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13 多元函数的偏导数 在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但 若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义 设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的 某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作 称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量. 定 义 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏 导数. 即 此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则 称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在. 类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成 为 y 的一元函数. 则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数. 即 若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的 偏导数都存在, 即(x, y)D, 存在. 此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导 函数. 简称偏导数. 类似定义 z 对 y 的偏导函数. 1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导 数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函 数来定义的. 注 因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可. 2.f x (x0, y0) 就是 f x (x, y) 在点(x0, y0)的值. 算 f x (x0, y0) 可用3种方法. f y (x0, y0)f y (x, y) f y (x0, y0) (1) 用定义算. (2) 先算 f x (x, y), 再算 f x (x0, y0) f y (x, y), f y (x0, y0). (3)先算 f (x, y0), 再算 f x (x, y0) 再算 f x (x0, y0) f (x0, y), f y (x0, y), f y (x0, y0). 例1. 解: 或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6, 故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8. 例2. 解: 例3. 解: 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) . 它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可. 例4. 解: 由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏 导数的几何意义. 设 z = f (x, y) 在点 X0=(x0, y0) 处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则 二、偏导数的几何意义 f x (x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 . 1 上点 M0(x0, y0 , z0)处切线 对 x 轴的斜率. 而 f y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 .2 上点 M0(x0, y0 , z0) 处切线对 y 轴的斜率. 故只须搞清一元函数 f (x, y0)的几何意义. 就可 得到 f x (x0, y0)的几何意义. 以平面 y = y0与曲面z = f (x, y)相截, 得截线 1 : z = f (x, y) y = y0 也就是 z = f (x, y0). 且 M0 (x0, y0 , z0)在 1 上. 即 z = f (x, y0)表示平面 y = y0与曲面 z = f (x, y) 的交线1. z = f (x, y0)上点M0处的切线对 x的斜率. 如图 y x z o z = f (x, y) X0 M0 即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的 切线对 x 的斜率. T1 1 : z = f (x, y0) 1 y0 y x z o z = f (x, y) M0 X0 2 2 : z = f (x0 , y) 类似得 f y (x0, y0)的几何意义. 如图 即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的 交线在 M0处的切线对 y 的斜率. x0 T2 在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续. 三、偏导与连续的关系 例5. 设 证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都 存在, 但它在 (0, 0)不连续. 证: 前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不 存在, 因此它在 (0, 0)不连续. = 0 = 0 故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续. 下证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在. 从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一 元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的. 同理, f y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续. 换句话说, 当 X 从任何 方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)的极限都是 f (X0). 显然, 上边两个条件都不能保证它成立. 例. 易知, f (x, y) 在(0,0)的两个偏 导都存在,且为0. 但它在(0, 0)不连续. 如图 y x z o 14 多元函数的微分 一般说来, 算这 个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式. 该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度. 在实际中,常需计算当两个自变量都改 变时, 二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量 f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0). 一、全微分的概念 类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义. 记 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0). = f ( X+X ) f (X0). 其中 X0 = (x0, y0). X = (x, y) 称为 z = f (X) = f (x, y)在点X0 = (x0, y0) 的全增量. 设 z = f (X) = f (x, y)在U(x0)内有定义. 若 z = f (x, y)在点(x0, y0) 的全增量 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0)能表成 z = ax +by + 0 (| X |) 其中a, b是只与x0, y0有关, 而与x, y无关的常数. 定 义 称 ax +by 为 z= f (x, y)在点(x0, y0)处的全微分. 则称 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微. 1.按定义, z = f (x, y)在点(x0, y0)可微 注 2.若 z 在点 X0 = (x0, y0)可微 即 z ( ax +by ) = 0 (| X |) 3.若 z = f (x, y)在区域 D 内处处可微. 则 称 z = f (x, y)在 D 内可微. z 在(x, y)D 处的 全微分记作 dz. 即 dz = a (x, y)x + b (x, y) y 它实际上是一个以 x, y , x , y为自变 量的四元函数. 对照一元函数的微分, z = f (x), 若z = ax +0 (x) 则dz = ax = f (x) x . 自然会提出以下问题. (1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = ax +by中系数 a, b 如何求, 是否与z的偏导有关 ? (2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二 元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价? (3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是 否也对? 设 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 要证 z 在(x0, y0)连续. 则 z = f (x0+x, y0+y) f (x0, y0) 令x 0, y 0, 由最后一式知, z 0. 结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏 导) z 在(x0, y0)连续. 若 z = f (x, y)在点 X =(x, y)处可微, 则 z = f (x, y)在点(x, y)处两个偏导 证:因 z 在(x, y)处可微, 由定义, z 的全增量. 此式对任何充分小的x, y 都成立. 且 z 在 (x, y)处的全微分为 定理定理1 1 特别, 当 y =0时, 有 同除以 x ( 0), 并令x 0. 得 = a 定理1回答了问题1, 并指出二元函数z = f (x, y) 可微 存在两个偏导, 反之不对. 右端式子也可写出. 可能不是全微分. 从而 z 不能写成定义中的形式, 故不可微. 例1. 证明 z 在 (0, 0)处的两个偏导存在, 但 z 在 (0, 0)不可微. 证: 由偏导定义 = 0 = 0 而 故 z 在 (0, 0) 不可微. 若 z = f (X) = f (x, y)的两个偏导数f x (x, y), f y (x, y)在X0 = (x0, y0)的某邻域 U(x0)内存在, 且它们都在 X0 = (x0, y0)连续 , 则 z = f (x, y)在 (x0, y0)可微. 定理2 因 f x (x, y), f y (x, y)在U(x0)内存在. 证: 由偏导数的定义, 以及一元函数可导 与连续的关系知. 对于固定的 y , 以x为自变量的一元 函数 z = f (x, y) 在该邻域所对应的 x 的区 间上连续, 可导. 从而它们都满足拉格朗日中值定理条 件(在相应区间上). 以 y为自变量的一 元函数 z = f (x, y)在该邻域所对应的 y 的 区间上连续, 可导. 对于固定的 x , z = f (x0+x, y0+y) f (x0, y0) = f (x0+x, y0+y) f (x0, y0+y) + f (x0, y0+y) f (x0, y0) 在上式第一括号中, 将 y0+y 固定. 则它是以 x 为自变量的一元函数 f (x, y0+y) 在x0, x0+x上的改变量. 因 f (x, y0+y)在 x0, x0+x上满足拉格朗日中值定理条件, 从 而, 取 (x0+x, y0+y) U (X0) f (x0+x, y0+y) f (x0, y0+y) = f x(x0+1x , y0 +y x , 其中 011 同理 f (x0, y0+y) f (x0, y0) = f y(x0, y0 +2y y , 021 故 z = f x(x0+1x , y0 +y x + f x(x0, y0 +2y y 因 f x (x, y), f y (x, y)都在(x0, y0)连续. 由极限与无穷小量的关系, 其中 1 0, (x 0, y 0时) 有 f x(x0+1x , y0 +y) = f x(x0, y0)+1 有, f y(x0, y0 +2y) = f y(x0, y0)+2 其中 2 0, (x 0, y 0时) 因此, z = f x(x0, y0)x +f y(x0, y0)y +(1x +2y) 由于 z = f x(x0+1x , y0 +y x + f x(x0, y0 +2y y f x(x0+1x , y0 +y) = f x(x0, y0)+1 易见 |1 |+|2 |0, (x 0, y 0时) 由全微分的定义知, z = f (x, y)在 (x0, y0)可微. 即 在点 X 处雅可比向量(矩阵). 也记作(z). 2.若 z = f (X)在区域 D 内有一阶连续偏导 . 则记 f (X)C1(D) 3.和一元函数微分一样, 自变量 x, y 的微 分就等于它们的改变量, 即 dx = x , dy = y . 且记 dX = (dx , dy) 最后一式表数量积. 4. 全微分的概念可推广到三元以上的函数中去. 且, 若 u = f (x, y, z)可微, 则 因此,全微分公式可写为 例2. 求 z = x2 cos xy 的全微分. 解: 故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy 例3. 求 z = exy 在点(2, 1)处的全微分. 解: 故 dz = yexydx + xexydy 例4. 求 u = xyz 的全微分. 解: 故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy = xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy) 设多元函数 f (X), g(X)在点 X 可微, 则 (1) d(f (X) g(X) = df (X) dg(X) (2) d( kf (X) = kd f (X) , k为常数. (3) d(f (X) g(X) = g(X)d f (X) + f (X)dg(X) (4) 其中, g(X) 0. 定理3 设 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)的某邻 域 U(X0)内存在偏导数 f x 和 f y , 则对任意的 X = (x, y) U(X0), 至少存在两点 X1 = (1, 1), X2 = (2, 2) U(X0) , 使得 证: 回忆一元函数拉格朗日中值定理. 二、微分中值定理 定理4 由于f x 和 f y 在U(X0)内存在.而对于固定的 y, f (x, y) 是以 x 为自变量的一元函数, 在对应的 x 的区间上连续, 可导. 满足拉格朗日中值定理条件 . 有 同理, 其中, 1介于x0, x 之间, 2 介于 y0, y 之间. (x0, y) X=(x, y) X2 X0 = (x0, y0) U(X0) X1 记 1 = y , 2 = x0 , 有 一般, 若n元函数 z = f (X)在点X0 的某邻域 U ( X0 )内存在对各变量的偏导, 则对 任意的X = (x1, x2, , xn)U (X0), 存在 n 个点 设 z= f (X)= f (x, y) 在闭区域DR2上连续, 在开区域 D 内存在连续偏导数 f x 和 f y . 若点 X0 = (x0, y0), X1 = (x1, y1)D, 直线段 X1 X2 X0 D 如图 使得 定理5 证: 如图. 它与曲面 z= f (x, y) 有蛟线. 是平面 上的曲线, 对应的函 数将满足拉格朗日 中值定理条件, 进 而可证得结果. x z