f1311导数的背景：曲线在某点处的切线、瞬时速度.ppt

第三章 导数 3.1.1曲线的切线 一.曲线的切线 y=f(x ) P Q M x y O x y P y=f(x ) Q M x y O x y 如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+x,y0+y)为P邻近 一点，PQ为C的割线， PM/x轴,QM/y轴， 为PQ的倾斜角. P Q ox y y=f(x) 割 线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即x0时 ,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限. 注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限 （2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; （3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可 以有多个,甚至可以无穷多个. （3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？ 例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M Dy Dx 求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步 ： （1）求y； 求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率， 然后利用点斜式求切线方程. 练习:如图,已知曲线 , 求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y- 16=0. 一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物 体在t到t+t这段时间内的平均速度为 二、瞬时速度： 平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地 描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的 快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映. 物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+t这 段时间内，当t0时的平均速度的极限； 例3: 物体作自由落体运动,运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，. 求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 解: (1)将 t=0.1代入上式，得: (2)将 t=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s). 练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度. 求瞬时速度一般可以分为三步： （1）求s； （1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义； 小结： 能求曲线在点P处切线的斜率及方程； （2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度 能求某时刻的瞬时速度 备用:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和