实际问题与二次函数精品利润问题.ppt

26.3 实际问题与二次函数 1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找 方法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题. 1.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a0）的最值 ？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公 式. （1）配方法求最值 （2）公式法求最值 2.当x= 时，二次函数y=x22x2有 最大值. 1 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场 经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 26.3 实际问题与二次函数 某种品牌的电脑进价为3000元，售价3580元 . 十月份售出20台，则每台电脑的利润为 ，十月份的利润为 . 十一月份每台售价降低100元，结果比十月份 多售出10台，则销售每台电脑的利润为 ，十一月份的利润为 . 580元11600元 480元 14400元 每件产品的利润=售价-进价 销售总利润=每件产品的利润销售数量 销售问题常用数量关系： 一、自主探究 问题1. 某商品现在的售价是每件60元，每星 期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价 格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件；已知 商品的进价为每件40元，要想获得6000元的利 润，该商品应定价为多少元？ 问题1 某商品现在的售价是每件60元，每星期可 卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨 价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为 每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应定 价为多少元？ 若设销 售单价x元，那么每件商品的利润 可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6000元 利润可列方程 . x-40 300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6000 问题2. 某商品现在的售价是每件60元， 每星期可卖出300件。市场调查反映：如 果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖 出10件，已知商品的进价为每件40元.该 商品定价为多少元时，商场能获得最大利 润？ 例1：某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件.市场 调查反映：每涨价1元，每星期要 少卖出10件；每降价1元，每星期 可多卖出20件.已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润 最大？ 请大家带着以下几个问题读题: （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？ 某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商 品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式 。涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件, 销售额为 元，买进商品需付 元,因此所得利润为 元 10x(300-10x) (60+x)(300-10x)40(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0X30) 怎样确定x的 取值范围？ 解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10(x-5)2-25-600 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元） (0x30) 怎样确定x的 取值范围？ 还可以用顶点坐标公式解: (0X30) 可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点点是函数图像的最高点 ，也就是说当，也就是说当x x取顶点取顶点 坐标的横坐标时，这个坐标的横坐标时，这个 函数有最大值。由公式函数有最大值。由公式 可以求出顶点的横坐标可以求出顶点的横坐标 . . 当当x x = _ = _时，时，y y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_元，元， 即定价即定价_元时，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是_._. 5 5 5 5 65 65 6250 6250元元 (5,6250) 结合图 像理解 在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。 解：设降价x元时利润为y元，则每星期可多卖20x件，实际卖 出（300+20x)件，销售额为(60-x)(300+20x)元，买进商品需付 40(300+20x)元，因此，得利润 做一做 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗? (0x20) 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最 大利润为6250元. （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值。 四、自主拓展 在上题中,若商场规定试销期间获利不得低 于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时 ，商场可获得最大利润？最大利润是多少？ 某商品现在的售价为每件60元，每星期可 卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星 期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出 20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价 才能使利润最大？ 解：设商品售价为x元，则x的取值范围为 40(140%)x40(160%) 即56x64 若涨价促销,则利润 y=(x-40)300-10(x-60) =(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2-4225-36000 =-10(x-65)2+6250 60x64 由函数图像或增减性知当 x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销,则利润 y=(x-40)300+20(60-x) =(x-40)(1500-20x) =-20x +2300x-60000 =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 56x60 当x=57.5时y最大,最大 值为6125元. 综上：x=64时利润最大,最大值为6240元. 三、自主展示: 某超市经销一种成本为每件40元的商品据市 场调查，如果按每件50元销售，一周能售出500件 ；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件设 销售单价为x元(x50)，一周的销售量为y件. (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系 式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随 着单价的增大而增大？ (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况 下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应 定为多少？ （2）S=(x40)(1000-10x) =10x21400x-40000 =10(x70)2+9000 当50x70时，利润随着单价的增大而增大. 解：（1）y=50010(x50) =1000- 10x(50x100) (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况 下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应 定为多少？ 解：（3）10x21400x-40000=8000 解得：x1=60,x2=80 当x=60时，成本=4050010（6050） =1600010000不符要求,舍去. 当x=80时，成本=4050010（8050） =800010000符合要求 所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润 达到8000元的同时，投入不超过10000 元 利达销销售店为为某工厂代销销一种建筑材料（这这里的代销销是 指厂家先免费费提供货货源，待货货物售出后再进进行结结算，未售 出的由厂家负责处负责处 理）。当每吨售价为为260元时时，月销销售量 45吨，该经销该经销 店为为提高经营经营 利润润，准备备采取降价的方式进进 行促销销，经经市场调查发现场调查发现 ，当每吨售价每下降10元时时，月 销销售量就会增加7.5吨，综综合考虑虑各种因素，每售出一吨建 筑材料共需支付厂家及其他费费用100元，设设每吨材料售价为为x 元，该经销该经销 店的月利润为润为 y元。 （1）当每吨售价是240元时时，计计算此时时的月销销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值值范围围）； （3）该经销该经销 店要获获得最大月利润润，售价应应定为为每吨多少元； （4）小明说说：“当月利润润最大时时，月销销售额额也最大”，你认为认为 对吗对吗 ？请说请说 明理由。 1（2010包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两 段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则 这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 2.某商店购进购进 一种单单价为为40元的篮篮球，如果以单单价50元售 出，那么每月可售出500个，据销销售经验经验 ，售价每提高1元 ，销销售量相应应减少10个. (1)假设销设销 售单单价提高x元，那么销销售每个篮篮球所获获得的利 润润是_元，这这种篮篮球每月的销销售量是 个(用 x的代数式表示) (2)8000元是否为为每月销销售篮篮球的最大利润润? 如果是，说说明理由，如果不是，请请求出最大月利润润, 此时篮时篮 球的售价应应定为为多少元? x+1050010x 8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元， 此时篮球的售价为70元. 3.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查， 销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单 价每降低1元，平均每天就可以多售出100件. （1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的 利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的 取值范围； （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种 小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= 销售收入购进成本） 解：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=100x2+600x+5500 （0x11 ） （2）y=100x2+600x+5500 （0x11 ） 配方得y=100（x3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元. 即降价为3元时，利润最大. 所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元. 答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元. 4. 我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元 ，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的 全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器， 于是每只降价0.10(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只 计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元. (1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少 只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有: 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50. 答：一次至少买50只，才能以最低价购买 (2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可） (3)将 配方得 ，所以店主一次卖 40只时可获得最高利润，最高利润为160元.（也可用公式 法求得） 5.（2010安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需 求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本 的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1）班数 学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1x20且x为 整数）的捕捞与销售的相关信息如表： （1）在此期间该养殖场每天的捕 捞量与前一末的捕捞量相比是如 何变化的？ （2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且 能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之 间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本） 试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出