2011年高考数学试卷解析版-湖南卷［文理两份］.doc

2011年高考数学试卷解析版-湖南卷文理两份2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类 解析版 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页时量120分钟，满分150分参考公式（1）柱体体积公式，其中为底面面积，为高 （2）球的体积公式，其中为球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集则（ ）a b 答案：b解析：画出韦恩图，可知。若为虚数单位，且，则答案：c332正视图侧视图俯视图图1解析：因，根据复数相等的条件可知。的a充分不必要条件必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分又不必要条件答案：a解析：因，反之，不一定有。设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为a答案：d解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。5通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0050001000013841663510828参照附表，得到的正确结论是（ ）a 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”b 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”c 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”d 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”答案：a解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选a.6设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。7曲线在点处的切线的斜率为（ ）a b c d答案：b解析：，所以。8已知函数若有则的取值范围为a b c d答案：b解析：由题可知，若有则，即，解得。二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9在直角坐标系中，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 答案：2解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 开始输入开始开始否是结束输出开始图2答案：40或60（只填一个也正确）解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。(二)必做题（11-16题）11若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 答案：解析：由框图功能可知，输出的数等于。12已知为奇函数， 答案：6解析：，又为奇函数，所以。13设向量满足且的方向相反，则的坐标为 答案：解析：由题，所以14设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 答案：3解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。15已知圆直线（1）圆的圆心到直线的距离为 (2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 答案：5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；（2）设，且当时，则不同的函数的个数为 。答案：（1），（2）16解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。（2）由题可知，则，而时，即，即，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足（i）求角的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解析：（i）由正弦定理得因为所以（ii）由（i）知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时18（本题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量x（单位：毫米）有关据统计，当x=70时，y=460；x每增加10，y增加5；已知近20年x的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160（i）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（ii）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率解：（i）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率（ii）故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为19（本题满分12分）如图3，在圆锥中，已知的直径的中点（i）证明：（ii）求直线和平面所成角的正弦值解析：（i）因为又内的两条相交直线，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在20（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m，m的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初m的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初m的价值为上年初的75%（i）求第n年初m的价值的表达式；（ii）设若大于80万元，则m继续使用，否则须在第n年初对m更新，证明：须在第9年初对m更新解析：（i）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，m的价值的表达式为(ii)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对m更新21已知平面内一动点到点f（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1（i）求动点的轨迹的方程；（ii）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（i）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点p的轨迹c的方程为（ii）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值1622（本小题13分）设函数(i)讨论的单调性；（ii）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析：（i）的定义域为 令(1) 当故上单调递增(2) 当的两根都小于0，在上，故上单调递增(3) 当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（ii）由（i）知，因为，所以又由(i)知，于是若存在，使得则即亦即再由（i）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1），其中为两个事件，且， （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。 （3）球的体积公式，其中为求的半径。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若，为虚数单位，且，则（ ）a b c d 答案：d解析：332正视图侧视图俯视图图1因，根据复数相等的条件可知。2.设，则“”是“”则（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分又不必要条件 答案：a解析：因“”，即，满足“”，反之“”，则，或，不一定有“”。3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）a b c d 答案：b解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ）a在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”b在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”c有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”d有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：c解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选c.5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）a b1 c d答案：d解析：由定积分知识可得，故选d。7. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）a b c d答案：a解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得。8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）a1 b c d答案：d解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，当时，所以当时，达到最小。即。 二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点o为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。 答案：2解析：曲线，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.10.设,则的最小值为 。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，,垂足为d, 与相交与点f，则的长为 。答案：解析：由题可知，,得,，又，所以.二、必做题（1216题）12、设是等差数列的前项和，且，则答案：25解析：由可得，所以。13、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。答案：解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则。14、在边长为1的正三角形中，设，则。答案：解析：由题，所以。15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形内”，b表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；（2）由条件概率的计算公式可得。16、对于，将表示为，当时，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，有个0的有个，有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：。又恰为2进制的最大7位数，所以。三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.（i）求角的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解析：（i）由正弦定理得因为所以（ii）由（i）知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(）求当天商品不进货的概率；（）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数学期望。解析：（i）p（“当天商店不进货”）=p（“当天商品销售量为0件”）+p（“当天商品销售量1件”）=。（ii）由题意知，的可能取值为2，3.；故的分布列为23的数学期望为。19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点（i）证明：（ii）求二面角的余弦值解：（i）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（ii）在平面中，过作于，由（i）知，,所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值为。20. 如图6，长方形物体e在雨中沿面p（面积为s）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿e移动方向的分速度为。e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）p或p的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与s成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为e移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积s=时。（）写出的表达式（）设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。解析：（i）由题意知，e移动时单位时间内的淋雨量为，故.（ii）由(i)知，当时，当时，故。(1)当时，是关于的减函数.故当时，。(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。a. (本小题满分13分） 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；（）设与轴的交点为m，过坐标原点o的直线与相交于点a,b,直线ma,mb分别与相交与d,e.（i）证明：；(ii)记mab,mde的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。解析：（i）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为。（ii）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以故，即。（ii）设直线的斜率为，则直线的方程