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第二章 思维与数学思维 培根：数学是思维的体操 斯托利亚尔：数学教学是数学思维活动的教学 数学课程标准：初步学会运用数学的思维方 法去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他 学科学习中的问题 数学教学活动的核心是促进学生思维的发展，发展 学生的数学思维才是数学教学的灵魂。 第一节 思维 我想想 想一想 动脑子想想 思维 思考 思维的生理机制等问题，至今仍然未得到完整的、 系统的、科学的说明 。 思维是在人的大脑中进行的，是主体内在的精神活 动，人在思维什么，是怎样思维的，别人是感觉不 到的。 一、思维的涵义 人对客观事物的认识过程大致可以分为感性认识 阶段和理性认识阶段。 1感性认识阶段。 感觉 感觉是人脑对直接作用于感觉器官的客观刺激物的 个别属性的反映。 人对客观事物的认识，首先从感觉器官（眼、耳、 鼻、舌、身）接触外界开始的 当客观事物作用于相应的感觉器官时，各器官的感 受细胞接收信号后被激活产生神经冲动，将感受信 号转化为电信号，经传入神经传到中枢神经系统便 引起感觉。 感觉是人认识事物的开端和知识的源泉，人们只有 通过感觉才能认识客观事物的各种属性，认识自身 内部的各种状态，从而调节自己的行为，进行正常 的生活 感觉是一切高级和复杂心理活动的基础，是维持正 常心理活动、保证机体与环境平衡的重要条件。 人们的正常生活，离不开感觉提供的各种信息和资 料，适度的信息获取是进行知觉、记忆、思维、想 象的必要条件。 知觉 美国心理学家纳赞同赫尔等首创的感觉剥夺实验 知觉是人脑对直接作用于感官的客观刺激物的整体 的反映，是个体选择、组织并解释感觉信息的过程 人的知觉不仅依赖于刺激物的特性，而且具有个体 主观的因素 相同的刺激可以引起相同的感觉，但却会引起不同 的知觉 知觉的产生离不开经验，它更多依赖于个体的知识 经验和个性特点 感觉和知觉是同时进行融为一体的，感觉和知觉统 称为感知或感知觉。 知觉的基本特征： 知觉的选择性 只能按照某种需要和目的主动而有意地优先选择其 中少数事物作为知觉对象，对其产生鲜明而清晰的 知觉映象，而把其他事物作为知觉背景 知觉的理解性 人在知觉过程中根据自己的知识和经验，对感觉的 事物进行加工处理，并用语词加以概括，赋予它确 定的含义，从而标示出来的特性称为知觉的理解性。 个人已有的知识经验是人对知觉对象理解的前提， 知识经验不同的人对同一事物的理解不同 言语的指导也是影响知觉理解性的一个因素 知觉的整体性 在知觉过程中，人们不是孤立地反映刺激物的个别 特性，而是反映事物的整体和关系的特性。 知觉的恒常性 知觉的恒常性是指当知觉条件在一定范围内改变时， 知觉映像仍然保持相对不变的特性。 表象 表象是人们以前感知过的事物虽然不在眼前，在头 脑里所呈现出来的该事物的形象叫做表象。 表象的特征： 表象的直观性 表象是在知觉的基础上产生的，构成表象的材料均 来自过去知觉过的内容，故表象是直观的感性反映 表象不如知觉鲜明，是比较模糊的暗淡的，它反映 的只是大概轮廓和一些主要特征。 表象的概括性 表象的概括性是指表象对某一类对象的形象 的概括反映，这种概括常常表征为对象的轮 廓而不是细节。 表象的形象性 表象是头脑中出现的物体的生动具体的形象，就像 看到、听到某个具体物体一样。 表象的客观性与主观性 表象作为人脑中的事物的形象，不是客观的；又因 为这些事物的形象是过去感知过的事物的形象，因 而它又不是主观自主的。 表象与语言的互译性 表象是双重编码，既可以是图像编码也可以是语言 编码，图像和语言在一定的条件下可以互译。 表象与感知觉一样同属感性认识，但表象是比感知 更高一级的感性认识形式，是感性认识到理性认识 的中介。 2理性认识阶段 理性认识是在感性认识的基础上，借助分析、综合、 比较、抽象、概括等方法，去粗取精、由此及彼、 由表及里的整理和改造，将事物的非本质属性与本 质属性进行剥离，形成概念、判断、推理，达到对 事物的本质的规律性的认识。 理性认识是认识过程的重要阶段，以事物的本质规 律为认识对象，是对事物的内在联系的认识，是认 识过程中的一次飞跃。 使我们完成这个认识过程的核心因素就是思维。 思维是人脑对客观事物的间接的和概括的认识过程， 它反映了客观事物的本质属性，反映了客观事物之 间的实质性的关系和规律性的联系 定义：思维是人脑对客观事物概括的、间接的反映， 是客观事物的本质和规律的反映。 思维是人类所特有的一种高级的心理活动，是人类 的大脑反映客观事物的一般特性以及客观事物间相 互关系的一种过程 思维与语言的关系 语言是物质的，思维作为大脑的特质是观念的 语言是思维的工具 语言所表述的内容是思维的内容 语言和思维是相辅相成的，二者各以对方为存在条 件，如影随形，水乳交融，谁也离不开谁 思维是全人类共同，而语言具有民族性 二、思维的特性 1思维的概括性 思维的概括性是通过建立事物之间的联系，把一类 事物的共同特征抽取出来，加以概括，得出概括性 的认识 第一，思维概括性是通过建立事物之间的联系，把 一类事物的共同特征抽取出来，加以概括，得出概 括性的认识。 第二，能从部分事物相互联系的事实中找到普遍的 或必然的联系，并将其推广到同类的现象中去。 思维的概括性使人的认识摆脱了具体事物的局限性 和对具体事物的直接依赖性，并在思维的概括活动 中形成概念和命题，这就无限地扩大了人的认识范 围和加深了人对世界事物的了解。 2思维的间接性 思维的间接性是指思维是通过其他事物为媒介来反 映客观事物，借助知识经验对客观事物进行间接的 认识。 思维的间接性表现为： 一是思维能对不在眼前没有直接作用于感官的事物 加以反映 二是思维能对根本不能进行感知的事物进行反映 三是思维能在对现实事物认识的基础上做出某种 预见 思维的间接性，不但可以使人认识当前感知不到 的东西，也可以预测未来可能发生的事情，使人 的认识领域变得非常广阔和深远。 间接概括的认识是一种复杂的脑力操作，只有人的 大脑才具有这种功能。 三、大脑是思维的物质基础 间接概括的认识使人透过现象看本质，从具体个别 事物中找到共性和规律，通过思考过去、分析现状、 规划未来，从而作出理性的决策，是人类创造物质 文明、精神文明的心理功能，也是人类智慧的核心。 思维是大脑的功能，大脑是思维的器官 左半脑主要 负责逻辑理 解、记忆、 时间、语言、 判断、排列、 分类、逻辑、 分析、书写、 推理、抑制、 五感 (视、听、 嗅、触、 味觉)等 右半脑主要 负责空间 形象记忆、 直觉、情感、 身体协调、 视知觉、 美术、 音乐节奏、 想像、灵感、 顿悟等 大脑皮层约有140多亿个神经元（即神经细胞）， 它们按照一定的网络形式和通讯路线互相联系， 协同工作，指挥协调全脑的活动。 大脑皮层下面的髓质部分，有许多神经纤维构成， 其中一部分起联系大脑两个半球的作用，另一部 分联系同侧大脑半球不同区域的作用，还有一部 分是进出于大脑的，起着传入和传出神经冲动的 作用。 四、思维的分类 1按思维的抽象程度不同进行划分，可以把思维分 为动作思维、形象思维和抽象思维。 动作思维也称直观行动思维，动作思维是凭借直接 感知，伴随实际动作进行的思维活动。 形象思维是以具体的表象为材料的思维活动 抽象思维也叫做逻辑思维。抽象思维是以概念、判 断、推理的形式达到对事物的本质属性和内在联系 认识的思维。 抽象思维以概念为思维材料，以语言为载体，每推 进一步都有充分依据的思维。 抽象思维是一种确定的，而不是模棱两可的；前后 一贯的，而不是自相矛盾的；有条理、有根据的思 维 在抽象思维中，要用到概念、判断、推理等思维形 式和比较、分析、综合、抽象、概括等方法，而掌 握和运用这些思维形式和方法的程度，也就是逻辑 思维的能力。 抽象思维为人类所特有，是人类思维的典型形式和 个体思维发展的最高阶段。 儿童思维的发展，一般都经历动作思维、形象思维 和抽象逻辑思维三个阶段。成人在解决问题时，这 三种思维往往是相互联系，相互补充，共同参与思 维活动。 2按思维指向不同，可以把思维分为辐合思维和 发散思维。 辐合思维又叫做集中性思维、求同思维 辐合思维是把问题所提供的各种信息集中起来，朝 着同一个目标深入发展，得出一个正确的或最好的 答案的思维 发散思维亦称辐射思维、求异思维 发散思维是指从一个目标出发，沿着各种不同途径 寻求各种答案的思维 3按思维中的主动性和创造性程度的不同，可以 把思维分为常规性思维和创造性思维。 常规性思维是指人们运用已获得的知识经验，按现 成的规律和程序直接去解决问题的思维方式 创造性思维是指重新组织已有的知识经验，提出新 的方案或程序，并创造出新的思维成果的思维方式 五、思维品质 思维是一种非常复杂的心理活动，个别差异相当明 显，即使面对相同的刺激，不同的人的思维结果也 未必相同。 思维品质是指个体在思维活动中所表现出来的个性 差异 1思维的深刻性 思维的深刻性表现为在思考问题时能透过纷繁的现 象发现事物的本质和规律 思维的深刻性是指分清实质的能力 思维的深刻性要求我们，不能迷恋事物的表面现象， 不能片面地、静止地、绝对化地看问题，要透过现 象看本质 思维深刻性的反面是思维的肤浅性，主要表现为在 思考问题时只停留在问题的表面现象上，抓不住问 题的本质 2思维的广阔性 那些善于打破沙锅问到底，非弄个明白，但又不钻 牛角尖，好学深思、不耻下问的人，其思维是深刻 的 那些对概念、原理不求甚解或一知半解，抓不住问 题本质的人其思维则是肤浅的 思维的广阔性是指思维活跃，思路宽广，善于多角 度、多层次探求事物的本质 思维广阔性的人，善于全面地、相互联系地看问题， 能够抓住事物间各方面的联系和关系，不仅善于抓 住问题的最一般的基本轮廓，而且也不遗漏问题的 重要细节。 与思维广阔性相反的是思维的狭隘性 思维狭隘的人往往只能从一个方面思考问题，思路 狭窄，习惯于固有模式，对于需要综合运用所学知 识的问题，感到困难 3思维的灵活性 思维灵活性主要表现在当问题的情况与条件发生变 化时，能从实际出发，审时度势，随机应变，打破 旧框框，及时调整思路，找出符合实际的解决问题 的思路。 即思维的灵活性是指思维的灵活程度 思维灵活的人善于从错误的思路中退出来并及时转 向，善于联想、善于类比，善于将问题简约化归， 思维流畅 思维灵活性的反面是思维的呆板性，表现为循规蹈 矩，因循守旧，思维僵化，陷入困境而不能自拔。 4思维的独创性 思维的独创性主要表现在思考问题时有自己的独特 见解，在解决问题的过程中有新颖独创的思路和方 法。 “独创”并不是只看创造的结果，而主要是看思维 活动中是否有创造性态度，是否有探索精神 思维独创性的反面是思维的保守性，主要表现为思 维受条条框框限制，落入俗套而受其束缚，从而产 生思维的惰性 有的人思维具有较明显的独创性，遇事独立思考， 有独特见解，解决问题的结果是别人没有想到的， 方法别出心裁。 有的人思维具有明显的保守型，遇事盲从附和，解 决问题时人云亦云，墨守成规 5思维的批判性 思维的批判性是指不仅善于评价和批判他人、他事， 而且更善于评价和批判自己的一种智慧品质 即思维的批判性是指在思维活动中对思维材料精细 检查和反思思维过程的一种自我意识 具有批判性思维的人，喜欢独立思考，不从众，凡 事总要自己试一试，即使是权威的结论，也不会盲 从。 思维的批判性的反面是不知自己的思路是否正确， 不善于独立思考和质疑，只会附和别人的意见，对 权威和教科书盲从，不敢越雷池半步 6思维的敏捷性 思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性， 即思维活动的速度 同样的问题，思维敏捷的人脑子一动，已经看到了 问题的实质，找到了解决问题的方法，也能很快得 出问题的答案。思维不够敏捷的人也能解决问题， 但思考时间比较长，运算的速度比较慢。 在教学中只有全面发展学生的各种思维品质，才能 提高学生的思维能力 问题：小明家和学校相距1000米，一天下午放学时， 小明的姐姐正好从家里出发去接小明，随身还跟着 一只宠物狗。宠物狗先朝小明跑去，碰到小明后立 即返回向姐姐跑去，碰到姐姐后又立即朝小明跑去 如此反复，直到姐姐与小明相遇为止，已知姐 姐每分走81米，是小明的1.5倍，宠物狗的速度是小 明的2倍，问在这个过程中，宠物狗共跑了多少路？ 第二节 数学思维 数学思维就是数学活动中的思维 数学思维是人脑对客观事物的空间形式和数量关系 间接的概括的反映 数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关 系、结构关系）交互作用并按一般思维规律认识数 学内容的内在理性活动 数学思维是在数学活动中，以数学的研究对象为思 维对象，以数学语言为思维载体，并以认识和揭示 数学规律为目的的一种思维 数学活动不仅仅指探究性、具体化、游戏性的活动， 更重要的是指数学思考、数学研究、数学学习、数 学应用等活动 数学的研究对象并不是现实世界中实实在在的事 物，而是舍弃了事物本身的一切自然性质，抽象 出来的事物的空间形式和数量关系以及由此反映 出来的结构与模型等 数学的研究对象都是些思维材料 数学语言是指数学中使用的自然语言、符号语言、 图形语言的总和 自然语言是日常生活中所使用的语言，用它来表达 数学概念和术语，既感到亲切也容易理解 符号语言是自然语言的符号化，指意简明，书写方 便，且集中表达数学内容，一个式子将关系溶于形 式之中，有助运算，便于思考，便于表达 图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件， 直观便于观察与联想，有助记忆，有助思维，有益 于问题解决 数学学习实质上通过主体的数学思维活动，学习人 类思维活动的结果，并把数学知识转化为自己的思 维结果，发展自己的数学思维的过程。 1数学思维的概括性 数学思维具有不同于一般思维的特性 数学思维的概括性是由于数学思维能揭示事物之间 抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律， 能够把握一类事物共有的数学属性。 数学思维的概括性还表现在它的迁移性，就是使主 体不仅能从部分事物相互联系的事实中推知普遍的 与必然的联系，而且能将这种联系推广到同类现象 中去，即应用已知的数学知识去解决有关问题。 数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、 互为因果的，只有抽象才能更好地概括出事物的本 质属性。 数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是 由于数学思维揭示的是事物之间内在的空间形式和 数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学 属性 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、 灵活迁移的程度以及创造程度等思维品质，提高数 学思维的概括水平是发展数学思维能力的重要标志 2数学思维的问题性 数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结， 数学的起源和发展是由问题引起的 美国数学家哈尔莫斯指出“定理、证明、概念、定 义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的 心脏，只有问题是数学的心脏”。 数学的问题性是数学思维目的性的体现，解决问题 的活动是数学思维的中心 亚里士多得曾精辟地指出：“思维从问题开始” 数学思维同样是从问题开始的，没有问题就不会导 致数学思维 在数学教学中，我们应根据数学思维的问题性特点， 创设恰当的问题情境，激发学生学习知识的主动性， 充分调动学生学习的积极性 “这张纸厚约0.1毫米，现在对折3次厚度不足1毫米， 如果要对折 30次，请同学们估计一下厚度为多少？” 3数学思维的相似性 数学思维的相似性是由于解决数学问题的根本思想 在于寻求事物的数学关系和结构样式，从已经解决 的问题中概括出思维模式，再用思维模式去处理类 似的问题，并进而形成新的模式，构成相似系列， 即各种概念、命题与方法的相似链 数学思维的相似性是对数学问题之间以及问题本身 的条件与结论之间的同与异这个矛盾的分析与转化， 对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象 的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思 维的创造性 数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等方法都是 运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方 法 4数学思维的复合性 数学思维的复合性是由于在数学思维活动中表现出 的逻辑性和非逻辑性相结合的特征 数学是一门高度严谨的学科，所有的理论都必须经 过严格的逻辑论证得到，作为数学思维活动结果的 数学结论是十分严谨的 数学思维活动又不只是单一的逻辑论证过程，它还 包括探索和发现数学结论、寻求论证途径的过程 在发现和探索数学结论的过程中，包含着直觉、顿 悟、形象思维以及似真推理等思维活动 在寻求逻辑论证的途径时，又包含着制订策略，发 散探索、试误等思维活动 数学思维的整个活动过程，都是在逻辑和非逻辑的 交替过程中进行的，利用“非逻辑”、“非严谨”去探 求和发现问题，再利用演绎的方法进行逻辑论证 数学知识实质上是数学家思维活动的产物，作为数 学知识的表述体现的是数学这门科学具有的内容和 表现形式的抽象性、结论的精确性、推理和结构严 谨的逻辑性 而数学思维过程并非与数学知识的表述一样，并非 只是用到抽象的逻辑思维，而是综合地、交错地运 用抽象思维、形象思维和直觉思维 对数学思维活动的规律从总体上考察，数学思维分 为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 1数学逻辑思维 数学逻辑思维也称数学抽象思维 数学逻辑思维是借助数学概念、判断、推理等思维 形式，通过数学语言来反映数学对象的本质和规律 的一种思维。 数学逻辑思维的过程是在认识数学对象的过程中把 感性认识阶段获得的信息抽象概括成数学概念，运 用数学概念进行判断得到数学命题，并按一定逻辑 规则进行推理得出新的结论，从而产生新的认识和 理解的过程。 数学逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理 数学逻辑思维的特征是抽象性和逻辑性 2数学形象思维 数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学 对象的本质和规律的一种思维 数学形象思维的主要形式是表象与想象 数学形象思维的特征是思维材料的形象性 3数学直觉思维 数学直觉思维是以一定的知识经