线接收电磁波时，天线的极化特性必须与被接收的电 磁波的极化特性一致。否则只能收到部分能量，甚至完全不能接收。 例如，只有当线天线的导线与被接收的电磁波电场方向一致时，才 能在导线上产生最大的感应电流。当两者垂直时，不可能产生感应电流 ，因而不可能收到该电磁波。 为了计算电流元向外的辐射功率Pr，可将远区中的复能流密度矢量 的实部沿半径为r 的球面进行积分，即 式中Sc 为远区中的复能流密度矢量，它应等于位于远区的球面上的电 场强度 与磁场强度的共轭值 的矢积，即 根据（10-1-6） 那么，若周围为真空，波阻抗 Z = Z0 = 120，则辐射功率 为 式中I 为电流强度的有效值。 由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。 为了衡量天线辐射功率的大小，以辐射电阻Rr表述天线的辐射功率 的能力，其定义为 那么，电流元的辐射电阻 为 例 若位于坐标原点的电流元沿 x 轴放置，试求其远区场公式。 解 因 ， ，式中 相应的各球面坐标分量为 已知 ，对于远区场仅需考虑与距离r 一次方成反比的分 量，因此，求得远区磁场强度为 又知远区场是向正 r 方向传播的TEM波，因此，电场强度 E 为 由此可见，对于 x 方向电流元，不同场分量具有不同的方向性 因子。此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同。由此可见， 改变天线相对于坐标系的方位，其方向性因子的表示式随之改变。 但是并不以为意味天线的辐射特性发生变化，只是数学表达式 不同而已。正如前述，电流元在其轴线方向上辐射为零，在与轴线 垂直的方向上辐射最强。电流元的辐射场强与方位角 无关。 10-2.天线的方向性 天线的方向性是天线的重要特性之一。任何天线都具有方向性，向 各个方向均匀辐射能量的无向天线实际中是不存在的。这一节将介绍如 何定量地描述天线的方向性。 由上节知，表征天线方向性的方向性因子 是方位角 及 的函 数。实际中使用归一化方向性因子 比较方便，其定义为 式中 fm 为方向性因子的最大值。 显然，归一化方向因子的最大值 Fm= 1。这样，任何天线的辐射场的 振幅可用归一化方向性因子表示为 式中 为最强辐射方向上的场强振幅。 利用归一化方向性因子可用图形描绘天线的方向性。通常以直角坐标 或极坐标绘制天线在某一平面内的方向图。使用计算机绘制的三维空间的 立体方向图更能形象地描述天线辐射场强的空间分布。 已知电流元的方向性因子为 ，其最大值 ，所以该 电流元的归一化方向性因子为 若采用极坐标，以 为变量在任何 等于常数的平面内，函数 的变化轨迹为两个圆，如左下图示。 将左上图围绕 z 轴旋转一周，即构成 三维空间方向图。 由于与 无关，在 的平面内，以 为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图 示。 下图以极坐标绘出了典型的雷达天线的方向图。方向图中辐射最强 的方向称为主射方向，辐射为零的方向称为零射方向。具有主射方向的 方向叶称为主叶，其余称为副叶。 为了定量地描述主叶的宽窄程度，通常定义：场强为主射方向上场 强振幅的 倍的两个方向之间的夹角称为半功率角，以 表示；两个 零射方向之间的夹角称为零功率角，以 表示。 方向性系数，以 D 表示。 定义：当有向天线在主射方向上与无向天线在同一距离处获得相等 场强时，无向天线所需的辐射功率 与有向天线的辐射功率 之比值， 即 式中 为有向天线主射方向上的场强振幅， 为无向天线的场强振幅 。 已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向。因此，有向天线所需 的辐射功率一定小于无向天线的辐射功率，即 。可见， 。方向 性愈强，方向性系数 D 值愈高。 方向性系数通常以分贝表示，即 已知有向天线的辐射功率 Pr 为 式中S 代表以天线为中心的闭合球面。 根据无向天线的特性，其辐射功率应为 求得 任何实际使用的天线均具有一定的损耗，天线获得的输入功率， 只有其中一部分功率向空间辐射，另一部分被天线自身消耗。因此， 实际天线的输入功率大于辐射功率。天线的辐射功率Pr与输入功率 PA 之比称为天线的效率，以 表示，即 那么，若知天线的方向性因子，根据上式即可计算方向性系数。 已知电流元的归一化方向性因子 ，代入上式，求得电 流元的方向性系数 D = 1.5。 描述实际天线性能的另一个参数是增益，以G表示。其定义与方向 性系数类似。但是，增益是在相同的场强下，无向天线的输入功率PA0与 有向天线的输入功率 PA 之比，即 若假定无向天线的效率 ，那么由上述关系，得 天线增益通常也以分贝表示，即 目前卫星通讯地面站使用的大型抛物面天线，方向性很强，且效率 也很高，其增益通常高达50dB以上。 10-3.对称天线辐射 对称天线是一根中心馈电的，长度可与波长相比拟的载流导线，如下 图示。 其电流分布以导线中点为对称，因此被称 为对称天线。 若导线直径 d 远小于波长，电流沿线分布 可以近似认为具有正弦驻波特性，因为对称天 线两端开路，电流为零，形成电流驻波的波节 。电流驻波的波腹位置取决于对称天线的长度 。 设对称天线的半长为L，在直角坐标系中沿 z 轴放置，中点位于坐 标原点，则电流空间分布函数可以表示为 式中 Im 为电流驻波的空间最大值或称为波腹 电流，常数 。 既然对称天线的电流分布为正弦驻波，对 称天线可以看成是由很多电流振幅不等但相位 相同的电流元排成一条直线形成的。这样，利 用电流元的远区场公式即可直接计算对称天线 的辐射场。 已知电流元 产生的远区电场强度应为 由于观察距离 ，可以认为组成对称 天线的每个电流元对于观察点P 的指向是相同 的，即 ，如左图示。 那么，各个电流元 在 P 点产生的远区电场方向相同，合成电场为 各个电流元远区电场的标量和，即 考虑到 ，可以近似认为 。但是含在相位因子中的不能以r 代替 r，由于 ，可以认为 若认为周围媒质为理想介质，那么对称天线的远区辐射电场为 求得对称天线的方向性因子为 由此可见，对称天线的方向性因子与方位角 无关，仅为方位角 的函数。 2L = /22L = 2L = 2 2L = 3/2 几种长度的对称天线方向图如下图示。 全长为半波长的对称天线称为半波天线。令 ，代入前式，求得 半波天线方向性因子为 例 根据辐射电阻及方向性系数的定义，计算半波天线的辐射电阻及方 向性系数。 解 根据半波天线的远区电场公式，求得半波天线的辐射功率为 若定义半波天线的辐射电阻为 ，则 对称天线的电流分布是不均匀的，线上各点电流振幅不同，因此 选取不同的电流作为参考电流，辐射电阻的数值将不同。通常选取波 腹电流或输入端电流作为辐射电阻的参考电流，求得的辐射电阻分别 称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐射电阻。对于半波天线，其 输入端电流等于波腹电流，因此上述辐射电阻可以认为是以波腹电流 或者以输入端电流为参考的辐射电阻。 将半波天线的归一化方向性因子代入下式 求得半波天线的方向性系数 D = 1.64。可见，半波天线的方向性系数比 电流元稍大一些，表示半波天线的方向性较强。 半波天线 由上图可见，半波天线的方向图为两个较扁窄的圆。 电流元 求得半波天线的方向性系数 D = 1.64。可见，半波天线的方向性系数比 电流元稍大一些，表示半波天线的方向性较强。 10-4.天线阵辐射 为了改善和控制天线的方向性，通常使用多个简单天线构成复合天 线，这种复合天线称为天线阵。 适当地设计各个单元天线的类型、数目、电流振幅及相位、单元天 线的取向及间隔，可以形成所需的方向性。 若天线阵中各个单元天线的类型和取向 均相同，且以相等的间隔 d 排列在一条直线 上。各单元天线的电流振幅均为I ，但相位 依次逐一滞后同一数值 ，那么，这种天 线阵称为均匀直线式天线阵，如左图示。 若仅考虑远区场，且观察距离远大于天线阵的尺寸，那么可以认为 各个单元天线对于观察点P 的取向是相同的。 又因各单元天线的取向一致，因此，各个单元天线在P 点产生的场强 方向相同，这样，天线阵的合成场强等于各个单元天线场强的标量和，即 根据天线远区辐射场的特性，第 i 个单元天线的辐射场可以表示为 式中Ci 决定于天线类型。 对于均匀直线式天线阵，因各单元天线类型相同，则。 又因取向一致，故 。 设电流I1=I,电流逐一滞后的相位差为，则 若单元天线之间的间隔为d，与前同理，对于远区可以认为 将上述结果代入前式，求得 n 元天线阵的合成场强的振幅为 令 式中 则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为 式中 称为阵因子。 上述均匀直线式天线阵沿Z轴放置，因此方向性因子仅为方位角 的 函数。对于一般天线阵，它可能是方位角 及 的函数。 若以 表示天线阵的方向性因子，则 式中 为单元天线的方向性因子， 为阵因子。由此可见，均匀 直线式天线阵的方向性因子等于单元天线的方向性因子与阵因子的乘积 ，这一规则称为方向图乘法规则。 由此可见，阵因子与单元天线的数目n、间距 d 及电流相位差 有关。这 就意味着，天线阵的方向性不仅与单元天线的类型有关，而且还与单元 天线的数目、间距及电流相位有关。 已知天线阵的阵因子为 适当地变更单元天线的数目、间距及电流相位，即可改变天线阵的 方向性。因此，可以根据给定的方向性，确定天线阵的结构，这就是天 线阵的综合问题。 不难导出，阵因子达到最大值的条件为 该条件意味着场强的空间相位差(kdcos )恰好抵消了电流的时间相 位差。因此，各个单元天线产生的场强相位相同，阵因子达到最大值。 由上式求得阵因子达到最大值的角度 为 由此可见，阵因子的主射方向决定于单元天线之间的电流相位差及 其间距。 连续地改变单元天线之间的电流相位差，即可连续地改变天线阵的 主射方向。这样，无须转动天线，即可实现在一定范围内的方向性扫描 ，这就是相控阵天线的工作原理。 各个单元天线电流相位相同的天线阵称为同相阵。因 ，由上 式得 此结果表明，若不考虑单元天线的方向性，则天线阵的主射方向垂直于 天线阵的轴线，这种天线阵称为边射式天线阵。 若单元天线之间的电流相位差 ，由前式得 此结果表明，若不考虑单元天线的方向性，则天线阵的主射方向指向电 流相位滞后的一端。这种天线阵称为端射式天线阵。 下图给出了由两个半波天线构成的几种二元阵的方向图。 0 d = /2 00 d = /2 0 2 d = /4 根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因。 例 某直线式四元天线阵，由四个相互平行的半波天线构成，如左下 图示。单元天线之间的间距为半波长，单元天线的电流同相，但电流 振幅分别为 ， ，试求与单元天线垂直的 平面内 的方向性因子。 解 由半波天线的方向图得知，在图 示的yz平面内，单元天线没有方向性， 因此天线阵的方向性仅决定于阵因子 。由于单元天线的电流振幅不等，不 能直接利用前述的均匀直线式天线阵 公式。 但是单元天线和可以分别分解为两个电流均 为 I 的半波天线。这样，该四元天线阵可以分解 为两个均匀直线式三元同相阵。两个三元阵又构 成一个均匀直线式二元同相阵，且间距仍为半波 长，如左图示。 那么，根据方向图乘法规则，上述四元天线阵在 yz 平面内的方向性 因子应等于均匀直线式三元同相阵的阵因子与二元同相阵的阵因子的乘 积，即 式中 10-5. 电流环辐射 电流环是一个载有均匀同相时变电流的导线圆环，其圆环半 径 a 远小于波长 ，也远小于观察距离 r 。 设电流环位于无限大的空间，周围媒质是均匀线性且各向同 性的。建立直角坐标系，令电流环位于坐标原点，且电流环所在 平面与平面一致，如下图示。 显然，在相应的球坐标系中，因结构 对称于 z 轴，电流环的场强一定与角度 无关。为了简单起见，令观察点位于 平面 。 已知线电流产生的矢量位为 由p128得知，对于P点，以下关系成立 因 ，可以认为上式中 将以上两式代入（10-5-1）中，得 式中 为电流环的面积。 利用关系式 ，求得电流环产生的磁场为p345 再利用关系式 ，求得电流环产生的电场为 由此可见，电流环产生的电磁场为TE波。 对于实际中所感兴趣的远区场，因 ，则只剩下 及 两个 分量，它们分别为 上式表明，电流环的方向性因子为 可见，与位于坐标原点的 z 向电流元的 方向性因子完全一样，如左图示。 电流环所在平面内辐射最强，垂直 于电流环平面的 z 轴方向为零射方向。 与前类似，可以求得电流环的辐射功率 Pr 和辐射电阻 Rr 分别为 比较电流元及电流环的场强公式可见，两者非常类似。但是，电流 元的磁场分量H 相当于电流环的电场分量E ，电流元的电场分量E相 当于电流环的磁场分量H 。 例 某复合天线由电流元及电流环流构成。电流元的轴线垂直于电流 环的平面，如下图示。试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化 特性。 解 令复合天线位于坐标原点，且电流 元轴线与 z 轴一致，则该电流元产生的 远区电场强度为 E = E1 y x I1 z I2 E = E2 E = E1 y x I1 z I2 电流环产生的远区电场为 那么，合成的远区电场为 若I1与I2的相位差为 ，则合成场为线极化。 因 ，可见上式中两个分量相互垂直，且振幅不等，相位相差 。因此，若 I1与 I2 相位相同，合成场为椭圆极化。 该复合天线的方向因子仍为 。 10-6.对偶原理 前已指出，电荷与电流是产生电磁场的惟一源。自然界中至今尚未 发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些电磁场问题，引入假想的磁荷 与磁流是有益的。 引入磁荷与磁流后，认为磁荷与磁流也产生电磁场。那么，前述 描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下：p170 式中 J m(r) 磁流密度； m(r) 磁荷密度。 P171(7-2-3)磁荷守恒定律: 如果将上述电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷及电流产生的 电场 及磁场 ；另一部分是由磁荷及磁流产生的电场 及 磁场 ，即 将上式代入(10-6-1)，由于麦克斯韦方程是线性的，那么由电荷和 电流产生的电磁场方程，以及由磁荷和磁流产生的电磁场方程分别如下 ： 将上述两组方程比较后，可以获得以下对应关系： 这个对应关系称为对偶原理或二重性原理。 对偶原理建立了电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的 电磁场之间存在的对应关系。因此，如果我们已经求出电荷及电流 产生的电磁场，只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的 关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷 与磁流产生的电磁场。 例如，根据 z 向电流元 Il 的远区场公式p297(10-16)即可直接推出 z 向磁流元Iml产生的远区场应为 将磁流元远区场公式与前节电流环的远区场公式比较可见，两者场 分布非常类似。因此位于 xy 平面内的电流环即可看作为一个 z 向磁流 元。由此可见，虽然实际中并不存在磁荷及磁流，但是类似电流环的天 线可以看作为磁流元。 引入磁荷 m 及磁流 J m 以后，麦克斯韦方程的积分形式与前不同 ，涉及的两个方程为p170 那么，由麦克斯韦方程积分形式导出的前述边界条件必须加以修正。但 是，上两式仅涉及电场强度的切向分量和磁场强度的法向分量，即电场 强度的切向分量和磁场强度的法向分量边界条件修改如下： 式中 为表面磁流密度， 为表面磁荷密度， 由媒质指向媒质 ，如下图示。 1, 1 2, 2 et en E1t E2t B1n B2n p172电场切向分量连续；p173磁感应强度的法向分量连续 已知磁导率 的理想导磁体，其内部不可能存在任何电磁场， 但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流。那么，理想导磁体的边界条 件为 10-7.镜像原理p82 静态场中的镜像原理的理念同样也适用于时变电磁场，但是也仅 能应用于某些特殊的边界。这里仅讨论无限大的理想导电平面和无限 大的理想导磁平面两种边界。 设时变电流元 Il 位于无限大的理想 导电平面附近，且垂直于该平面，如左 图示。为了求解这种时变电磁场的边值 问题，可以采用镜像原理。 Il E0 r0 E+ E- 为此，在镜像位置放置一个镜像电流元 ，且令 ， 。以镜 像电流元代替边界的影响以后，整个空间变为媒质参数为, 的均匀无限 大空间。 同时考虑到正弦时变电流与时变电荷的关系为 。时变电流元的 电荷积累在电流元的两端，上端电荷 ，下端电荷 ，如下图示 。 -q q E Il Il -q q -q q Il 由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无限大的空间，因此可以 通过矢量位 A 及标量位 的积分公式计算场强。 电流元 Il 产生的电场强度为p176 式中 类似地，可以求得镜像电流元 产生的电场为 式中 对于边界平面上任一点， ， 。各分量电场的方向如左 图示。已设 ，故 ，又 ，因此，合成电场 的方向垂直 于边界平面，即边界平面上的电场切 向分量为零。这就证明了引入的镜像 电流元满足给定的边界条件。 由于此时镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同，这种镜像 电流元称为正像。 类似地，可以证明位于无限大理想导电平面附近的水平电流元的镜 像电流元为负像。位于无限大的理想导电平面附近的磁流元与其镜像磁 流元的关系恰好与电流元情况完全相反，如下图示。 电流元磁流元 由此可见，从天线阵理论的角度来看，镜像法的求解可归结为二元天 线阵的求解。 实际地面对天线的影响，也可应用镜像原理。但是，由于地面为非 理想的导体，严格理论分析表明，只有当天线的架空高度以及观察点离 开地面的高度远大于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用镜像法。 如左图示，此时上半空间任一点场强 可以认为是直接波 E1 与来自镜像的地面反 射波 E2 之合成，且认为 E1 与 E2 的方向一 致。因此，合成场为直接波与反射波的标 量和，即 式中R 为地面反射系数。 由于地面处于天线的远区范围，天线的远区场具有TEM波性质，反 射系数 R 可以近似看成是平面波在平面边界上的反射系数，它与天线远 区场的极化特性、反射点的地面电磁参数以及观察点所处的方位有关。 这样，地面对天线的影响可以归结为一个非均匀二元天线阵的求解。 例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为l、电流为I 的电流元的辐射场 强、辐射功率及辐射电阻。地面当作无限大的理想导电平面。 解 根据题意，假定电流元如上左图所示。按照镜像原理，对于无限大 的理想导电平面，垂直电流元的镜像为正像。因此，上半空间的场强等 于长度为2l 的电流元产生的辐射场，即 可见，长度为l 的垂直电流元接地以后，其场强振幅提高一倍。 考虑到接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率时应将能流 密度仅沿上半球面进行积分。即辐射功率为 对应的辐射电阻 Rr 为 由此可见，垂直电流元接地后，其辐射电阻也提高一倍。 中波广播电台，为了使电台周围听众均能收到信号，其天线通常 是一根悬挂的垂直导线或自立式铁塔，它可以看成是一种垂直接地天 线，在水平面内没有方向性。对于中波波段的电磁波，地面可以近似 当作导电体。 中波收音机使用的磁棒天线可以等效为一种与磁棒一致的磁 流天线。因此，使用这种磁棒天线接收电台信号时，磁棒必须水 平放置，且磁棒应与被接收电磁波的到达方向垂直。如果磁棒垂 直于地面，或者磁棒与被接收电磁波的到达方向一致，均会导致 接收效果显著变坏。 短波广播电台或者远距离通信电台通常使用高悬的水平放置 的半波天线。由于天线的架空高度能与波长达到同一量级，地面 的影响归结为一个二元天线阵。调整天线的架空高度，即可在与 半波天线轴线垂直的铅垂面内形成具有一定仰角的主射方向，以 便将电磁波射向地面上空的电离层，因为短波远距离传播依靠电 离层反射。 8. 互易原理 设区域 V 内充满各向同性的线性媒质，其中两组同频源 及 分别位于有限区域 Va 及 Vb 内，如下图示。 两组源与其产生的场量满足的麦克斯韦方程分别为 利用矢量恒等式 ，由麦克斯韦方 程可以求得下面两个方程： 上两式分别称为互易原理的微分形式和积分形式。 若闭合面 S 仅包围源 a 或源 b，则分别得到下列结果： 由此可见，互易原理描述了两组同频源及其产生的场强之间的关 系。因此，若已知一组源与其场的关系，利用互易原理可以建立另一 组源与其场的关系。 若闭合面 S 不包括任何源，则上述面积分为零，即 若闭合面 S 包括了全部源，则上述面积分也为零。由于源 a 仅存在 于 中，源 b 仅存在于 中，前式右端体积分仅对区域 求积即可 。这样，无论 S 的大小如何，只要 S 包围了全部源，它都应等于右端对 的积分。 由此可见，前式左端的面积分应为常量。为了求出这个常量，令S面 无限地扩大至远区范围，由于位于有限区域内的一切源，其远区场具有 TEM波特性，即 ，此处 Z 为波阻抗， 为传播方向上的单位矢 量，它应等于包围体积 V 的闭合面 S 的外法线方向上的单位矢量。那么 ，将此结果代入前式，则左端面积分被积函数中两项相互抵消，导致面 积分为零，即上式成立。 因此，只要闭合面S 包围了全部源，或者是全部源位于闭合面 S 之外， 则下式均会成立 该式称为罗仑兹互易定理。 既然上式成立，那么前式右端体积分为零，即 或者写为 此式称为卡森互易定理。 上述互易定理成立并不要求空间媒质是均匀的，那么可以证明，当V 中局部区域内存在理想导电体或理想导磁体时，卡森互易定理应该仍然 成立。 因为根据矢量混合积公式，可得 上两式中 及 均表示相应场强的切向分量。 当电磁场由远区闭合面 S 与理想导电体表面或理想导磁体表面包围 时，前式左端的面积分的表面应理解为远区闭合面 S 与理想导电体表面 或理想导磁体表面之和。考虑到远区场特性，理想导电体和理想导磁体 的边界条件，前式左端面积分仍然为零。因此，卡森互易定理仍然成立 。 例 利用互易定理，证明位于有限尺寸的理想导电体表面附近的切向 电流元没有辐射作用。 求得 但是 故只可能 解 如上图示，切向电流元 位于理想导电体表面附近。 应用卡森互易原理，并考虑到电流元 Il = (JdS)l = JdV，以及 9. 惠更斯原理 包围波源的闭合面上各点场都可作为二次波源，它们共同决定了闭 合面外任一点场，这就是惠更斯原理。这些二次波源称为惠更斯元。 S 源 ES HS P EP HP 设包围波源的闭合面S上场为ES及HS ，闭合面外P点的场强为EP及HP ，那么， 惠更斯原理表明，是由整个闭合面上全部 ES, HS共同决定的，如左上图示。 为了导出EP,HP与ES,HS之间的定量关 系，以一个半径为无限大的球面S包围整 个区域，如左下图示。场点 P 位于闭合面 S 与S之间的无源区V 中。 x V S S r P 源 z y O en en r r r 若以(r) 表示 V 中任一点场强的某一直角坐标分量，则在无源区V 中(r) 应该满足齐次标量亥姆霍兹方程，即 为了求解上式，定义一个格林函数 ，它满足下列方程 且满足齐次边界条件 ，式中 = 0 或 = 0, 或 及 均不为零。 无限大自由空间中的格林函数以 ，它满足下述辐射条件 式中 。该条件表示无限大自由空间中的格林函数 至少与距 离一次方成反比。 对于上述由闭合面 S 和S包围的无限大区域V，应用第二标量格林 定理，且令 ， ，得 经过一系列推演，求得 已知一切辐射场的振幅至少与距离一次方成反比，同时考虑到自由 空间格林函数满足辐射条件，因此上式右端的面积分 。那么 通过严格的数学推演，或者利用标量位的解可以求出自由空间格林 函数的表示式为 前式表明，闭合面 S 外任一点场强的某一直角坐标分量，可以根据 波面 S 上的相应直角坐标分量沿闭合面S 积分求得。 既然各个直角坐标分量都可用前式表示，那么三个直角坐标分量相 加以后，求得闭合面S 外任一点场强 与闭合面上的场强 的关系 式如下： 上式称为基尔霍夫公式。因为它是通过直角坐标分量利用标量格林定理 导出的，故称为标量绕射公式。 基尔霍夫公式是惠更斯原理数学描述的一种形式。除此之外，还有 其它数学公式描述惠更斯原理。应该注意，无论任何描述惠更斯原理的 数学公式均要求积分表面必须是闭合的。闭合面外任一点场强取决于闭 合面上全部惠更斯元。当然，闭合面上各点的惠更斯元对于空间某点场 强的贡献有所不同。显然，主要贡献来自于闭合面上面对场点的惠更斯 源。因此，忽略闭合面上背向场点的惠更斯元贡献是工程允许的。 既然惠更斯原理说明闭合面外任一点场强取决于闭合面上全部惠更 斯元。那么，这就意味着电磁能量由波源到达场点的过程中电磁波传播 要占据一定的空间，而不是沿一条线传播。认为到达场点的电磁能量仅 沿一条线传播的观点即是几何光学的射线原理。理论证明，只有当电磁 波的波长为零时，其传播轨迹才是一条曲线。因此，使用几何光学原理 描述电磁波的传播特性是一种近似方法，通常称为几何光学近似。当然 ，波长越短，几何光学方法的近似程度越高。 10. 面天线辐射 微波波段常用的几种天线如下图示。 口 径 抛物面天线 口 径 透镜天线喇叭天线 口 径 由图可见，这类天线都是通过一个平面口径向外辐射电磁能量，因 此，这类天线称为面天线。 面天线辐射场的求解可以分为两步：首先求出口径场，然后，根据口 径场再求解空间场。口径场的求解称为面天线的内部问题，空间场的求解 称为外部问题。内部问题的求解方法与天线类型有关。这里仅介绍如何根 据口径场利用前述的基尔霍夫公式计算空间辐射