山东专升本高数1第一章函数极限和连续.doc

第一章 函数、极限和连续【考试要求】一、函数1理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数2理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性3了解反函数：反函数的定义，反函数的图像4掌握函数的四则运算与复合运算5理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数6了解初等函数的概念二、极限1理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义2了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则3理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（，）时函数的极限4掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理5理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较6熟练掌握用两个重要极限求极限的方法7熟练掌握分段函数求极限的方法三、连续1理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类2掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型3掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题4理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限5熟练掌握分段函数连续性的判定方法【考试内容】一、函数（一）函数的概念1函数的定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“”、“”、“”等，相应的，函数可记作，等有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作，这一点应特别注意2函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如，等（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如 是由两个解析式表示的定义域为的一个函数（4）由参数方程确定的函数：如果自变量与因变量的关系是通过第三个变量联系起来 （为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数例如：参数方程 表示的图形即为圆心在原点，半径为的圆（二）函数的几种特性1有界性设函数的定义域为，数集，如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界如果这样的不存在，就称函数在上无界说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数是函数的一个界，则比大的数都是函数的界2单调性 设函数的定义域为，区间如果对于区间上任意两点及，当.时，恒有，则称函数在区间上是单调增加的；如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调减少的单调增加和单调减少的函数统称为单调函数3奇偶性 设函数的定义域关于原点对称如果对于任一，恒成立，则称为偶函数如果对于任一，恒成立，则称为奇函数例如：、都是偶函数，、是奇函数，而则为非奇非偶函数偶函数的图形关于轴对称，而奇函数的图形关于原点对称说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数其余结论读者可自行论证4周期性 设函数的定义域为如果存在一个正数，使得对于任一有，且恒成立，则称为周期函数，称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期例如：函数、都是以为周期的周期函数，函数是以为周期的周期函数（三）函数的运算1和差积商运算 设函数，的定义域依次为，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）：，；（2）积：，；（3）商：，2反函数（函数的逆运算）对于给定的是的函数，若将当作自变量而当作因变量，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记为，叫做直接函数若直接函数的定义域为，值域为，则反函数的定义域为，值域为且直接函数的图像与反函数的图像关于直线对称3复合函数（函数的复合运算）设函数的定义域为，函数的定义域为，且其值域，则由下式确定的函数，称为由函数与函数构成的复合函数，它的定义域为，变量称为中间变量说明：与能构成复合函数的条件是函数的值域必须含在函数的定义域内，即，否则不能构成复合函数此外，复合函数可以由多个函数复合而成（四）基本初等函数与初等函数1基本初等函数幂函数：（是常数）；指数函数：（且）；对数函数：（且，特别当时记为）；三角函数：，；反三角函数：，以上五类函数统称为基本初等函数说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记（1）反正弦函数：是由正弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为（2）反余弦函数：是由余弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为（3）反正切函数：是由正切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为（4）反余切函数：是由余切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为2初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数例如：，等都是初等函数在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数二、极限（一）数列的极限1数列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（）如果不存在这样的常数，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在说明：数列极限中自变量的趋向只有一种，即，虽然含义表示正无穷，但不要写做，注意与函数极限的区别2收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界说明：对于数列，如果存在正数，使得对一切，都有，则称数列是有界的，否则称数列是无界的性质（3）：（收敛数列的保号性）如果，且（或者），那么存在正整数，当时，都有（或）（二）函数的极限1函数极限的定义（1）时函数的极限：设函数在点的某个去心邻域内有定义如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）说明：函数的左极限或；右极限或；左极限与右极限统称单侧极限函数当时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即（2）时函数的极限：设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）说明：此定义包含和两种情况2函数极限的性质（以为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果存在，那么这极限唯一性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数和，使得当时，有性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果，且（或），那么存在常数，使得当时，有（或）（三）极限运算法则1如果，则有（1）；（2）；（3），其中；（4），其中为常数；（5），其中为正整数2设有数列和，如果，则有（1）；（2）；（3），其中（）且3如果，而，则4复合函数的极限运算法则：设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则说明：本法则以为例，其他趋向下亦成立（四）极限存在准则1准则 如果数列、及满足下列条件：（1）从某项起，即，当时，有，（2），那么数列的极限存在，且准则 如果函数、及满足下列条件：（1）当（或）时，（2），那么存在，且等于说明：准则及准则称为夹逼准则2准则 单调有界数列必有极限 准则 单调有界函数必有极限（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1，可引申为，式中不管自变量是哪种趋向，只要在此趋向下即可（或时亦成立）2 或 ，可引申为（或时亦成立）或（或时亦成立）说明：数列亦有第二种极限形式，即两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握（六）无穷小和无穷大1定义（1）无穷小的定义：如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小量（简称无穷小）特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小说明：以后我们再提到无穷小时，把数列当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量的某一趋向下才有意义（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，则称函数为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）说明：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小且，则为无穷大2无穷小的比较设，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作；（2）如果，则称是比低阶的无穷小；（3）如果，则称与是同阶无穷小；（4）如果，则称与是等价无穷小，记作；3无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小（2）常数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，存在，则（表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，三、连续（一）连续的概念1连续的定义连续性定义（1）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数.在点连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）连续性定义（2）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点连续2左连续、右连续及区间连续（1）左连续：存在且等于，即；（2）右连续：存在且等于，即；（3）区间连续：若函数在区间每一点都连续，则称为该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，则函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的（二）函数的间断点1定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在处没有定义；（2）虽在处有定义，但不存在；（3）虽在处有定义，且存在，但，则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点2分类：（1）第一类间断点：如果是函数的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点时称为可去间断点，时称为跳跃间断点（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点（三）闭区间上连续函数的性质1有界性与最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值2零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使得3介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得（）【典型例题】【例1-1】求复合函数1设，求解：求就是用代替然后化简，得2设 ，求解：当即时，当即时，故 【例1-2】求函数的定义域1解：由可得，即；由可得，即，；由可得，即，故原函数的定义域为三部分的交集，即2解：由可得，即.；由即可得且；由可得，故原函数的定义域为三部分的交集，即为【例1-3】判断函数的奇偶性1设和为任意函数，定义域均为，试判定下列函数的奇偶性（1）解：由奇偶性的判定可知，与均为偶函数，故其和亦为偶函数（2）解：由奇偶性的判定可知，为奇函数，为偶函数，故其和为非奇非偶函数2判定函数的奇偶性解：因，故原函数为奇函数【例1-4】计算下列极限1解：当时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：2解：因，并且，故原极限值为（夹逼准则）3解：4解：【例1-5】计算下列极限1解：当时，为无穷小，虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得说明：本极限与意义是一样的2解：说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：3解：因当时，故 说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：4解：（时，）5解：6解：【例1-6】已知是多项式，且，求解：利用前一极限式可令，再利用后一极限式，得 ，则 ，故【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶1比解：因 ，故与是同阶无穷小2比解：因 ，故是比高阶的无穷小3比解：因 ，故与是等价无穷小4比解：因 ， 故是比低阶的无穷小说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性1 在处的连续性解：因，从而，故函数在处不连续2 在处的连续性解：因，从而，故函数在处连续【例1-9】当常数为何值时，函数 在处连续？解：因，故由连续性可得，即，故【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型1 解：所给函数在处无定义，故是间断点又，故是的第二类间断点2 解：所给函数在（）处无定义，故、（）是间断点又，故是第一类间断点，且是可去间断点；，故是第二类间断点，且是无穷间断点3 解：所给函数在处无定义，故是间断点又，故是的第一类间断点且是跳跃间断点4 解：该题是分段函数的连续性问题，因时是初等函数，故在时是连续的，所以该题主要考虑分界点处的连续性由，可知是的第一类间断点且是跳跃间断点【例1-11】证明方程在区间内至少有一个根证：函数在闭区间上连续，又，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即 （），该等式说明方程在区间内至少有一个根是【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根证：由题意，函数在区间上连续，又，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即 （），该等式说明方程在区间内至少有一个小于的正根【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）函数的定义域是（ ）（a） （b） （c） （d）解：因 ，故 ， ，所以，故选（d）2（2010年，1分）极限等于（ ）（a） （b） （c） （d）解：，故选（d）3（2009年，1分）极限（ ）（a） （b） （c） （d）不存在解：，故选（a）4（2009年，1分）若 ，则（ ）（a） （b） （c） （d）不存在解：因 ，故不存在，选（d）5（2009年，1分）是函数的（ ）（a）连续点 （b）可去间断点 （c）跳跃间断点 （d）第二类间断点解：因 ，故是函数的可去间断点，选（b）6（2008年，3分）设 ，则等于（ ）（a） （b）不存在 （c） （d）解：，故选（d）7（2008年，3分）当时，是的（ ）（a）高阶无穷小 （b）同阶无穷小，但不等价（c）低阶无穷小 （d）等价无穷小解：因 ，故选（b）8（2007年，3分）当时，是（ ）（a）比高阶的无穷小 （b）比低阶的无穷小（c）与同阶的无穷小 （d）与等价的无穷小解：因 ，故选（c）9（2006年，2分）设 ， ，则（ ）