(高等数学)第三章导数与微分.doc

高等数学第三章讲义导数与微分周世国蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀肃聿蚀蚂袆蒈虿袄肂莄蚈羇羅芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁螄羃羁芇螄蚃膇膃莀螅罿聿荿羈膅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肄莀蒄螆袇芆蒃衿肃膂蒂蚈袅膈蒂螀膁蒆蒁袃羄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄薈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿膆莅薆螁罿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薂螈肅芇蚁袀袈膃蚀薀 第三章 导数与微分第一节 导数的概念一 两个引例引例1.已知某物体做自由落体运动，其运动规律（即位移函数）为，.试讨论时刻落体的速度（）.解：先取一邻近于的时刻，落体在这一段时间内的平均速度为 因为，在处连续，所以反映了落体在时刻的近似快慢程度，显然当越接近于时，这种近似精确度越高. 于是，定义 （1）一般地，一质点做直线运动，设其位移函数为，若为某一确定的时刻，则称极限为质点在时刻的速度或变化率.引例2.设有曲线，试求曲线上点处切线的斜率.假设在处连续.解：首先要明确一个概念：何谓曲线在处的切线？它应该定义为曲线在点处割线的极限位置，因此切线的斜率就应该是割线的斜率取极限.（作图） 在曲线上的附近任取一点Q，可作一条割线Q，设，则 显然当Q越接近于点，这种近似计算的精确度越高.于是，令 （2）注意：引例1与引例2的实际背景相差很大，但最后要求的量的数学结构却完全相同，将他们在数量关系上的共性抽象出来，就有下面的导数的概念。二.导数的概念1.定义1：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为2.导数的等价定义：如果记，则定义1可改为：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为3.导数的另一种等价定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为注意：（1）导数定义的本质是变化率的极限，至于表现为何种极限形式，这没有本质的区别，我们在使用时可根据需要选择其中的一种.但根据我的经验，定义1在实际计算时用得教多；而第一种等价定义在理论证明时用得教多；最后一种等价定义则很少用，只在一些考察导数概念的习题中偶尔出现. （2）如果不存在，则称函数在处不可导。4.左、右导数的定义：若设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处左可导，称为函数的左可导点，且称上述极限值为函数在处的左导数，记为；类似地可定义. .显然有定理1.在处可导在处左可导且在处右可导。5.导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率；（请同学们自己写出曲线在点处切线及法线的方程.）导数的物理意义：做变速直线运动的物体的瞬时速度、加速度.要特别关注处的导数定义形式：；若更特殊，还有，则。例1 已知曲线，试求在处的导数。解：这里 因为例2 已知=A，试求下列极限的值 （1） （2）。例3研究函数在处的可导性.解：因为，所以； 同理，可求得 由于，所以在处不可导。注意：大家还记得在上一章，我们证明了在处是连续的,那函数在一点处连续与可导之间究竟有何联系？请看下面的三可导与连续间的关系定理2.设函数在内有定义，则若在可导则必在处连续；反之未必，即若在连续，在处未必可导.证明：（必要性）设若在可导， 即存在， 则， 反之，可以例3为反例.四.导函数1.定义2.若函数在内每一点处都可导则称为在内可导的函数；若在内满足：（1）在内可导；（2）都存在，则称在上可导的函数。.一般地，设在区间I上可导，对，则极限存在，且它是区间I上关于的一个函数，称之为在区间I上的导函数，记为或简记为. 注意：（1）记号是莱布尼兹首先引用的，物理学中牛顿用记号表示； （2）是一个整体记号，不可理解为除以，但可把理解为对函数施行求导数运算（3）导函数在处的值为：，这正是以第一种等价定义形式定义的函数在处的导数值.上式揭示出导函数与函数在一点处的导数值之间的关系，在以后，我们就很少单独某一个函数在具体点处的导数值，而试图算出常见函数的导函数的表达式，并把它背下来.当需要实际计算在具体点处的导数值时，只须将该点代入导函数的表达式。有同学可能会有疑问：常见函数非常多，如何能做到求出所有这些常见函数的导数，并且还会背？其实，我们只需要会求、会背基本初等函数的导函数，再结合为数不多的几个求导法则，即可顺利求出任何一个初等函数的导函数. （4）今后，在不至于引起混淆的情况下，也将导函数简称为导数.大家可以从记号上轻易看出到底要求的是导数还是导函数.例4，求；例5求；注意：其实有,为实数） 练习：求.例6，求；注意：特别地，例7，求；注意：特别地.例8，求；自做，求； 看这意思，我准备求出所有基本初等函数的导数表达式.不错！我这一次课的最终目标是要建立起一个基本导数表（见书第111页）.但我下面不准备继续按导数的定义来求剩余的基本初等函数的导数，因为他们可以在下一节利用求导法则来计算. 第三章 导数与微分第二节 求导的法则一四则求导法则 定理1.若函数均在可导，则（1） 函数在也可导，且；（2） 函数在也可导，且；（3） 函数在也可导，且.证明：只证第一个.推论1.；推论2.推广：（1）三个以上的函数的线性组合求导： （2）三个以上函数的乘积求导（以三个为例） .例1求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例2求的导数.例3.求的导数. . 注意：为复合函数，从上例可见，对复合函数求导不可直接套用基本导数表，等一会儿，我们将专门讨论复合函数的求导问题.例4求；自求；例5求；自求二.反函数求导法则 定理2.若函数，其反函数为.若在的某邻域 内连续、严格单调且，则在点可导，且 -（1） 证明:设 所以，. 已知在的某邻域 内连续、严格单调且，则其反函数相应的邻域 内也连续且严格单调.于是，当时，有 .当时，有. 从而， 故例6求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据定理2，有 .练习：自己求出.（可利用恒等式）例7求的导数.解：设原函数为，则其反函数为. 根据定理2，有 . 自己求得：.注意：以上例6、例7的结果要求会背.三复合函数求导法则 引例：大家可能还有印象：复合函数的导数是 。（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则 ， 故此题恰好满足等式： （*） 这是否是巧合的？我们说不是。事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理3.若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且 或 （或-（2） 称上式为复合函数求导的链式法则,证明：设处获得增量,由，则u相应地也获得增量；再由，则相应地也获得增量。 已知处也可导，所以 ，所以， ，其中.故，。 当，可能有=0；当时，显然有，=0，从而上式也成立，但此时没有定义，为使当时也有意义，将在点0处作连续开拓，定义。 上式两端用除之，有：因为可导必连续，故当时，有，从而， 所以， .所以，获证.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如： 对函数，如记，则各变量间的关系是： 有-（3）（4） 式可通过连续使用两次（2）式得到.大家不难将（3）式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则。不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例8求的导数.解：记，则,由（2）式，有 注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？（2）正确写法是： ；（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代; (4) 显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，不会改变最后的结果.（5）现在我可以解答在第0章中一个不太好回答的问题了：将复合函数分解，究竟分解到何时为止？答：分解到无须用链式法则为止.例2求的导数.解：记，则. 例3求的导数。解：先将分解为基本初等函数，即 . 由（3）式，得注意：既然例3中最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程。例4（重做例3）解：注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，只至去掉最后一层.打个形象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法.（2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允许用第二种写法.（4）有一种较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误.例4求的导数.解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型。 =.例5求的导数.解： 练习：1.求的导数.2求；3 求的导数.注意：其实最难的还是抽象的复合函数的求导，因为最容易犯记号错误.例6，求y的导数.注意：要纠正几种常见的错误。例7，求y的导数.例8设，若有导数,证明：.证明： 其中, 是因为(无穷小)且(有界量).例9证明：若为偶，且在处可导，则.证1 ：因为 上式两边同时求导： -（*） （*）式中，以代入，则.注意：证法1是错的，为何？而下面的证法2是对的：证2： 例10设且证明：证明：因为又所以， 注意：证明的过程中用到了下述结论：如果 存在，则 也存在.例11确定的值，使（）在内处处可导，并求它的导函数.解：（一）因为可导必连续，所以在处连续，即 .-（1） 其中，；所以，。因此，必有，；（二）因为以在处可导，所以，应满足： .其中，.所以，。且：例12.设在内有定义,且对任意的都有 (1).又,求.解:由定义 因为(1)式,所以 (2)又因为故 (3) 因此 例13.已知是周期为5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式.其中是当时比高阶的无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.解(一):因 (1)故 即 从而. (2)(二) (3)且 故右(3)式可得, (三) 注意到是周期为5的连续函数,所以有且因此,曲线在点处的切线方程为 我们知道导数是利用函数的极限来计算的,现在我们反其道而行之,利用导数的定义来计算函数的极限.例14.求解:原式 例15.求解:原式第三章 导数与微分 第三节 高阶导数一.高阶导数的概念1.定义：设函数在内可导，若极限 存在，则称函数在处二阶可导，并称此极限（即一阶导函数在处的导数）为在处的二阶导数，记为： 注意：（1）如果导函数在区间I的每一点处都可导，则二阶导数 是区间上的函数，称为的二阶导函数，简称的二阶导数. （2）同样，可定义三阶导数 一般地，称的n-1阶导函数在处的导数为在处的n阶导数，表为; （3）二阶以上的导数，称为高阶导数，也称普通的导数为一阶导数；原函数为零阶导数； （4）若为路程函数，则 ； （5）由高阶导数的定义可知，计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式逐阶求下去，最后归纳出n阶导数的一般形式.例1.，求；例2.，求；例3.，求特别地，；例4.，求；类似，求；例5.，求；例6.，求；例7.，求； 注意：做题的过程中不要整理，合并，以便于归纳出一般规律.例8.，求 注意：此法称拆项法，请同学们试做，求二莱布尼兹公式 定理：设函数均在处阶可导，则也在处阶可导，且 证明：可用数学归纳法证之.证明：（一）时，左=右，结论显然成立；（注意：这里 （二）假设当n=k时命题成立，即 则当 n=k+1时， 其中，；（注意：这里用到了连加结果与下标的记号无关.） 所以，.（注意：这里用到了一个组合等式：.）这样，就证明了当n=k+1时命题也成立.所以，由数学归纳法，知命题对任何自然数成立.例9，求.例10，求.解：.-（1）由莱布尼兹公式，得（ （1）式两边同时求阶导数） -（2） 将代入（2）式，得 -（3） 又故由（3）式递推可得：例11已知具有任意阶导数，且，求证明：因为，所以 ， ，归纳可得：。我们说，最难求的还是抽象的复合函数的高阶导数.例12，求.解： .所以 注意：要给同学们讲清记号与的区别。例13试从，推导解：（一）注意到： 所以，（二）注意到： .例14设是二阶可导函数，选择 使在内二阶可导.解：（一）因为在内二阶可导，所以，及 必连续. 于是， 1；-（1） 2 其中，； 所以，.-（2）从而， （二）又由存在，所以， 。其中， 所以，.-（3）第三章 导数与微分第四节 隐函数及参数方程确定的函数求导一.隐函数求导1.何谓隐函数？：微积分研究的函数主要是用解析法表示的，而应用解析法表示的函数也有多种不同的方式.隐函数就是用解析法表示函数的另一种方式.何谓隐函数？指的是当自变量与因变量之间的对应法则是由方程所确定的.例如：由方程就可确定一个隐函数或象上述这种能将由方程确定的隐函数“用显式表达”的方程称为可以显化的.但并非所有的隐函数都能从方程中“显化”，比如：超越方程：就不可显化.关于由方程确定的隐函数在满足何条件下确实存在、隐函数的连续性及可导性等，我们将在下册详细讨论。本节课我们研究这样的问题：假设所给的方程确实有可导的隐函数，而方程又未必可以显化，如何去求其导数.2.隐函数的求导法 其实隐函数非常简单，只有一个技巧；两边同时求导.例1求由方程所确定的函数的导数解：根据复合函数求导法则，对自变量求导，有 ，从中解得：例2.设确定了一个隐函数，求解：（一）方程两边对自变量求导，有 -（1） 所以，-（2） 由（1）式，有-（3） （3）式两边对再求导，得：-（4） 将（2）式代入（4）式，有： 注意：（1）欲求，必要用到的结果； （2）也可通过对（1）式两边再求导的方法得到； （3）请大家考虑以下：从上题如何求？例3.求的导数.解： 对上式两边关于求导，得： 例4。求的导数。（解： 对上式两边关于求导，得：注意：例3、例4的解法称为对数求导法，请大家体会以下它的适用范围.二.参数方程求导 在高中平几中已学过曲线的参数方程表示方法，如：椭圆的参数方程是：，其隐函数方程为，均比直接用显函数表示： 简单。当然，以参数方程表示为最简.若要求由参数方程确定的函数的导数，应怎样计算？ 一般地，设，如果在可导，且 ，则有反函数，从而，为的复合函数. 所以， 例5.求摆线在处的切线方程。解：，所以， 又，时，所以，切点为，因此，切线方程为：。三.相关变化率设，即与都是第三变量的函数，因此它们的变化率与间也存在一定的联系，这两种互相联系的变化率称为相关变化率.常需要从已知的一个变化率去求另一个相关变化率. 例6.溶液自水深18厘米，顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10厘米的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满溶液。已知当溶液在漏斗中深为12厘米时，其表面下降的速率为每分钟1厘米，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解：设时刻漏斗中水深，液面半径，筒中水深.（作图） 则设盛满溶液时漏斗体积为 则上式两边同时关于求导，得： ， 所以，代入 所以，.第三章 导数与微分第四节 微分一.引例 前面研究了导数，有时候，我们需要单独计算的值.显然，它是关于的函数。比如，设，则有. 一般说来，当的 表达式稍微复杂一点时不好求，比如，。而在很多实际问题中，我们对的精确值并不感兴趣，只要能求出它的满足一定精度的近似值即可.为此，我们有一个想法：能否用关于的函数一个较简单的函数作为的近似替代值？当然，必须保证这种近似计算带来的精度.我们知道关于的最简单的函数莫过于线性函数了. 于是，我们可以把想法提得更诱人一点：在满足一定的条件下，可否用性函数近似替代？ 即，？当然，为了保证精度，还因应有： （？）如果可以做到，我们就称函数在点处可微分.下面看一个具体的例子。1引例.（热胀冷缩现象）一均匀的正方形薄铁片热胀后其边长由原来的变为。试求其面积增大了多少？解：设边长为的正方形薄铁片的面积为， 则所求面积的增大量即为面积函数 在 处的增量 ：注意：此引例中，果然可表示成两个部分之和，其中的部分称为的线性主部；我们就称之为函数在处的微分，记为：.显然，在这样的记号下，.有的同学这样问：干脆把也忽略不更简单吗？这种说法有没有道理？二.微分的概念1.定义1.若函数在处的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在处可微分，并称为在处的微分，记作，或者. 注意：由微分的定义可见，当在处可微分时且很小时，有下述的近似计算公式： .-（1）2.可微与可导间的关系定理1.函数在可微函数在可导.证明：（必要性）若函数在可微，即 ，其中是与无关的常数，用除上式等号两端，有 于是，所以，函数在可导，且。 （充分性）若函数在可导，即存在，根据有极限函数与无穷小之间的关系，有或 ，其中 是与无关的函数；是关于高阶无穷小.注意：（1）由定理1的证明可见，当函数在处可微分时，； （2）一元函数的可导性与可微性是等价的； （3）微分的几何解释（作图）：在的充分小的邻域内，可用处的一小段切线段来近似替代处的一小段曲线段； （4）如果在区间I上每一点处都可微，则称为区间I上的可微函数，在区间I上的微分记作：-（2） （5）在不至于引起混淆的情况下也可简为记.例1.，计算在时的.解：， .所以，注意：此例中，若用，则由此产生的绝对误差是;相对误差是例2，求解：.注意：（1）由例2可见，自变量的微分等于自变量的增量，即。（之所以如此，是因为本身就是线性函数。） （2）故. （3）由上式，两边同除以由可得到：，因此导数就是微分之商，所以，前苏联的微积分教材中就称导数为“微商”。在前面我们强调作为导数的整体记号，其中的与不可拆开，那是因为当时还没有讲过微分的概念，不知拆开后的记号及是什么含义.现在可以明确告诉大家：导数记号中的与可以根据我们的兴趣随时拆开，并且这其实也正是计算函数导数的一种常用方法.一会儿举一个这方面的例子. （4）今后，在计算函数的微分时，为美观起见，建议大家用来表示.三微分的运算法则定理2.设函数在处均可微，则 （1）； （2）； （3）.推论：。证明：仅证明（4） 例3求的微分解一：解二：.定理3.（复合函数的微分法则）设有都可微，则 .（其中）-（2）注意：如果只是一个普通的函数，是自变量，则-（3）与（2）式相同。也就是说：无论是普通函数，还是复合函数，都有。这个性质称为一阶微分形式的不变性.例4.求的微分解一：.解二：，例5.求由方程所确定的隐函数的导数.解一：对方程两边取微分： 。解二：对方程两边求导： 2。例6求所确定的.解： 四.高阶微分1.定义2.如果函数的微分在处仍可微，则称的微分为的二阶微分，表为： 注意：（1）由（4）式两边同时除以，得： ，这正是二阶微分记号 的由来。 （2）请大家注意的区别.（3）完全类似，可定义阶微分：-（5）注意：有趣的是，由（5）式，两边同除以，可得： 即说明函数的定义阶导数正是函数的阶微分与自变量的n次幂之商. （4）.对于复合函数，我们已知，即一阶微分具有形式的不变性.但 显然，。说明二阶微分不再具有形式的不变性.例7.求确定的解一：例6中已求出 所以，解二：化参数方程为显函数： ，直接求。例8设，求解：例9设确定y为x的函数，t为参变量，求解：（将方程中均视为的函数），对所给方程两边关于t求导，得： -（*）由原方程知，。代入（*）式，得： 例10设函数由确定，求p32.解：（将方程中均视为的函数），对所给方程两边关于t求导，得： -（*）由（2）式，得： 由（1）、（3）式得： （5）式两端关于求导，得： ，即：。又当时，代入（6）式所以，.五.微