立体几何知识网络结构图以及例题.doc

1.立体几何的知识结构立体几何是高中数学重要的知识板块，是高考中考考查考生空间想象能力和逻辑能力思维能力的良好素材，是高考的热点内容。主要研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的三种位置关系，在此基础上研究并讨论空间的角和距离的计算。台柱表面积和体积三视图和直观图结构直观图三视图体积表面积空间几何体球锥2. 简单几何体的认知结构网络图3. 点、直线、平面之间的位置关系认知结构网络图平面与平面垂直直线与平面垂直直线与平面平行直线与直线平行直线与直线位置关系空间直线、平面位置关系直线与直线位置关系直线与平面位置关系平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间平行关系之间的转化平面与平面平行 空间垂直关系之间的转化直线与直线垂直3空间向量与立体几何（1） 空间向量知识认知结构网络图立体几何中的向量方法空间向量运算的几何表示建立空间位置关系与空间向量的联系空间向量的定义及其运算（加减法、数乘、数量积）用空间向量表示点、直线、平面 空间向量运算的坐标表示（2） 空间向量及其运算认知结构网络图数量积线性运算数量积简单应用线性运算 空间向量（基本概念）实际背景 3.4直线、平面、简单几何体知识要点认知结构网络图距离判定与性质直线与平面相交公理4及等角定理异面直线所成的角三个公理、三个推理棱柱、棱锥、球直线 平面 简单几何体 空间两个平面判定与性质两个平面平行两个平面相交二面角垂直空间直线与平面直线与平面所成的角、三垂线定理判定与性质垂直判定与性质直线与平面平行直线在平面内异面直线相交直线平行直线空间两条直线异面直线的距离平面 定义性质面积、体积公式表面上两点间距离3.2立体几何的考试要求3.2.1；立体几何初步（1） 空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。有关空间中平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中经常遇到的，而且是各种各样的问题中不可缺少的内容。因此在立体几何的复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题他的分析和概括，掌握立体几何中解决问题的规律充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）互相转化的思想，来提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。本章主要从平行与垂直证明方法的研究入手，探讨立体几何中平行与垂直证明的思路模式。下面根据对立体几何平行问题的研究，构建平行问题证明方法的思路模式的网络图。 4.1立体几何中平行问题的思路模式 立体几何中平行问题主要有三种：（1)线线平行；（2）线面平行；（3）面面平行。而解决这些平行问题的方法总体上分为：（1）定义法；（2）判定定理法；（3）向量法；（4）转化法等。利用好线线、线面与面面平行之间的内在联系，找到问题的切入点，抓思想、抓方法解决具体问题。 下面根据对立体几何平行问题的研究，构建平行问题证明方法的认知方法网络图定义法转化为线、面平行的证明转化为线、线平行的证明转化为面面平行的证明转化为线、线平行的证明转化为面、面平行的证明转化为线、面平行的证明向量法判定定理定义法转化法向量法判定定理定义法向量法转化法垂直于同一平面的两直线平行平行公理面、面平行线、面平行立体几何中平行问题的证明方法线、线平行转化法。 4.1.1 线线平行证明方法的思路模式线线平行问题高考时几乎不单独对考生进行考察。初中常用的方法是利用内错角相等、同位角相等、同旁内角互补可证线线平行；特殊的平面图形中的平行（平行四边形、菱形、矩形、正方形以及梯形上下底等）；特殊位置的直线如中位线（三角形、梯形）、垂直于同一直线相等两直线平行等；高中方法是理解此类问题通常与线面平行问题结合起来，运用“线线平行，线面平行”的推理模式解决问题，即“线面平行的判定定理”简记为“线线平行线面平行”；将“线面平行的性质定理”简记为“线面平行线线平行”。（2011安徽理17）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形.（）证明直线BCEF;（）略分析：本题考察的是线线平行问题，由题设条件及特殊位置的思维模式，可先转化为中位线来求两直线平行，进而可得结论。证明略 4.1.2 线、面平行证明方法的思路模式2011年高考题中，对立体几何平行问题的考察几乎全都是考察线面平行问题。此类问题的考察方法、方式复杂多样，解决方法也比较灵活，大多以转化法及向量法为主，特别是空间向量的内容加入到高中数学教材后，向量法几乎成为此种类型题的首选办法。（2011江苏理16）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）略 分析：本题考察的是线面平行判定定理的应用，利用中位线证明EFPD入手，再由线面平行的判定定理即可证明。解：在PAD中，因为E,F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为 EF平面PCD,PD平面PCD, 所以直线EF平面PCD 4.1.3面面平行证明方法的思路模式面面平行在高考中以主观题出现的频率较少，在选择题出现的频率较大。两直线平行常用到的判定方法有。（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾；（2）判定定理。线面平行，则面面平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行；（4）平行于同一个平面的两个平面平行。由于此类题型的考查较为简单，在此不再详加叙述。 4.2立体几何中垂直问题证明的思路模式 立体几何中垂直问题主要有三种：（1）线线垂直；（2）线面垂直；（3）面面垂直。解决这种垂直问题的方法类似于平行问题的证明大致可分为：（1）定义法；（2）判定定理；（3）向量法；（4）转化法。下面给出垂直问题证明的思路模式网络图。转化为面、面垂直的证明判定定理转化为线、面垂直的证明转化为面、面垂直的证明定义法线、线垂直 三垂线定理转化法向量法立体几何中平行问题的证明方法定义法转化为线、面垂直的证明转化法线、面垂直向量法定义法转化为线、面垂直的证明判定定理面、面垂直转化法转化为线、面垂直的证明向量法 4.2.1 线、线垂直思维模式解决线线垂直问题除了传统的定义法、三垂线定理的应用及转化法以外，近几年来新加入的高中教学中空间向量法在此类问题中更显得优势明显，空间向量法数量积知识的应用可以在此类问题中发挥的淋漓尽致。（浙江理20）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）略分析：本题要证空间异面垂直的问题，除了可以用三垂线定理，证明BC与PA垂直解决问题以外，也可以用向量法通过建立空间直角坐，求两直线上方向向量，利用向量的数量积来证两直线垂直。方法一：证明：由AB=AC，D是BC的中点，得又平面ABC，得因为，所以平面PAD，故方法二： 证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz则，由此可得，所以，即 4.2.2线、面垂直证明方法思路模式 线面垂直的定义和线面垂直的定理时处理线面垂直问题的重要工具，有些题目却依赖转化法灵活处理才可以解决，而向量法乃是一些线面垂直问题常用而又切实可行的方法。（北京理16）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）略；（）略 分析：此题考察的是线面垂直的证明方法，可利用线面垂直判定定理将 线面垂直问题转化为线线（面内两条相交直线）垂直问题，而处理的过程中既可采用图形直观的几何法证明，也可采用建立直角坐标系，通过坐运算的法向量来解决。证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC. 4.2.3面、面垂直证明方法思路模式 面面垂直的证明方法有:(1)利用定义，证明两个平面构成的两面角是；（2）将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题;利用两面的法向量互相垂直的向量法等。（辽宁理18）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ；（II）略 解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 第5章 立体几何求角与距离方法的思路模式 立体几何求角与距离问题都是立体几何中解答问题的必考出题点，从1977年恢复高考至今，每一年的高考大体都有一道立体几何求角与距离问题。此类问题是立体几何常见的问题。但如何选择最恰当的方法去处理具体问题一直使许多教学中感到困惑，学生在学习中也普遍有无从下手之感。下面结合教学经验，本人主要从角与距离的求法和经典问题处理方法入手，构建空间求角与距离的认知方法网路图。 5.1 空间求角与距离思想方法 解决立体几何问题，不能单凭记忆相关的定义或几条公式就可以解决所有问题的，而更重要的是抓其“思想”，领悟其“方法”。立体几何中角与距离问题都有一些常见的思想方法，有了“思想方法”，就等于有了“指导思想”，我们才可能落实解决具体的实际问题。定义法垂线法向量法立体几何求角的思想方法垂面法公式法转化法直接法向量法立体几何求距离的思想方法体积法极值法 5.2立体几何求角方法的思路模式 立体几何中求空间角的大小一般都是根据有关角的定义，如异面直线所成的角；斜线与平面所成的角，二面角的平面角等，将其转化为平面中所成角来求的，也有一些题目需要根据三垂线定理或逆定理做平面角或通过作棱的垂面的方法来解决问题。立体几何中求角问题有时也可以根据一些常用的公式来求解，总之，只要把握恰当的方法，就可使看似复杂的问题迎刃而解。 下面依据立体几何中求角问题的研究，构建立体几何中求角方法的认知网络图定义法垂线法两异面直线所成的角补体延面法向量法立体几何所成角的求法定义法斜线与平面所成的角公式法向量法定义法垂线法垂面法两平面所成的二面角公式法向量法 5.2.1求异面直线所成角方法的思路模式求异面直线所成角的大小通常分为三步：（1）准确地选取角的顶点；（2）平移直线；（3）构造三角形，解三角形。而构造异面直线所成的角有如下几种常用方法：（1）过一条异面直线上的已知点，做另一条直线的平行线，使异面直线所成的角成为相交直线的交角；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）通过构造辅助平面，辅助几何体来平移直线，但应注意：若用余弦定理求出cos0(是平移后相交直线所成的角),则异面直线所成的角应是-。（北京理16）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()略；（）若求与所成角的余弦值；（）略. 分析：运用向量法求平面的角关键是解决直线的方向向量和平面的法向量法的所成的角问题，但要注意所得的角并不直接就是线面角，而应取其余角或与的差角。 解：（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则. 5.2.2求斜线与平面所成角方法的思路模式 求解斜线和平面所成角的一般方法是：（1）确定斜线与平面的交点即垂足；（2）经过斜线上除垂足外任意一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；（3）求解由垂线、斜线以其射影构成的直角三角形。 5.2.3求两平面所成的二面角方法的思路模式 构造二面角的平面角的常用方法有：定义法；垂线法；垂面法，有些题目还可以应用公式法、向量法解决问题。（天津理17）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）略 方法一：向量法 （II）解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为方法二：垂线法解：连接，易知=，又由于=，=，所以，过点A作 于点R，连接，于是，故为二面角A的平面角.在中，连接，在中，从而所以二面角AA1C1B1的正弦值为方法三: 垂面法 5.3立体几何求距离方法的思路模式立体几何中的距离主要有以下七种：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条平行线间的距离：（5）两条异面直线间的距离：（6）平面的平行直线与平面之间的距离；（7）两平行平面之间的距离。实际上是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小者。它们之间有着密切的联系，有时可以相互转化，如两条平行直线的距离可以转化为求点到直线的距离，平行线、面间的距离或平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离等。下面主要依据对立体几何中距离的研究，构建立体几何求距离的思路模式网络图。定义法两点之间的距离面积法点直线的距离公式法向量法立体几何中距离的求解找垂面构造法定义法构造法转移构造法点到平面的距离等面积法利用面（线）、面角转化法利用平行平面距离向量法定义法转化法两平行平面间的距离向量法两平行线间的距离公式法利用平行平面距离转化法两异面直线的距离向量法利用平行平面距离定义法直线与平行平面的距离转化法向量法下面结合实际问题，再对空间距离问题的思维模式的网络图加以诠释。5.3.1求两点之间的距离的思路模式两点之间的距离相对于而言是较易解决的问题，在具体问题中常用两点距离公式或构造直角三角形用勾股定理来解决，有时也转变成其他问题如与函数问题联系到一起等。高考考察的内容较为简单，所以不再详细叙述。5.3.2求点到直线的距离方法的思路模式立体几何中，点到直线距离问题的解决主要包括：（1）定义法；（2）面积法；（3）公式法；（4）向量法等。而应用这些方法解决问题时，又分为直接法和转化法，直接法就是直接从该点向直线做垂线，而若垂足位置不容易确定时，则往往借助三垂线定理等用转化法来解决。高考考察的内容较为简单，所以不再详细叙述。5.3.3求点到平面的距离方法的思路模式在立体几何中，求点到平面的距离是一种常见的题型，也是不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点。同时，求直线到平面的距离、平行平面间的距离等求其它空间的距离都常常转化为点到平面的距离，可见其重要性。点面距离的方法有如下几种方式：定义法;等体积转化法，即根据三棱锥的体积公式，从不同的侧面计算三棱锥的体积，而计算出三棱锥的一个顶点到其对应底面的距离；平行线转化法，即过该点和平面平行的直线上的任意一点到平面的距离都是改点到平面的距离；其他距离的求法，比如线面距离转化为点面距离，面面距离转化为点面距离。 （四川理19）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；()求点C到平面B1DP的距离等积法解：（1）连接交于,又为的中点，中点，,D为的中点。（2）由题意,过B 作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则(3)因为，所以,在中， 5.34求两直线之间的距离的思路模式立体几何中，两直线的距离主要分为两平行线间的距离和两异面直线间的距离。前者比较简单，本文主要论述异面直线的距离问题，求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，当然还可用向量法。此类题型在高考的考察出现的频率较小，在此不再详加叙述。5.3.5直线与平行平面、两平行平面的距离的思路模式这两个方面的问题通常解决的方法有定义法、转化法和向量法，无论哪种方法实质上都是点到平面距离的问题，在此不再详加叙述。3.1 三视图的综合问题 三视图实现了“实物模型三视图直观图”间的相互转化，在虚实想象的数学活动中学生更完整更全面地认识和把握了空间几何体. 自立体几何引入空间向量后，三视图担当起了培养学生空间想象能力的重任. 因此，三视图是新课程高考的必考内容。由三视图确定几何体的形状并求解表面积或体积是高考命题的重点，多为客观题，在求解过程中易出现的问题主要有：（1） 不能根据三视图确定几何体的形状，尤其是组合体的三视图以及几何体挖空、切割等问题，导致无法计算几何体的体积与表面积；（2）不能把三视图中的数据准确地与几何体中有关几何体的有关度量对应起来，导致计算出错，对于组合体三视图中的相关数据的处理不当导致失误；（3）几何体的表面积和体积的求解过程出错；（4）计算不细心导致运算失误问题。解决此类问题分三步：第一步，一般先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、挖空等手段逐步调整；第二步，先部分后整体，即先分别求出各个简单几何体的表面积与体积，然后用它们表示所求几何体的表面积与体积，注意重叠部分的表面积以及挖空部分的体积的处理。第三步，计算棱锥的体积时要根据线面垂直关系，灵活选择顶点和底面；求解不规则几何体的表面积与体积时，则要通过“切”或“割”将几何体分成简单的几何体，逐个求解，注意重叠问题以及挖空问题。 3.2 二面角问题 在高中数学立体几何的学习中， 求二面角的大小是个重点，也是个难点。在每年的理科数学的高考试题中，求二面角的大小几乎成了必考的知识点， 但学生却总认为这个知识点很难，做题时不知从何处下手。因此，针对这些问题本文将对求二面角的思路模式作一个总结。 3.2.1 定义法作出二面角的平面角 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO,BO，则AOB 为二面角 的平面角。 3.2.2 垂面法 过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； 3.2.3 垂线法 过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接ABC,连接AC，则AC也与二面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角的最基本、最重要的方法。 3.2.4 向量法二面角的大小可以由两个半平面的法向量夹角或者是两个半平面的法向量夹角的补角来度量（天津卷理17）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求二面角的正弦值；垂线法：向量法：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 （II）解：易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为 3.3 平面图形翻折为空间图形问题 把一个平面图形按照某种要求折起, 转化为空间图形, 进而研究图形在空间位置关系和数量上的变化, 这就是翻折问题.解决此类问题容易出现的错误有： (1) 忽视平面图形的翻折对线段的长度及其关系的影响，直接利用平面图形中的数据进行计算，或直接利用平面图形中的平行垂直关系进行证明，导致错误。 (2) 不能根据折线确定平面图形翻折前后的不变量，尤其是平面图形翻折后不变的垂直关系，导致空间线面关系无法证明，体积与表面积的求解失误。 (3)不能根据平面图形中的有关性质判断几何体的有关最值。 解决平面图形的翻折问题的关键是折线，折线把平面图形分成两部分，在这两个平面图形中的几何量及其关系都是不变的，特别是这两个平面图形中的直线与折线的关系是不变的，与折线平行的直线，其平行关系不改变，与折线垂直的线段，翻折之后变成与折线垂直的两条线段;而翻折后发生变化的原因是折线分成的两部分形成了一个角度，变成了一个空间几何体，所以要利用空间几何中的线面关系来解决问题，不能直接利用翻折前分别在这两部分中线段