数学史结课论文.doc

刘徽九章算术注如何利用勾股定理解决实际问题何召文0810120981摘要 通过对九章算术注勾股章例题的分析，特别是对其中涉及到实际问题的例题的分析，探究中国古代劳动人民如何利用勾股术解决实际问题。在探究的过程中，发现刘徽在给九章算术作注的时候，利用的就是现在的公理化结论，不但给出了一般的计算方法，还给出了相关的证明。在勾股章中，涉及的问题并没有仅仅停留在实际问题的解决，而是延伸到了理论研究的高度。关键字 刘徽 九章算术 勾股术 实际问题 刘徽九章算术注共有九章，分别为方田，粟米，衰分，少广，商功，军输，盈不足，方程，勾股。这些术都是为了解决实际问题而诞生，一方面体现了我国古代数学在世界上的辉煌成就，另一方面体现了中国古代劳动人民务实的精神。现在我们一起来看看刘徽在他的九章算术注中是如何利用勾股术（勾股定理）解决实际问题的、 原九章算术全书主要是由实际问题构成，在题目的后面给出了问题的答案，但是没有没有说明计算方法，仅仅是罗列了大量的例题。而刘徽的九章算术注就恰恰弥补了这一缺陷，在例题的后面提出了术，也就是一般的解决方法，用现在的话说，就是定理。九章算术注第九章勾股共24道例题，在例题的后面给出勾股的定义和一般的解决方法。首先看书中提出的前三个问题： 一 今 有 句 三 尺 ， 股 四 尺 ， 问 为 弦 几 何 ？荅 曰 ： 五 尺 。 二 今 有 弦 五 尺 ， 句 三 尺 ， 问 为 股 几 何 ？荅 曰 ： 四 尺 。 三 今 有 股 四 尺 ， 弦 五 尺 ， 问 为 句 几 何 ？荅 曰 ： 三 尺 。这三个问题虽然不属于实际问题，但都为解决实际问题奠定了基础。刘徽在后面的注释中不但给出了勾股的定义，而且给出了现在大家熟知的勾股定理。他指出，在勾股中，短边叫做勾，长边叫做股，能和这两条边构成角的边就叫做弦。而之后的一句话“将以施于诸率，故先具此术以见其源也”则强调了勾股术的地位非常重要。句 股 术 曰 ： 句 股 各 自 乘 ， 并 ， 而 开 方 除 之， 即 弦 。又 股 自 乘 ， 以 减 弦 自 乘 ， 其 余 开 方 除 之 ，即 句 。又 句 自 乘 ， 以 减 弦 自 乘 ， 其 余 开 方 除 之 ，即 股 。以上三句的注释就真正给出了勾股定理：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。就是把勾和股分别平方之后加在一起，对所得的数开平方就是弦的长。用数学语言表达出来就是，设a,b分别是勾和股的长，c是弦的长，则有以下等式 a2+b2=c （1）而后两句就可以算作上式得两个推论，通过对上式进行变化就可以得到 c2-b2=a （2） c2-a2=b （3）刘徽注释的这三句话不仅仅是对原来三个问题的一个注释，更是一般方法的总结和定理的给出，可以用来解决更加一般的问题，刘徽正是认识到这一点所以会用一个“源”字来形容勾股定理。如果刘徽对前三个例题的注释仅到这一步在逻辑上已经算是很好的，有例题，有定义，有总结的一般解题方法。但刘徽对这三个例题的注释并没有到此结束，在给出定理的后面还给出了他的证明方法，摘录如下：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂通过对前三个问题的注释，我们看到这样的思路：例题定义定理（放之四海而皆准的方法）证明。这其实就是公理化的数学思路，和欧几里得的几何原本有异曲同工之妙。接着我们来看看第四，五两道例题： 四 今 有 圆 材 径 二 尺 五 寸 ， 欲 为 方 版 ， 令 厚 七 寸 。问 广 几 何 ？荅 曰 ： 二 尺 四 寸 。术 曰 ： 令 径 二 尺 五 寸 自 乘 ， 以 七 寸 自 乘 减之 ， 其 余 开 方 除 之 ， 即 广 。 五 今 有 木 长 二 丈 ， 围 之 三 尺 。 葛 生 其 下 ， 缠 木 七周 ， 上 与 木 齐 。 问 葛 长 几 何 ？荅 曰 ： 二 丈 九 尺 。术 曰 ： 以 七 周 乘 三 尺 为 股 ， 木 长 为 句 ， 为之 求 弦 。 弦 者 ， 葛 之 长 。这两道题都是直接利用勾股定理可以解答的。其中第四题是已知弦长，勾长来求股长的问题。而在第五道例题中，其实是以7倍树的周长为勾，树高为股来计算葛的长度（葛长为股）。这其实是把7个勾股运算合并为一个。在计算中，我们发现，这里的勾长（7倍树的周长2.1丈）比股（树高2丈）要长，根据刘徽前面勾股弦的定义，这是相矛盾的。但是他的答案是正确的，昭示着在勾股运算中勾和股的地位是平等的，在实际应用中不必拘泥于定义。 之后的第6道例题到第12道例题主要是讨论在已知条件中，仅仅给出一个边（勾或股或弦）的长，和另外两条边的差来求三角形边长的问题。题目解法大体相似，下面只拿出一道题目进行分析。如九章算术第九章的例题6 六 今 有 池 方 一 丈 ， 葭 生 其 中 央 ， 出 水 一 尺 。 引 葭赴 岸 ， 适 与 岸 齐 。 问 水 深 、 葭 长 各 几 何 ？荅 曰 ：水 深 一 丈 二 尺 ；葭 长 一 丈 三 尺 。术 曰 ： 半 池 方 自 乘 ， 以 出 水 一 尺 自 乘 ， 减之 ， 余 ， 倍 出 水 除 之 ， 即 得 水 深 。 加 出 水 数 ， 得 葭 长 。把他的解答翻译过来就是，池长的一半求平方，减去出水长的平方。所得的数做除法，除数是出水长的2倍，就得到水的深度了，水深再加上出水长就是葭长了。翻译过来似乎也不好懂，这里其实就是用了勾股术，但是没有指名谁为勾谁为股而已。对于这类问题，现在只要列一个方程就可以很好的解决，虽然原理还是勾股定理，但是让人更加好理解的多。在这个例题中，以池边长的一半为勾（a），水深为股（b），葭长为弦（c）（图1）,那么很明显这就是一个已经勾长和股弦差求股，弦长的问题。图1但是书中的解放很让人费解，为此构造下面的图（图2）来帮忙理解.其中图有两个重叠在一起的正方形组成，其中大正方形的边长为葭长c，小正方形的边长为水深b，那么他们的差就是葭出水长了（c-b）.由于a2=c2-b2,所以大正方形的面积减去小正方形的面积就是他们没有重叠部分的面积。半 池 方 自 乘（a2没有重叠部分的面积） ， 以 出 水 一 尺 自 乘（c-b）2，图中阴影部分的面积） ， 减之。作差所得就是就是图中两个长方形面积的和（2*b(c-b)）。既有a2-（c-b）2=2*b(c-b)“倍出水除之，即得水深”，就是用出水长的2倍除以两边,即得 b=a2-（c-b）22(c-b) （4）图2这里的方法虽然繁琐难以理解，但是是给我们解题提供了一个很好的思路，那就是可以利用增加维数来理解乘方的运算。例如本题中就是将一维线段问题转化为二维的面积进行理解。而例题6至12处理的就是这样的一类问题。作为比较，这里我给出利用现在的知识如何来解这个问题：如上图，已知半池长a=5尺和水深与葭长的差为1尺。设水深为x,那么葭长就是x+1，根据勾股定理列出方程为（1+x）2=a2+x2将a=5代入上式，解方程即可 接着说例题13，例题13和前面的例题6至例题12比较相似，区别在于例题13中，我们是已知弦和股的和，勾的长，而去求股的问题。这是一个非常实际的问题，自己的构成三角形，不需要再来构造勾股形，很自然的想到利用勾股术来解答。 一 三 今 有 竹 高 一 丈 ， 末 折 抵 地 ， 去 本 三 尺 。 问 折者 高 几 何 ？荅 曰 ： 四 尺 、 二 十 分 尺 之 十 一 。术 曰 ： 以 去 本 自 乘 ， 令 如 高 而 一 ， 所 得 ，以 减 竹 高 而 半 其 余 ， 即 折 者 之 高 也 。在刘徽的注释中，解决这道题目的思想和前面的题目类似，也是将一维的问题转化为二维面积进行理解，具体就不再重复，这里仅给出刘徽修正的结果的表达式 b=（c+b）2-a2c+b （5）其中去本为勾a,折高为股b，折断部分为弦c.将（4）式和（5）式比较发现，区别最大的地方就是其中的c-b变为了c+b. 以上例题都是立足解决实际问题而发，还是比较容易理解的。除此13题之外，在勾股这一章中还有11个例题，而剩下的这11个例题就像是脱离实际而有意刁难他人而出，虽然给出了很好的解释，但都不好理解。而在现在看来都具有很好的理论价值，这里就不对所有例题做一一讲解。后面的例题包括了计算整勾股数组的通解公式，勾股容圆，勾股容方问题等。这些在九章算术中都给出了很好的结果。刘徽对例题14的注释更是值得骄傲的地方，他在例题14的注释中给出了勾股数组的通解公式。而早在古希腊，数学家们都在探讨勾股数组的通解公式，最后给出的结果也仅仅是一部分解而已。长期以来，人们都认为是希腊数学家丢番图第一次给出而来勾股数组的通解公式，而实际上他的结果至少比刘徽晚了三百年，且他的通解公式也没有刘徽给出的简洁漂亮。 14 今 有 二 人 同 所 立 。 甲 行 率 七 ， 乙 行 率 三 。 乙东 行 。 甲 南 行 十 步 而 邪 东 北 与 乙 会 。 问 甲 乙 行 各 几 何 ？荅 曰 ：乙 东 行 一 十 步 半 ；甲 邪 行 一 十 四 步 半 及 之 。术 曰 ： 令 七 自 乘 ， 三 亦 自 乘 ， 并 而 半 之 ，以 为 甲 邪 行 率 。 邪 行 率 减 于 七 自 乘 ， 余 为 南 行 率 。 以 三乘 七 为 乙 东 行 率 。 置 南 行 十 步 ， 以 甲 邪 行 率 乘 之 ， 副 置十 步 ， 以 乙 东 行 率 乘 之 ， 各 自 为 实 。 实 如 南 行 率 而 一 ，各 得 行 数 。之后的十五，十六两个例题就是讨论的勾股形容圆和容方的问。 15 今 有 句 五 步 ， 股 十 二 步 。 问 句 中 容 方 几 何 ？荅 曰 ： 方 三 步 、 十 七 分 步 之 九 。术 曰 ： 并 句 、 股 为 法 ， 句 股 相 乘 为 实 ， 实如 法 而 一 ， 得 方 一 步 。 16 今 有 句 八 步 ， 股 十 五 步 。 问 句 中 容 圆 ， 径 几何 ？荅 曰 ： 六 步 。术 曰 ： 八 步 为 句 ， 十 五 步 为 股 ， 为 之 求 弦。 三 位 并 之 为 法 ， 以 句 乘 股 ， 倍 之 为 实 。 实 如 法 得 径 一步 。通过对九章算术注第九章勾股的分析，我们可以看出刘徽如何利用勾股定理解决实际问题的。在实际问题中，很多时候是看不出勾股形的，这时候就需要来构造勾股形，如葛绕树七周求葛长的问题。就需要来构造勾股形。所以，在处理实际问题时，首先要做的一步就是将实际问题抽象为数学模型，这也是九章算术中利用勾股术解决实际问题最重要的一步，之后的工作无非就是想办法计算而已。构造了勾股形后，下面面临的问题必然就是解勾股形，在问题的处理中，九章算术中总结了几类解勾股形的情况，即已知两边差和另外一边来接勾股形，已知两边和和另外一边来接勾股形，已知两边长来接勾股形。在计算中，刘徽给出的注释中利用的思想方法就是升高维数进行解决问题，因为在勾股术中，给出的是三条边长平方间的关系，所以很自然的让人想到利用面积来理解勾股术，证明勾股术，解勾股形。最后，给出了公式化的结果，不仅仅适用于某个例题的结果，而是一类问题的结果，而遇到相同的问题，只要